Oblicz sumę liczb od 1 do 100. Zabawna matematyka: reguła Gaussa

Był leniwy. Chcąc zająć dzieciom przez długi czas i samemu się zdrzemnąć, poprosił je o zsumowanie liczb od 1 do 100.

Gauss szybko udzielił odpowiedzi: 5050. Tak szybko? Nauczyciel nie wierzył, ale młody geniusz miał rację. Dodanie wszystkich liczb od 1 do 100 jest dla mięczaków! Gauss znalazł wzór:

$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$

$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$

Jak on to zrobił? Spróbujmy zrozumieć przykład sumy od 1 do 10.

Pierwszy sposób: podziel liczby na pary

Zapiszmy liczby od 1 do 10 jako macierz z dwoma wierszami i pięcioma kolumnami:

$$\left(\begin(tablica)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(tablica)\right)$$

Co ciekawe, suma każdej kolumny to 11, czyli $n+1$. I jest 5 takich par liczb czyli $\frac(n)(2)$. Otrzymujemy naszą formułę:

$$Numer\ kolumn\cdotSum\ liczb\ w\ kolumn=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$

Jeśli nieparzysta liczba terminów?

Co się stanie, jeśli zsumujesz liczby od 1 do 9? Nie mamy jednej liczby, aby stworzyć pięć par, ale możemy wziąć zero:

$$\left(\begin(tablica)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(tablica)\right)$$

Suma kolumn wynosi teraz 9 lub dokładnie $n$. A co z liczbą kolumn? Nadal pięć kolumn (dzięki zero!), ale teraz liczba kolumn jest zdefiniowana jako $\frac(n+1)(2)$ (y ma liczby $n+1$ i połowę mniej kolumn).

$$Numer\ kolumn\cdotSum\ liczb\ w\ kolumn=\frac(n+1)(2)\cdot n$$

Drugi sposób: podwój i napisz w dwóch wierszach

Sumę liczb obliczamy nieco inaczej w tych dwóch przypadkach.
Może istnieje sposób na równe obliczenie sumy dla parzystej i nieparzystej liczby terminów?

Zamiast robić z liczb coś w rodzaju „pętli”, napiszmy je w dwóch wierszach, mnożąc liczbę liczb przez dwa:

$$\left(\begin(tablica)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(tablica)\right)$$

W przypadku nieparzystym:

$$\lewo(\begin(tablica)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(tablica)\right)$$

Widać, że w obu przypadkach suma kolumn wynosi $n+1$, a liczba kolumn to $n$.

$$Numer\ kolumn\cdotSum\ liczb\ w\ kolumn=n\cdot(n+1)$$

Ale potrzebujemy tylko sumy jednego wiersza, więc:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Trzeci sposób: zrób prostokąt

Jest jeszcze jedno wyjaśnienie, spróbujmy dodać krzyżyki, powiedzmy, że mamy krzyże:

To po prostu wygląda na inną reprezentację drugiej drogi – każda kolejna linia piramidy ma więcej krzyżyków i mniej zer. Liczba wszystkich krzyżyków i zer to obszar prostokąta.

$$Powierzchnia=Wysokość\cdotSzerokość=n\cdot(n+1)$$

Ale potrzebujemy sumy krzyżyków, więc:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Czwarty sposób: średnia arytmetyczna

Znane: $Średnia\arytmetyczna=\frac(suma)(liczba\członków)$
Wtedy: $Suma = średnia\arytmetyczna\cdotNumber\members$

Znamy liczbę członków - $n$. Jak wyrazić średnią arytmetyczną?

Zwróć uwagę, że liczby są równomiernie rozłożone. Na każdą dużą liczbę przypada mała na drugim końcu.

