Internet

Przekształcenia elementarne macierzy odwrotnej. Macierze elementarne

Definicja 5.8. Przekształcenia elementarne wierszy macierzy nazwali następujące przekształcenia:

1) pomnożenie wiersza macierzy przez niezerową prawdziwy numer;

2) dodanie do jednego wiersza macierzy drugiego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Lemat 5.1. Za pomocą elementarnych przekształceń wierszy macierzy można zamienić dowolne dwa wiersze.

Dowód.

A= .

macierz kroków. Ranga macierzy

Definicja 5.9. schodkowy Nazwiemy macierz, która ma następujące właściwości:

1) jeśli i-ty wiersz to zero, to ( i+ 1) wiersz również jest pusty,

2) jeśli pierwsze niezerowe elementy i-ty i ( i+ 1)-te rzędy są ułożone w kolumny z numerami k oraz r, to odpowiednio k < r.

Warunek 2) wymaga obowiązkowego zwiększenia zer po lewej stronie przy przejściu z i-ty wiersz do ( i+ 1) linia. Na przykład macierze

A 1 = , A 2 = , A 3 =

są schodkowe, a matryce

V 1 = , V 2 = , V 3 =

nie są schodkowe.

Twierdzenie 5.1. Dowolną macierz można zredukować do macierzy schodkowej za pomocą elementarnych przekształceń wierszy.

Zilustrujmy to twierdzenie przykładem.

Otrzymana macierz to macierz schodkowa.

Definicja 5.10. Ranga macierzy liczbę niezerowych wierszy nazwiemy w schodkowej postaci tej macierzy.

Na przykład rząd macierzy A w poprzednim przykładzie wynosi 3.

Pytania do samokontroli

1. Co nazywa się macierzą?

2. Jak dodawać i odejmować macierze; pomnożenie macierzy przez liczbę?

3. Zdefiniuj mnożenie macierzy.

4. Jaka macierz nazywa się transponowaną?

5. Jakie przekształcenia wierszy macierzy nazywamy elementarnymi?

6. Zdefiniuj macierz kroków.

7. Jak nazywa się rząd macierzy?

Determinanty

Obliczanie determinant

Wyznaczniki drugiego rzędu

Rozważmy macierz kwadratową drugiego rzędu

Definicja 6.1. wyznacznik drugiego rzędu, odpowiadająca macierzy A jest liczbą obliczoną ze wzoru

│A│= = .

Elementy a ij nazywają się elementy determinujące│A, elementy a 11 , a 22 formularz główna przekątna i elementy a 12 , a 21 – bok.

Przykład. = –28 + 6 = –22.

Wyznaczniki trzeciego rzędu

Rozważ macierz kwadratową trzeciego rzędu

A = .

Definicja 6.2. wyznacznik trzeciego rzędu, odpowiadające macierzy A, to liczba obliczona ze wzoru

│A│= = .

Aby zapamiętać, które produkty po prawej stronie równości należy wziąć ze znakiem plus, a które ze znakiem minus, warto zapamiętać regułę o nazwie reguła trójkąta:

Przykład.

1) = –4 + 0 + 4 – 0 + 2 + 6 = 8.

2) = 1, tj. │ mi 3 │= 1.

Rozważ inny sposób obliczenia wyznacznika trzeciego rzędu.

Definicja 6.3. Mniejszy m ijelement wyznacznik ij jest wyznacznikiem otrzymanym z danego przez usunięcie i-ta linia i J-ta kolumna. Dodawanie algebraiczneA ij element a ij wyznacznika nazywamy jego mniejszym Mij, zrobione ze znakiem (–1) ja + j.

Przykład. Oblicz nieletni m 23 i dodawanie algebraiczne A 23 elementy a 23 w matrycy

Oblicz nieletni m 23:

m 23 = = = –6 + 4 = –2.

Następnie A 23 = (–1) 2+3 m 23 = 2.

Twierdzenie 6.1. Wyznacznik trzeciego rzędu jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) i ich algebraicznych uzupełnień.

Dowód. Zgodnie z definicją

= . (6.1)

Wybierzmy na przykład drugi wiersz i znajdźmy dopełnienia algebraiczne A 21 , A 22 , A 23:

A 21 = (–1) 2+1 = –() = ,

A 22 = (–1) 2+2 = ,

A 23 = (–1) 2+3 = –() = .

