Інтернет

Елементарні перетворення зворотної матриці. Елементарні матриці

Визначення 5.8. Елементарними перетвореннями рядків матриціназивають такі перетворення:

1) множення рядка матриці на ненульове дійсне число;

2) додаток до одного рядка матриці іншого рядка, помноженої на довільне дійсне число.

Лемма 5.1.За допомогою елементарних перетворень рядків матриці можна поміняти місцями будь-які два рядки.

Доведення.

А = .

Ступінчаста матриця. Ранг матриці

Визначення 5.9. Ступінчастоїбудемо називати матрицю, яка має наступні властивості:

1) якщо i-я рядок нульовий, то ( i+ 1)-й рядок також нульовий,

2) якщо перші ненульові елементи i-й і ( i+ 1)-й рядків розташовані у стовпцях з номерами kі Rвідповідно, то k < R.

Умова 2) вимагає обов'язкового збільшення нулів зліва при переході від i-й рядки до ( i+ 1)-й рядок. Наприклад, матриці

А 1 = , А 2 = , А 3 =

є ступінчастими, а матриці

У 1 = , У 2 = , У 3 =

ступінчастими не є.

Теорема 5.1.Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастого за допомогою елементарних перетворень рядків.

Проілюструємо цю теорему з прикладу.

А=

Матриця, що вийшла, - ступінчаста.

Визначення 5.10. Рангом матриціназиватимемо число ненульових рядків у ступінчастому вигляді цієї матриці.

Наприклад, ранг матриці А попередньому прикладі дорівнює 3.

Запитання для самоконтролю

1. Що називається матрицею?

2. Як проводиться додавання та віднімання матриць; множення матриці на число?

3. Дайте визначення множення матриць.

4. Яка матриця називається транспонованою?

5. Які перетворення рядків матриці називаються елементарними?

6. Дайте визначення ступінчастої матриці.

7. Що називають рангом матриці?

Визначники

Обчислення визначників

Визначники другого порядку

Розглянемо квадратну матрицю другого порядку

Визначення 6.1. Визначником другого порядку,відповідним матриці A,називається число, що обчислюється за формулою

│А│= = .

Елементи a ij називаються елементами визначника│A│, елементи а 11 , а 22 утворюють головну діагональ, а елементи а 12 , а 21 – побічну.

приклад. = –28 + 6 = –22.

Визначники третього порядку

Розглянемо квадратну матрицю третього порядку

А = .

Визначення 6.2. Визначником третього порядку,відповідним матриці А, називається число, що обчислюється за формулою

│А│= = .

Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності слід брати зі знаком «плюс», а які ─ зі знаком «мінус», корисно запам'ятати правило, яке називається правилом трикутника:

приклад.

1) = –4 + 0 + 4 – 0 + 2 + 6 = 8.

2) = 1, тобто │ Е 3 │= 1.

Розглянемо ще один метод обчислення визначника третього порядку.

Визначення 6.3. Мінором M ijелемента a ij визначника називається визначник, отриманий з даного креслення i-й рядки та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненнямA ijелемента a ij визначника називається його мінор M ij, взятий зі знаком (–1) i+j.

приклад.Обчислимо мінор М 23 та алгебраїчне доповнення А 23 елементи а 23 у матриці

Обчислимо мінор М 23:

М 23 = = = –6 + 4 = –2.

Тоді А 23 = (–1) 2+3 М 23 = 2.

Теорема 6.1.Визначник третього порядку дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.

Доведення.За визначенням

= . (6.1)

Виберемо, наприклад, другий рядок і знайдемо додатки алгебри А 21 , А 22 , А 23:

А 21 = (–1) 2+1 = –() = ,

А 22 = (–1) 2+2 = ,

А 23 = (–1) 2+3 = –() = .

Перетворимо формулу (6.1)

│А│= () + () + () =

= А 21 + А 22 + А 23.

Формула А│= А 21 + А 22 + А 23 . називається розкладанням визначника│А│ за елементами другого рядка. Аналогічно розкладання можна отримати за елементами інших рядків та будь-якого стовпця

приклад.

= (за елементами другого стовпця) = 1× (–1) 1+2 + 2 × (–1) 2+2 +

+ (–1)(–1) 3+2 = –(0 + 15) + 2(–2 +20) + (–6 +0) = –15 +36 – 6 = 15.