1 2 3, średnia 2

1 2 3 4, średnia 2,5

W tym przypadku średnia arytmetyczna jest średnią arytmetyczną liczb 1 i $n$, czyli $Mean\arithmetic=\frac(n+1)(2)$

$$Suma = \frac(n+1)(2)\cdot n$$

Piąty sposób: integralny

Wszyscy wiemy, że całka oznaczona oblicza sumę. Obliczmy sumę od 1 do 100 jako całkę? Tak, ale najpierw znajdźmy przynajmniej sumę od 1 do 3. Niech nasze liczby będą funkcją y(x). Narysujmy obrazek:

Wysokości trzech prostokątów to tylko liczby od 1 do 3. Narysujmy prostą linię przechodzącą przez punkty środkowe „czapek”:

Byłoby miło znaleźć równanie tej linii. Przechodzi przez punkty (1,5;1) i (2,5;2). $y=k\cdot x+b$.

$$\begin(cases)2.5k + b = 2\\1.5k + b = 1\end(cases)\Rightarrow k=1; b=-0.5$$

Zatem równanie prostej, za pomocą której możemy aproksymować nasze prostokąty $y=x-0,5$

Odcina żółte trójkąty z prostokątów, ale od góry „dodaje” do nich niebieskie. Żółty to niebieski. Najpierw upewnij się, że użycie całki prowadzi do wzoru Gaussa:

$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$

Teraz obliczmy sumę od 1 do 3, weźmy X od 1 do 4, aby wszystkie trzy prostokąty wpadły w całkę:

$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0.5-0.5)=6$$

$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50.5-(0.5-0.5)=5100.5-50.5=5050$$

I dlaczego to wszystko jest konieczne?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$

Pierwszego dnia na Twoją stronę trafiła jedna osoba, drugiego dnia dwie osoby... Każdego dnia liczba odwiedzin wzrosła o 1. Ile odwiedzin uzyska witryna do końca 1000 dnia?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$

Cykl „Matematyka dla zabawy” dedykowany jest dzieciom lubiącym matematykę oraz rodzicom, którzy poświęcają czas na rozwój swoich pociech, „zarzucając” je ciekawymi i zabawnymi zadaniami, łamigłówkami.

Pierwszy artykuł z tej serii poświęcony jest zasadzie Gaussa.

Trochę historii

Słynny niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss (1777-1855) różnił się od swoich rówieśników od wczesnego dzieciństwa. Mimo że pochodził z ubogiej rodziny, dość wcześnie nauczył się czytać, pisać i liczyć. W jego biografii jest nawet wzmianka, że ​​w wieku 4-5 lat potrafił poprawić błąd w błędnych obliczeniach ojca, po prostu go obserwując.

Jedno z jego pierwszych odkryć miało miejsce w wieku 6 lat na lekcji matematyki. Nauczyciel na długi czas musiał oczarować dzieci i zaproponował następujący problem:

Znajdź sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100.

Młody Gauss poradził sobie z tym zadaniem dość szybko, znajdując interesujący wzór, który stał się powszechny i ​​nadal jest używany w liczeniu umysłowym.

Spróbujmy rozwiązać ten problem ustnie. Ale najpierw weźmy liczby od 1 do 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Przyjrzyj się uważnie tej sumie i spróbuj odgadnąć, co było niezwykłego w Gaussie? Aby odpowiedzieć, musisz dobrze rozumieć skład liczb.

Gauss pogrupował liczby w następujący sposób:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Tak więc mały Karol otrzymał 5 par liczb, z których każda z osobna daje w sumie 11. Następnie, aby obliczyć sumę liczb naturalnych od 1 do 10, potrzebujesz

Wróćmy do pierwotnego problemu. Gauss zauważył, że przed sumowaniem należy pogrupować liczby w pary, a tym samym wymyślił algorytm, dzięki któremu można szybko dodać liczby od 1 do 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Znajdź liczbę par w szeregu liczb naturalnych. W tym przypadku jest 50.

Podsumuj pierwszą i ostatnią liczbę z tej serii. W naszym przykładzie są to 1 i 100. Otrzymujemy 101.

Otrzymaną sumę pierwszego i ostatniego elementu szeregu mnożymy przez liczbę par tego szeregu. Otrzymujemy 101 * 50 = 5050

Dlatego suma liczb naturalnych od 1 do 100 wynosi 5050.

Zadania dotyczące korzystania z reguły Gaussa

A teraz twoja uwaga jest zwrócona na problemy, w których reguła Gaussa jest używana w takim czy innym stopniu. Te łamigłówki są całkiem zrozumiałe i rozwiązane przez czwartoklasistę.