Teraz przekształcamy wzór (6.1)

│A│= () + () + () =

= A 21 + A 22 + A 23.

Formuła A│= A 21 + A 22 + A 23. nazywa rozkład wyznacznika│A│ nad elementami drugiego rzędu. Podobnie rozkład można uzyskać na elementy innych wierszy i dowolnej kolumny

Przykład.

= (według elementów drugiej kolumny) = 1 × (–1) 1+2 + 2 × (–1) 2+2 +

+ (–1)(–1) 3+2 = –(0 + 15) + 2(–2 +20) + (–6 +0) = –15 +36 – 6 = 15.

6.1.3 Determinanty n-tego rzędu ( n n)

Definicja 6.4. wyznacznik n kolejność, odpowiadające macierzy n-tego rzędu

A =

nazywana jest liczbą równą sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) i ich algebraicznych uzupełnień, tj.

│A│= A i1 + A i2 + … + A w = A 1j+ A 2j + … + A nj .

Łatwo to zauważyć, kiedy n= 2 otrzymujemy wzór na obliczenie wyznacznika drugiego rzędu. Jeśli n= 1, to z definicji przyjmiemy | A| = |a | = a .

Przykład. = (według elementów czwartego rzędu) = 3×(–1) 4+2 +

2×(–1) 4+4 = 3(–6 + 20 –2 –32) +2(– 6 +16 +60 +2) = 3(–20) +2×72 = –60 +144 = 84 .

Zauważ, że jeśli w wyznaczniku wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny), z wyjątkiem jednego, są równe zeru, to przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest rozszerzyć go o elementy tego wiersza (kolumny).

Przykład.

│E n│= = 1 × │ P n - 1 │ = … = │mi 3 │= 1.

Własność wyznaczników

Definicja 6.5. zobacz macierz

lub

zadzwonimy macierz trójkątna.

Własność 6.1. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej, tj.

= = .

Własność 6.2. Wyznacznikiem macierzy z zerowym wierszem lub zerową kolumną jest zero.

Własność 6.3. Podczas transpozycji macierzy nie zmienia się wyznacznik, tj.

│A│= │Na│.

Własność 6.4. Jeśli matryca V otrzymane z matrycy A pomnożenie każdego elementu jakiegoś ciągu przez liczbę k, następnie

│V│= k│A│.

Własność 6.5.

= + .

Własność 6.6. Jeśli matryca V otrzymane z matrycy A permutacja dwóch ciągów, to V│= −│A│.

Własność 6.7. Wyznacznik macierzy z rzędami proporcjonalnymi jest równy zero, w szczególności wyznacznik macierzy z dwoma identycznymi rzędami jest równy zero.

Własność 6.8. Wyznacznik macierzy nie zmienia się, jeśli elementy jednego wiersza dodamy do elementów innego wiersza macierzy pomnożonej przez pewną liczbę.

Komentarz. 6.1. Ponieważ na mocy właściwości 6.3 wyznacznik macierzy nie zmienia się podczas transpozycji, wszystkie właściwości dotyczące wierszy macierzy są również prawdziwe dla kolumn.

Własność 6.9. Jeśli A oraz V – macierze kwadratowe zamówienie n, to │ AB│=│A││V│.

odwrotna macierz

Definicja 6.6. macierz kwadratowa A zamówienie n nazywa odwracalny jeśli jest macierz V takie, że AB \u003d BA \u003d E n. W tym przypadku macierz V nazywa odwrotność macierzyA i oznaczone A –1 .

Twierdzenie 6.2. Poniższe stwierdzenia są prawdziwe:

1) jeśli macierz A jest odwracalna, to jest dokładnie jedna macierz odwrotna do niej;

2) macierz odwracalna ma wyznacznik niezerowy;

3) jeśli A i B są odwracalnymi macierzami porządku n, to macierz AB odwracalny i ( AB) –1 = V–1× A –1 .

Dowód.

1. Niech V oraz Z są macierzami odwrotnymi do macierzy A, tj. AB \u003d BA \u003d E n oraz AC \u003d CA \u003d E n. Następnie B = BE n = B(AC) = (VA)C \u003d E n C \u003d C.