6.1.3 Визначники n-го порядку ( n N)

Визначення 6.4. Визначником n-го порядку,відповідним матриці n-го порядку

А =

називається число, рівне сумі творів елементів будь-якої рядки (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто.

│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj.

Неважко помітити, що за n= 2 виходить формула обчислення визначника другого порядку. Якщо n= 1, то за визначенням вважатимемо | A| = |a | = a .

приклад. = (за елементами 4-го рядка) = 3×(–1) 4+2 +

2×(–1) 4+4 = 3(–6 + 20 –2 –32) +2(– 6 +16 +60 +2) = 3(–20) +2×72 = –60 +144 = 84 .

Зауважимо, що якщо у визначнику всі елементи будь-якого рядка (стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то при обчисленні визначника його зручно розкласти по елементах цього рядка (стовпця).

приклад.

│Е n│= = 1 × │ E n - 1 │ = … = │E 3 │= 1.

Властивість визначників

Визначення 6.5.Матрицю виду

або

будемо називати трикутною матрицею.

Властивість 6.1.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто.

= = .

Властивість 6.2.Визначник матриці з нульовим рядком або нульовим стовпцем дорівнює нулю.

Властивість 6.3.При транспонуванні матриці визначник не змінюється, тобто.

│А│= │А t│.

Властивість 6.4.Якщо матриця Увиходить із матриці Амноженням кожного елемента деякого рядка на число k, то

│У│= k│А│.

Властивість 6.5.

= + .

Властивість 6.6.Якщо матриця Увиходить із матриці Аперестановкою двох рядків, то│ У│= −│А│.

Властивість 6.7.Визначник матриці з пропорційними рядками дорівнює нулю, зокрема нулю дорівнює визначник матриці з двома однаковими рядками.

Властивість 6.8.Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати елементи іншого рядка матриці, помножені на деяке число.

Зауваження. 6.1.Оскільки за властивістю 6.3 визначник матриці не змінюється при транспонуванні, то всі властивості про рядки матриці правильні і для стовпців.

Властивість 6.9.Якщо Аі У – квадратні матриціпорядку n, то │ АВ│=│А││У│.

зворотна матриця

Визначення 6.6.Квадратна матриця Апорядку nназивається оборотний,якщо існує матриця Утака, що АВ = ВА = Е n. У цьому випадку матриця Уназивається зворотної до матриціАі позначається А –1 .

Теорема 6.2.Справедливі такі твердження:

1) якщо матриця Аоборотна, існує точно одна їй зворотна матриця;

2) оборотна матриця має визначник, відмінний від нуля;

3) якщо Аі В – оборотні матриці порядку n, то матриця АВоборотна, причому ( АВ) –1 = У-1 × А –1 .

Доведення.

1. Нехай Уі З- матриці, зворотні до матриці А, тобто. АВ = ВА = Е nі АС = СА = Е n. Тоді В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.

2. Нехай матриця Аоборотна. Тоді існує матриця А-1, їй зворотна, причому

АА –1 = Е n.

За якістю 6.9 визначника │ АА –1 │=│А││А –1 │. Тоді │ А││А –1 │=│Е n│, звідки │ А││А–1 │= 1. Отже, │ А│¹ 0.

3. Справді,

(АВ)(У –1 А –1) = (А(ВВ –1))А –1 = (АЕ n)А –1 = АА –1 = Е n .

(У –1 А –1)(АВ) = (У –1 (А-1 А 21 = -1, А 22 = 2. Тоді А –1 = .

Запитання для самоконтролю

1. Що називається визначником?

2. Якими є його основні властивості?

3. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням?

4. Які способи обчислення визначників (другого, третього та n-го порядків)?

5. Яка матриця називається квадратною?

Подібна інформація.

Матриця, види матриць, події над матрицями.

Види матриць:

1. Прямокутні: mі n- довільні позитивні цілі числа

2. Квадратні: m=n

3. Матриця рядок: m=1. Наприклад, (1 3 5 7) - у багатьох практичних завданнях така матриця називається вектором

4. Матриця стовпець: n=1. Наприклад

5. Діагональна матриця: m=nі a ij = 0, якщо i≠j. Наприклад

6. Одинична матриця: m=nі

7. Нульова матриця: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Трикутна матриця: всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють 0.