Możesz dać dziecku możliwość uzasadnienia siebie, aby sam „wymyślił” tę zasadę. I możesz go rozebrać i zobaczyć, jak on może tego użyć. Wśród poniższych zadań znajdują się przykłady, w których musisz zrozumieć, jak zmodyfikować regułę Gaussa, aby zastosować ją do danej sekwencji.

W każdym razie, aby dziecko mogło z tym operować w swoich obliczeniach, konieczne jest zrozumienie algorytmu Gaussa, czyli umiejętności prawidłowego dzielenia na pary i liczenia.

Ważny! Jeśli formuła zostanie zapamiętana bez zrozumienia, bardzo szybko zostanie zapomniana.

Zadanie 1

Znajdź sumę liczb:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Decyzja.

Na początku możesz dać dziecku możliwość samodzielnego rozwiązania pierwszego przykładu i zaproponować znalezienie sposobu, w jaki łatwo to zrobić w umyśle. Następnie przeanalizuj ten przykład z dzieckiem i pokaż, jak to zrobił Gauss. Dla jasności najlepiej jest zapisać serię i połączyć pary liczb liniami, które sumują się do tej samej liczby. Ważne, aby dziecko rozumiało, jak tworzą się pary – bierzemy najmniejszą i największą z pozostałych liczb, pod warunkiem, że liczba liczb w rzędzie jest parzysta.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Zadanie2

Dostępnych jest 9 odważników o wadze 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Czy te ciężary można podzielić na trzy stosy o jednakowej wadze?

Decyzja.

Korzystając z reguły Gaussa, znajdujemy sumę wszystkich wag:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Jeśli więc możemy pogrupować ciężarki tak, aby każdy stos zawierał ciężarki o łącznej wadze 15g, to problem jest rozwiązany.

Jedna z opcji:

• 9g, 6g
• 8g, 7g
• 5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Znajdź inne możliwe opcje samodzielnie ze swoim dzieckiem.

Zwróć uwagę dziecka, że ​​gdy takie problemy zostaną rozwiązane, lepiej zawsze zaczynać grupowanie z większą wagą (liczbą).

Zadanie 3

Czy da się podzielić cyferblat na dwie części linią prostą, aby sumy liczb w każdej części były równe?

Decyzja.

Na początek zastosuj regułę Gaussa do szeregu liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: znajdź sumę i zobacz, czy jest podzielna przez 2:

Więc możesz się dzielić. Zobaczmy teraz, jak.

Dlatego konieczne jest narysowanie linii na tarczy, aby 3 pary wpadły na jedną połowę, a trzy na drugą.

Odpowiedź: linia będzie przebiegać między cyframi 3 i 4, a następnie między cyframi 9 i 10.

Zadanie4

Czy można narysować dwie proste linie na tarczy zegara, aby suma liczb w każdej części była taka sama?

Decyzja.

Na początek stosujemy regułę Gaussa do szeregu liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: znajdź sumę i zobacz, czy jest podzielna przez 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 jest podzielne przez 3 bez reszty, więc możesz podzielić. Zobaczmy teraz, jak.

Zgodnie z regułą Gaussa otrzymujemy 6 par liczb, z których każda sumuje się do 13:

1 i 12, 2 i 11, 3 i 10, 4 i 9, 5 i 8, 6 i 7.

Dlatego konieczne jest narysowanie linii na tarczy, aby 2 pary wpadły na każdą część.

Odpowiedź: pierwsza linia przejdzie między cyframi 2 i 3, a następnie między cyframi 10 i 11; druga linia znajduje się między cyframi 4 i 5, a następnie między 8 a 9.

Zadanie 5

Leci stado ptaków. Przed nami jeden ptak (lider), za nim dwa, potem trzy, cztery itd. Ile ptaków jest w stadzie, jeśli w ostatnim rzędzie jest ich 20?

Decyzja.

Dostajemy, że musimy dodać liczby od 1 do 20. I do obliczenia takiej sumy możemy zastosować regułę Gaussa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Zadanie 6

Jak posadzić 45 królików w 9 klatkach, aby wszystkie klatki miały inną liczbę królików?