2. Niech macierz A odwracalny. Potem jest macierz A–1 , jego odwrotność, oraz

AA –1 = E n.

Według własności 6,9 wyznacznika │ AA –1 │=│A-1 │. Następnie │ A││A –1 │=│E n│, skąd │ A││A–1 │= 1. Zatem │ A│¹ 0.

3. Rzeczywiście,

(AB)(V –1 A –1) = (A(nocleg ze śniadaniem –1))A –1 = (AE n)A –1 = AA –1 = E n .

(V –1 A –1)(AB) = (V –1 (A-1 A 21 \u003d -1, A 22 = 2. Wtedy A –1 = .

Pytania do samokontroli

1. Co nazywamy wyznacznikiem?

2. Jakie są jego główne właściwości?

3. Co nazywa się dopełnieniem molowym i algebraicznym?

4. Jakie są sposoby obliczania wyznaczników (drugi, trzeci i n zamówienia)?

5. Jaka macierz nazywa się kwadratem?

Podobne informacje.

Macierz, rodzaje macierzy, działania na macierzach.

Rodzaje matryc:

1. Prostokątny: m oraz n- dowolne liczby całkowite dodatnie

2. Kwadrat: m=n

3. wiersz macierzy: m=1. Na przykład (1 3 5 7) - w wielu praktycznych problemach taka macierz nazywana jest wektorem

4. Kolumna macierzy: n=1. na przykład

5. Macierz przekątna: m=n oraz a ij =0, Jeśli i≠j. na przykład

6. Macierz jednostkowa: m=n oraz

7. Zerowa matryca: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. macierz trójkątna: wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej mają wartość 0.

9. Matryca symetryczna:m=n oraz aij=aji(tzn. w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej są równe elementy), a zatem A”=A

Na przykład,

10. Pochyl macierz: m=n oraz a ij =-a ji(tj. przeciwległe elementy stoją w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej). Dlatego na głównej przekątnej znajdują się zera (ponieważ przy i=j mamy a ii =-a ii)

Akcje na macierzach:

1. Dodatek

2. Odejmowanie macierze - operacja elementarna

3. Praca macierze do liczb - operacja elementarna

4. Mnożenie A*B macierze zgodnie z regułą wiersz na kolumnę(liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B)

A mk * B kn = C mn i każdy element z ij matryce Cmn jest równa sumie iloczynów elementów i-tego wiersza macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy B, tj.

Pokażmy działanie mnożenia macierzy na przykładzie

5. Transpozycja macierzy A. Macierz transponowana jest oznaczona jako A T lub A”

,Na przykład

Wiersze i kolumny są zamieniane

Właściwości operacji na macierzach:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Determinanty drugiego i trzeciego rzędu (podstawowe pojęcia, własności, obliczenia)

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji, tj.

Dowód.

Komentarz. Poniższe właściwości kwalifikatora zostaną sformułowane tylko dla ciągów. Z właściwości 1 wynika, że kolumny również będą miały te same właściwości.

Właściwość 2. Mnożąc elementy rzędu wyznacznika przez określoną liczbę, cały wyznacznik mnoży się przez tę liczbę, tj.

Dowód.

Właściwość 3. Wyznacznikiem, który ma ciąg pusty jest 0.

Dowód tej własności wynika z własności 2 dla k = 0.

Właściwość 4. Wyznacznik, który ma dwa równe wiersze, to 0.

Dowód.

Nieruchomość 5. Wyznacznikiem, którego dwa rzędy są proporcjonalne, jest 0.

Dowód wynika z właściwości 2 i 4.

Nieruchomość 6. Kiedy dwa rzędy wyznacznika są zamienione, jest on mnożony przez -1.

Dowód.

Właściwość 7.

Dowód tej właściwości można przeprowadzić niezależnie, porównując wartości lewej i prawej strony równości znalezionej przy użyciu definicji 1.5.

własność 8. Wartość wyznacznika nie zmienia się, jeśli elementy jednego wiersza zostaną dodane do odpowiednich elementów innego wiersza, pomnożone przez tę samą liczbę.

Mniejszy. Dodawanie algebraiczne. Twierdzenie Laplace'a.