9. Симетрична матриця:m=nі a ij = a ji(тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять рівні елементи), а отже A"=A

Наприклад,

10. Кососиметрична матриця: m=nі a ij =-a ji(Тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять протилежні елементи). Отже, на головній діагоналі стоять нулі (бо при i=jмаємо a ii =-a ii)

Дії над матрицями:

1. Додавання

2. Відніманняматриць - поелементна операція

3. твірматриці на число – поелементна операція

4. множення A*Bматриць за правилом рядок на стовпець(число стовпців матриці А має дорівнювати числу рядків матриці B)

A mk * B kn = C mnпричому кожен елемент з ijматриці C mnдорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А відповідні елементи j-го стовпця матриці B , тобто.

Покажемо операцію множення матриць на прикладі

5. Транспонування матриці А. Транспоновану матрицю позначають A T або A

наприклад

Рядки та стовпці помінялися місцями

Властивості операцій над матрицями:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Визначники другого та третього порядку (основні поняття, св-ва, обчислення)

Властивість 1.Визначник не змінюється під час транспонування, тобто.

Доведення.

Зауваження. Наступні властивості визначників формулюватимуться лише для рядків. При цьому з властивості 1 випливає, що тими ж властивостями будуть володіти стовпці.

Властивість 2. При множенні елементів рядка визначника деяке число весь визначник множиться цього число, тобто.

Доведення.

Властивість 3.Визначник, що має нульовий рядок, дорівнює 0.

Доказ цієї властивості випливає із властивості 2 при k = 0.

Властивість 4.Визначник, що має два рівні рядки, дорівнює 0.

Доведення.

Властивість 5. Визначник, два рядки якого пропорційні, дорівнює 0.

Доказ випливає з властивостей 2 та 4.

Властивість 6. При перестановці двох рядків визначника він збільшується на –1.

Доведення.

Властивість 7.

Доказ цієї властивості можна провести самостійно, порівнявши значення лівої та правої частин рівності, знайдені за допомогою визначення 1.5.

Властивість 8.Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на те саме число.

Мінор. Алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа.

Метод приведення до трикутного виглядуполягає в такому перетворенні даного визначника, коли всі елементи його, що лежать з одного боку однієї з його діагоналей, стають рівними нулю.

Приклад 8.Обчислити визначник

приведенням до трикутного вигляду.

Рішення.Віднімемо перший рядок визначника з інших його рядків. Тоді отримаємо

Цей визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Таким чином, маємо

Зауваження.Все розглянуте вище можна узагальнити визначників n-го порядку.

Приведення матриці до ступінчастого вигляду. Елементарні перетворення рядків та стовпців.

Елементарними перетвореннями матриціназиваються такі її перетворення:

I. Перестановка двох стовпців (рядків) матриці.

ІІ. Примноження всіх елементів одного стовпця (рядки) матриці на те саме число, відмінне від нуля.

ІІІ. Додаток до елементів одного стовпця (рядки) відповідних елементів іншого стовпця (рядка), помножених на те саме число.

Матриця отримана з вихідної матриці кінцевим числом елементарних перетворень, називається еквівалентної . Це позначається.

Елементарні перетворення застосовуються для спрощення матриць, що буде використовуватися надалі для вирішення різних завдань.

Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), необхідно виконати такі дії.

1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок ), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.

2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.

3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, дорівнювали нулю (перетворення III типу).

4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.

приклад 1.29.Привести до східчастого вигляду матриці

Матриця перетворень застосовується для обчислення нових координат об'єкта за його трансформації. Змінюючи значення елементів матриці перетворення, до об'єктів можна застосовувати будь-які трансформації (наприклад: масштабування, дзеркальне відображення, поворот, переміщення тощо). При будь-якій трансформації зберігається паралельність ліній об'єкта.

Координати PDF виражаються в термінах двовимірного простору. Точка (x, y) у просторі може бути виражена у векторній формі . Постійний третій елемент вектора (1) потрібен для використання вектора з матрицями 3х3 в обчисленнях, описаних нижче.

Перетворення між двома системами координат представлено як матриця 3х3 і записується наступним чином:

Координатні перетворення виражаються у вигляді матричних множень:

Оскільки остання колонка не надає жодного впливу результати розрахунку, вона у обчисленнях не бере участі. Координати трансформації вираховуються за такими формулами:

Одинична матриця

Одиничною матрицею називається, та у якої значення матриці aі dрівні 1 , а решта рівні 0 . Така матриця застосовується за умовчанням, оскільки не призводить до трансформації. Тому одиничну матрицю використовують як основу.