Decyzja.

Jeśli dziecko zdecydowało i zrozumiało przykłady z zadania 1 ze zrozumieniem, od razu pamięta się, że 45 to suma liczb od 1 do 9. Dlatego umieszczamy króliki w ten sposób:

• pierwsza komórka - 1,
• drugi - 2,
• trzecia - 3,
• ósme - 8,
• dziewiąty - 9.

Ale jeśli dziecko nie może tego od razu zrozumieć, spróbuj dać mu pomysł, że takie problemy można rozwiązać brutalną siłą i musisz zacząć od minimalnej liczby.

Zadanie 7

Oblicz sumę za pomocą sztuczki Gaussa:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Decyzja.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Zadanie 8

Dostępny jest zestaw 12 odważników o wadze 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Z zestawu usunięto 4 obciążniki, których łączna masa jest równa jednej trzeciej masy całkowitej całego zestawu obciążników. Czy pozostałe odważniki można umieścić na dwóch szalkach wagi, po 4 sztuki na każdej szalce, tak aby były w równowadze?

Decyzja.

Stosujemy regułę Gaussa, aby znaleźć całkowitą masę odważników:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Obliczamy masy obciążników, które zostały usunięte:

Dlatego pozostałe odważniki (o łącznej masie 78-26 \u003d 52 g) należy umieścić 26 g na każdej szalce wagi, aby były w równowadze.

Nie wiemy, które obciążniki zostały usunięte, dlatego musimy rozważyć wszystkie możliwe opcje.

Stosując zasadę Gaussa, odważniki można podzielić na 6 par o jednakowej wadze (po 13g):

1g i 12g, 2g i 11g, 3g i 10, 4g i 9g, 5g i 8g, 6g i 7g.

Wtedy najlepszą opcją jest usunięcie 4 ciężarków, dwie pary powyższych zostaną usunięte. W tym przypadku pozostaną nam 4 pary: 2 pary na jednej skali i 2 pary na drugiej.

W najgorszym przypadku, gdy 4 zdjęte ciężarki złamią 4 pary. Będziemy mieli 2 nieprzerwane pary o łącznej wadze 26g, co oznacza, że ​​kładziemy je na jednej szalce wagi, a pozostałe odważniki można umieścić na innej szalce wagi i również będą miały 26g.

Powodzenia w rozwoju Twoich dzieci.

Dzisiaj rozważymy jeden z problemów matematycznych, który musiałem rozwiązać z moim siostrzeńcem. A potem wdrażamy go przez PHP. I rozważ kilka opcji rozwiązania tego problemu.

Zadanie:

Konieczne jest szybkie dodanie wszystkich liczb od 1 do 100 jedna po drugiej i znalezienie sumy wszystkich liczb.

Rozwiązanie problemu:

W rzeczywistości, kiedy po raz pierwszy rozwiązaliśmy ten problem, rozwiązaliśmy go źle! Ale nie będziemy pisać o złym rozwiązaniu tego problemu.

A rozwiązanie jest takie proste i banalne - trzeba dodać 1 i 100 i pomnożyć przez 50. (Karl Gaus miał takie rozwiązanie kiedy był bardzo mały...)

(1 + 100)*50.

Jak mogę rozwiązać ten problem za pomocą php?

Oblicz sumę wszystkich liczb od 1 do 100 za pomocą PHP.

Kiedy już rozwiązaliśmy ten problem, postanowiliśmy zobaczyć, co piszą w „internetach” na ten temat! I znalazłem formę, w której młode talenty nie mogły rozwiązać tego problemu i próbowałem to zrobić w cyklu.

Jeśli nie ma specjalnych warunków, aby zrobić to w cyklu, to nie ma sensu robić tego w cyklu!

I tak! Nie zapominaj, że w php możesz rozwiązać problem na wiele sposobów! jeden.

Ten kod może dodać dowolną sekwencję liczb od jednego do nieskończoności.

Zaimplementujmy nasze rozwiązanie w najprostszej formie:

$koniec = $_POST["zmienna"];

$res = $koniec/2*($i + $koniec);