Metoda redukcji do formy trójkątnej polega na takim przekształceniu danego wyznacznika, gdy wszystkie jego elementy leżące po jednej stronie jednej z jego przekątnych stają się równe zero.

Przykład 8 Wyznacznik obliczeniowy

redukcja do trójkątnego kształtu.

Rozwiązanie. Odejmij pierwszy wiersz wyznacznika od pozostałych jego wierszy. Wtedy dostajemy

Ten wyznacznik jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej. Tak więc mamy

Komentarz. Wszystko rozważane powyżej można uogólnić na wyznaczniki n-tego rzędu.

Redukcja macierzy do postaci schodkowej. Przekształcenia elementarne wierszy i kolumn.

Elementarne przekształcenia macierzy nazywane są następujące przekształcenia:

I. Permutacja dwóch kolumn (wierszy) macierzy.

II. Mnożenie wszystkich elementów jednej kolumny (wiersza) macierzy przez tę samą liczbę niezerową.

III. Dodanie do elementów jednej kolumny (wiersza) odpowiednich elementów innej kolumny (wiersza), pomnożonych przez tę samą liczbę.

Macierz uzyskana z macierzy oryginalnej przez skończoną liczbę przekształceń elementarnych nazywa się równowartość . Jest to wskazane.

Przekształcenia elementarne służą do uproszczenia macierzy, które będą wykorzystywane w przyszłości do rozwiązywania różnych problemów.

Aby sprowadzić macierz do postaci schodkowej (ryc. 1.4), należy wykonać następujące kroki.

1. W pierwszej kolumnie wybierz element inny niż zero ( wiodący element ). Ciąg z wiodącym elementem ( wiodąca linia ), jeśli nie jest pierwszym, zastąp go pierwszym wierszem (konwersja typu I). Jeśli w pierwszej kolumnie nie ma elementu wiodącego (wszystkie elementy są równe zeru), to wykluczamy tę kolumnę i kontynuujemy wyszukiwanie elementu wiodącego w pozostałej części macierzy. Transformacje kończą się, jeśli wszystkie kolumny są wykluczone lub wszystkie elementy w pozostałej części macierzy mają wartość zero.

2. Podziel wszystkie elementy wiersza wiodącego przez element wiodący (transformacja typu II). Jeśli linia wiodąca jest ostatnią, to transformacja powinna się na tym zakończyć.

3. Do każdej linii poniżej linii wiodącej dodaj linię wiodącą pomnożoną odpowiednio przez taką liczbę, aby elementy poniżej linii wiodącej okazały się równe zero (transformacja typu III).

4. Po wyłączeniu z rozważania wiersza i kolumny, na przecięciu których znajduje się element wiodący, przejdź do kroku 1, w którym wszystkie opisane działania są stosowane do reszty macierzy.

Przykład 1.29. Konwertuj na macierz kroków

Macierz transformacji służy do obliczania nowych współrzędnych obiektu podczas jego transformacji. Zmieniając wartości elementów macierzy transformacji można zastosować dowolne przekształcenia do obiektów (np.: skalowanie, lustrzane odbicie, obracaj, przesuwaj itp.). Każda transformacja zachowuje równoległość linii obiektu.

Współrzędne w PDF są wyrażone w przestrzeni dwuwymiarowej. Punkt (x, y) w przestrzeni można wyrazić w postaci wektorowej . Stały trzeci element tego wektora (1) jest potrzebny do wykorzystania wektora z macierzami 3x3 w obliczeniach opisanych poniżej.

Transformacja między dwoma układami współrzędnych jest reprezentowana jako macierz 3x3 i jest zapisana w następujący sposób:

Transformacje współrzędnych są wyrażane jako mnożenia macierzy:

Ponieważ ostatnia kolumna nie ma wpływu na wyniki obliczeń, nie bierze ona udziału w obliczeniach. Współrzędne transformacji są obliczane przy użyciu następujących wzorów:

Macierz jednostkowa

Macierz tożsamości to taka, w której wartości macierzy a oraz D równy 1 , a reszta jest równa 0 . Taka macierz jest używana domyślnie, ponieważ nie prowadzi do transformacji. Dlatego jako podstawę stosuje się macierz tożsamości.

skalowanie

Aby zwiększyć lub zmniejszyć rozmiar obiektu w poziomie/w pionie, zmień wartość a lub D odpowiednio i zastosować resztę z macierzy tożsamości.

Na przykład: Aby podwoić rozmiar obiektu w poziomie, należy przyjąć wartość a równą 2, a resztę pozostawić jak w macierzy tożsamości.

Odbicie

Aby uzyskać lustrzane odbicie obiektu w poziomie, ustaw wartość a = -1, pionowo d=-1. Zmiana obu wartości służy do jednoczesnego wyświetlania w poziomie i w pionie.

Skłonić

Nachylenie obiektu w pionie/poziomie zapewnia się poprzez zmianę wartości b oraz C odpowiednio. Zmiana wartości nocleg ze śniadaniem- pochylenie góra/dół, c/-c- prawo lewo.

Na przykład: Aby przechylić obiekt pionowo w górę, ustaw wartość b = 1

Obliczamy nowe współrzędne obiektu:

W rezultacie tylko współrzędna prowadzi do nachylenia obiektu tak, która wzrasta o wartość x.

Skręcać

Obrót jest kombinacją skalowania i pochylania, ale aby zachować oryginalne proporcje obiektu, przekształcenia muszą być wykonane z precyzyjnymi obliczeniami przy użyciu sinusów i cosinusów.

Sam obrót jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, α ustawia kąt obrotu w stopniach.

poruszający

Ruch odbywa się poprzez zmianę wartości mi(w poziomie) i F(pionowo). Wartości podane są w pikselach.

Na przykład: Poruszanie się za pomocą matrycy jest rzadko stosowane ze względu na to, że operację tę można wykonać innymi metodami, na przykład poprzez zmianę pozycji obiektu w zakładce.

Ponieważ macierz transformacji ma tylko sześć elementów, które można zmienić, jest wyświetlana wizualnie w formacie PDF . Taka macierz może reprezentować dowolną transformację liniową z jednego układu współrzędnych do drugiego. Macierze transformacji są tworzone w następujący sposób:

Ruchy są określone jako , gdzie tx oraz t tak to odpowiednio pozioma i pionowa odległość od osi układu współrzędnych.
Skalowanie jest określone jako . To skaluje współrzędne tak, że 1 jednostka w wymiarze poziomym i pionowym w nowym układzie współrzędnych ma taki sam rozmiar jak s x oraz tak jednostki odpowiednio w starym układzie współrzędnych.
Obroty są wykonywane przez matrycę , co odpowiada obrotowi osi układu współrzędnych o θ stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Nachylenie jest określone jako , co odpowiada nachyleniu osi x na rogu α i osie tak na rogu β .

Poniższy rysunek przedstawia przykłady transformacji. Kierunki ruchu, kąt obrotu i pochylenia pokazane na rysunku odpowiadają dodatnim wartościom elementów matrycy.

Mnożenia macierzy nie są przemienne — kolejność, w jakiej macierze są mnożone, ma znaczenie.

W poniższej tabeli wymieniono prawidłowe przekształcenia i wartości macierzy.

oryginalny rysunek	Przekształcony rysunek	Matryca	Opis
		1 0 0 2 0 0	Skaluj w pionie. Jeśli wartość macierzy jest większa niż 1, obiekt rozszerza się, jeśli jest mniejsza niż 1, kurczy się.
		2 0 0 1 0 0	Skaluj w poziomie. Jeśli wartość macierzy jest większa niż 1, obiekt rozszerza się, jeśli jest mniejsza niż 1, kurczy się.
		-1 0 0 1 0 0	Odbicie w poziomie.
		1 0 0 -1 0 0	Odbicie w pionie.
		1 1 0 1 0 0	Przechyl pionowo w górę.
		1 -1 0 1 0 0	Przechyl pionowo w dół.
		1 0 1 1 0 0	Przechyl poziomo w prawo.
		1 0 -1 1 0 0

Elementarne przekształcenia macierzy są szeroko stosowane w różnych problemach matematycznych. Stanowią one na przykład podstawę znanej metody Gaussa (metody eliminacji niewiadomych) do rozwiązywania układu równań liniowych.

Podstawowe przekształcenia to:

1) permutacja dwóch rzędów (kolumn);

2) pomnożenie wszystkich elementów rzędu (kolumny) macierzy przez pewną liczbę nie równą zero;

3) dodanie dwóch wierszy (kolumn) macierzy pomnożonej przez tę samą liczbę niezerową.

Dwie macierze nazywają się równowartość, jeśli jeden z nich można uzyskać od drugiego po skończonej liczbie przekształceń elementarnych. Ogólnie rzecz biorąc, macierze ekwiwalentne nie są równe, ale mają tę samą rangę.

Obliczanie wyznaczników za pomocą przekształceń elementarnych

Stosując przekształcenia elementarne, łatwo jest obliczyć wyznacznik macierzy. Na przykład wymagane jest obliczenie wyznacznika macierzy:

Następnie możesz wyjąć mnożnik:

teraz odejmując od elementów J th kolumnie, odpowiadające elementy pierwszej kolumny, pomnożone przez , otrzymujemy wyznacznik:

czyli: gdzie

Następnie powtarzamy te same kroki dla i, jeśli wszystkie elementy, to w końcu otrzymujemy:

Jeżeli dla jakiegoś pośredniego wyznacznika okaże się, że jego górny lewy element to , to należy przestawić wiersze lub kolumny tak, aby nowy górny lewy element nie był równy zero. Jeśli ∆ ≠ 0, to zawsze można to zrobić. W tym przypadku należy wziąć pod uwagę, że znak wyznacznika zmienia się w zależności od tego, który element jest głównym (czyli kiedy macierz jest przekształcana tak, że ). Wtedy znakiem odpowiedniego wyznacznika jest .

PRZYKŁAD Korzystając z przekształceń elementarnych, sprowadź macierz

do trójkątnego kształtu.

Rozwiązanie: Najpierw pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez 4, a drugi wiersz przez (-1) i dodaj pierwszy wiersz do drugiego:

Teraz pomnóż pierwszy rząd przez 6, a trzeci przez (-1) i dodaj pierwszy rząd do trzeciego:

Na koniec pomnóż drugi rząd przez 2 i trzeci rząd przez (-9) i dodaj drugi rząd do trzeciego:

Rezultatem jest górna trójkątna macierz

Przykład. Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą aparatu macierzowego:

Rozwiązanie. Zapiszmy ten system równania liniowe w postaci macierzowej:

Rozwiązanie tego układu równań liniowych w postaci macierzowej ma postać:

gdzie jest macierz odwrotna do macierzy A.

Wyznacznik macierzy współczynników A równa się:

stąd macierz A ma odwrotną macierz.

2. Maltsev A.I. Podstawy algebry liniowej. – M.: Nauka, 1975. – 400 s.

3. Bronstein I.N., Semendyaev K.A. Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni. – M.: Nauka, 1986. – 544 s.

Przekształceniami elementarnymi są następujące operacje na wierszach i kolumnach macierzy A:

1) zamiana dwóch wierszy lub kolumn macierzy;

2) pomnożenie wiersza lub kolumny macierzy przez liczbę inną niż zero;

3) dodanie do jednego rzędu (kolumny) innego rzędu (kolumny).

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi macierzy, to znaczy, jeśli macierz B otrzymuje się z macierzy A przez przekształcenia elementarne, to wtedy.

Dowód. jeden). Podczas zamiany dwóch kolumn macierzy nie zmienia się maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn, co oznacza, że nie zmienia się również jej ranga.

2). Niech macierz B otrzymamy z macierzy A, mnożąc i-ty wiersz przez liczbę t0 i r(A) =k. Oczywiście każda podrzędna z macierzy B, która nie zawiera i-tego wiersza, jest równa odpowiadającej mniejszej z macierzy A, a każda podrzędna z macierzy B, która zawiera i-ty wiersz, jest równa odpowiedniej podrzędnej macierzy A pomnożonej przez liczba t. W związku z tym, mniejsze rzędu k macierzy B odpowiadające bazowej mniejszej macierzy A będzie różne od zera, a wszystkie mniejsze rzędu k+1 macierzy B, jak również wszystkie mniejsze rzędu k+1 macierzy A, będzie równy zero. A to oznacza, że r(B)=k=r(A).

3). Niech macierz B otrzymamy z macierzy A przez dodanie i-tego wiersza do j-tego i r(A) =k. Minorki rzędu k + 1 macierzy B, które nie zawierają j-tego wiersza, będą równe odpowiednim nieletnim macierzy A, a zatem będą równe zero. Mniejsze rzędu k+1 macierzy B zawierającej i-ty i j-ty wiersz będą równe sumie dwóch zerowych wyznaczników. Jeden z tych wyznaczników zawiera dwa identyczne wiersze (wiersz j zawiera elementy wiersza i), a drugi wyznacznik jest drugorzędnym rzędu k+1 macierzy A, a zatem jest równy zero. Minory rzędu k+1 macierzy B zawierającej j-ty wiersz, ale niezawierające i-tego rzędu, będą równe sumie dwóch mniejszych rzędu k+1 macierzy A, a zatem będą również równe zero. W związku z tym wszystkie drugorzędne rzędu k+1 w B są równe 0 i r(B)k=r(A).

Niech macierz C otrzymamy z macierzy B, mnożąc i-ty wiersz przez (-1). Następnie macierz A otrzymuje się z macierzy C przez dodanie i-tego wiersza do j-tego wiersza i pomnożenie i-tego wiersza przez (-1). Zatem, jak wykazano powyżej, będzie to r(A)r(C) =r(B). Zatem nierówności r(B)r(A) i r(A)r(B) zachodzą jednocześnie, stąd wynika, że r(A) =r(B).

Ta właściwość przekształceń elementarnych jest wykorzystywana w praktyce do obliczania rangi macierzy. Aby to zrobić, za pomocą przekształceń elementarnych dana (niezerowa) macierz A zostaje zredukowana do formy trapezowej, czyli do formy

B= ,

gdzie elementy dla wszystkich i = 1,2,...,k; elementy dla wszystkich i > j oraz

ja > k. Oczywiście r(B) = k, czyli rząd macierzy B jest równy liczbie niezerowych wierszy. Wynika to z faktu, że rząd k-moll macierzy B, położonej na przecięciu pierwszych k rzędów i kolumn, jest wyznacznikiem diagonalnym i jest równy; a każda drugorzędna rzędu k + 1 macierzy B zawiera wiersz zerowy, a zatem jest równa 0 (lub, jeśli k = n, takich drugorzędnych w ogóle nie ma).

Twierdzenie. Dowolną niezerową macierz A o wymiarze mn można sprowadzić do postaci trapezowej za pomocą przekształceń elementarnych.

Dowód. Ponieważ A0, to istnieje element macierzy
. Przestawiając pierwszy i i-ty wiersz, pierwszą i j-tą kolumnę, przesuwamy element w lewym górnym rogu matrycy i oznacz
. Następnie do i-tego wiersza wynikowej macierzy (i= 2,3, …,m) dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez liczbę . W wyniku tych elementarnych przekształceń otrzymujemy macierz

A
.

Jeśli wszystkie elementy
macierze A są równe zeru, to twierdzenie jest udowodnione. Jeśli jest element
, następnie permutując drugi i i-ty wiersz, drugą i j-tą kolumnę macierzy A, przesuwamy element w miejsce elementu i oznacza
(Jeśli
, to od razu oznaczamy
). Następnie do i-tego wiersza wynikowej macierzy (i= 3, …,m) dodajemy drugi wiersz pomnożony przez liczbę . W rezultacie otrzymujemy macierz

Kontynuując ten proces, w skończonej liczbie kroków otrzymujemy macierz B, czyli doprowadzamy macierz A do postaci trapezu.

Przykład. Oblicz rangę macierzy



. Strzałki wskazują następujące przekształcenia elementarne: 1) zamieniono pierwszy i drugi wiersz; 2) dodał trzecią linię do czwartej linii; 3) dodał do trzeciego wiersza pierwszy, pomnożony przez -2, a czwarty wiersz podzielił przez 3; 4) podzielił trzeci rząd przez 5 i zamienił rząd trzeci i czwarty; 5) do trzeciego wiersza, pomnożone przez -3, dodano drugi wiersz, a trzeci wiersz dodano do czwartego wiersza. Widać, że macierz otrzymana z macierzy A przez wskazane przekształcenia elementarne ma kształt trapezu z trzema niezerowymi rzędami. Dlatego r(A) = 3.