Масштабування

Для збільшення або зменшення розміру об'єкта по горизонталі/вертикалі слід змінити значення aабо dвідповідно, а решту застосувати з одиничної матриці.

Наприклад:Для збільшення розміру об'єкта вдвічі по горизонталі, значення a необхідно прийняти рівним 2, а інші залишити такими, як у одиничній матриці.

Відображення

Щоб отримати дзеркальне відображення об'єкта по горизонталі, слід встановити значення a = -1, по вертикалі d = -1. Зміна обох значень застосовується для одночасного відображення по горизонталі та вертикалі.

Нахил

Нахил об'єкта по вертикалі/горизонталі забезпечується зміною значень bі cвідповідно. Зміна значення b/-b- нахил вгору/вниз, c/-c- Вправо / вліво.

Наприклад:Для нахилу об'єкта по вертикалі вгору встановимо значення b = 1

Обчислюємо нові координати об'єкта:

У результаті до нахилу об'єкта наводить лише координата y, яка збільшується на значення x.

Поворот

Поворот — це комбінація масштабування та нахилу, але для збереження початкових пропорцій об'єкта перетворення повинні проводитися з точними обчисленнями при використанні синусів і косінусів.

Сам поворот відбувається проти годинникової стрілки, α задає кут повороту у градусах.

Переміщення

Переміщення здійснюється зміною значень e(по горизонталі) та f(по вертикалі). Значення задаються у пікселях.

Наприклад:Переміщення з використанням матриці застосовується рідко через те, що цю операцію можна зробити іншими методами, наприклад, змінити положення об'єкта у вкладці .

Оскільки матриця трансформації має лише шість елементів, які можуть бути змінені, візуально вона відображається у PDF . Така матриця може представляти будь-яке лінійне перетворення з однієї координатної системи на іншу. Матриці перетворень утворюються так:

Переміщення вказуються як , де t xі t y- Відстань від осі системи координат по горизонталі і вертикалі, відповідно.
Масштабування вказується як . Це масштабує координати так, що 1 одиниця у горизонтальному та вертикальному вимірах у новій координатній системі такого ж розміру, як і s xі s yодиниць у старій координатній системі відповідно.
Повороти виробляються матрицею що відповідає повороту осей координатної системи на θ градусів проти годинникової стрілки.
Нахил вказується як що відповідає нахилу осі xна кут α та осі yна кут β .

На малюнку нижче показано приклади трансформації. Напрямки переміщення, кут повороту та нахилу, показані на малюнку, відповідають позитивним значенням елементів матриці.

Множення матриці не коммутативні - порядок, в якому перемножуються матриці, має значення.

У таблиці нижче наведено допустимі перетворення та значення матриці.

Початковий малюнок	Трансформований малюнок	Матриця	Опис
		1 0 0 2 0 0	Масштаб за вертикаллю. Якщо значення матриці більше 1, об'єкт розширюється, менше 1 стискається.
		2 0 0 1 0 0	Масштаб по горизонталі. Якщо значення матриці більше 1, об'єкт розширюється, менше 1 стискається.
		-1 0 0 1 0 0	Відображення горизонталлю.
		1 0 0 -1 0 0	Відображення по вертикалі.
		1 1 0 1 0 0	Нахил по вертикалі нагору.
		1 -1 0 1 0 0	Нахил вертикалі вниз.
		1 0 1 1 0 0	Нахил по горизонталі праворуч.
		1 0 -1 1 0 0

Елементарні перетворення матрицізнаходять широке застосування різних математичних завданнях. Наприклад, вони становлять основу відомого методу Гаусса (методу виключення невідомих) на вирішення системи лінійних рівнянь .

До елементарних перетворень відносяться:

1) перестановка двох рядків (стовпців);

2) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на деяке число, що не дорівнює нулю;

3) складання двох рядків (стовпців) матриці, помножених на те саме число, відмінне від нуля.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них може бути отримана з іншої після кінцевого числа елементарних перетворень. У загальному випадку еквівалентні матриці рівними не є, але мають один і той самий ранг.

Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень

За допомогою елементарних перетворень легко визначити обчислювач матриці. Наприклад, потрібно обчислити визначник матриці:

Тоді можна винести множник:

тепер, віднімаючи з елементів j-го стовпця відповідні елементи першого стовпця, помножені на отримаємо визначник:

який дорівнює: де

Потім повторюємо ті ж дії для і, якщо всі елементи тоді остаточно отримаємо:

Якщо для якого-небудь проміжного визначника виявиться, що його верхній лівий елемент , то необхідно переставити рядки або стовпці в так, щоб новий лівий верхній елемент був не дорівнює нулю. Якщо Δ ≠ 0, це завжди можна зробити. При цьому слід враховувати, що знак визначника змінюється в залежності від того, який елемент є головним (тобто коли матриця перетворена так, що ). Тоді знак відповідного визначника дорівнює.

П р і м е р. За допомогою елементарних перетворень навести матрицю

до трикутного вигляду.

Розв'язання. Спочатку помножимо перший рядок матриці на 4, а другий на (–1) і додамо перший рядок до другого:

Тепер помножимо перший рядок на 6, а третій на (–1) і додамо перший рядок до третього:

Нарешті, помножимо 2-й рядок на 2, а 3-й на (–9) і додамо другий рядок до третього:

В результаті отримано верхню трикутну матрицю.

приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь, використовуючи матричний апарат:

Рішення.Запишемо цю системулінійних рівнянь у матричній формі:

Вирішення даної системи лінійних рівнянь у матричній формі має вигляд:

де - матриця, зворотна до матриці А.

Визначник матриці коефіцієнтів Адорівнює:

отже, матриця Амає зворотну матрицю.

2. Мальцев А.І. Основи лінійної алгебри. - М.: Наука, 1975. - 400 с.

3. Бронштейн І.М., Семендяєв К.А. Довідник з математики для інженерів та учнів втузів. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

Елементарними перетвореннями називають такі дії над рядками та стовпцями матриці A:

1) перестановку місцями двох рядків чи стовпців матриці;

2) множення рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

3) додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця).

Теорема.Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, тобто якщо матриця B отримана з матриці A елементарними перетвореннями, то.

Доведення. 1). При перестановці місцями двох стовпців матриці максимальне число лінійно незалежних стовпців не змінюється, отже, не змінюється її ранг.

2). Нехай матриця B отримана з матриці A множенням i-го рядка на число t0 іr(A) =k. Очевидно, будь-який мінор матриці B, що не містить i-те рядок, дорівнює відповідному мінору матриці A, а будь-який мінор матриці B, що містить i-ту рядок, дорівнює відповідному мінору матриці A помноженому на число t. Отже, мінор порядку k матриці B, відповідний базисному мінору матриці A, буде відмінний від нуля, а всі мінори порядку k +1 матриці B, як і всі мінори порядку k + 1 матриці A, дорівнюватимуть нулю. А це означає, що r(B)=k=r(A).

3). Нехай матриця B отримана з матриці A додаваннямi-ого рядка доj-того рядка r(A) =k. Мінори порядку k+1 матриці B, що не містять j-ту рядок, дорівнюють відповідним мінорам матриці A, і тому дорівнюють нулю. Мінори порядку k+1 матриці B, що містять i-ту іj-ту рядки, дорівнюватимуть сумі двох нульових визначників. Один з цих визначників містить два однакових рядки (вj-тому рядку розташовані елементиi–того рядка), а другий визначник є мінором порядкуk+1 матриціAі тому дорівнює нулю. Мінори порядку k + 1 матриці B, що містять j-ту рядок, але не містять i - той рядок, дорівнюватимуть сумі двох мінорів порядку k + 1 матриці A і тому теж будуть рівні нулю. Отже, всі мінори порядку k+1 матриці B дорівнюють 0 і r(B)k=r(A).

Нехай матриця отримана з матриціBмноженням i–того рядка на (-1). Тоді матриця A виходить з матриці C додаваннямi-того рядка доj-того рядка і множеннямi-того рядка на (-1). Отже, як було доведено вище, r(A)r(C) =r(B). Таким чином, одночасно справедливі нерівності r(B)r(A) іr(A)r(B) звідки випливає, щоr(A) =r(B).

Цю властивість елементарних перетворень використовують практично для обчислення рангу матриці. Для цього за допомогою елементарних перетворень наводять дану (ненульову) матрицю A до трапецеподібної форми, тобто до виду

B = ,

де елементи всім i = 1,2,...,k; елементи для всіх i > j та

i > k. Очевидно, що r(B) = k, тобто ранг матриці дорівнює числу ненульових рядків. Це випливає з того, що мінор порядку k матриці, розташований на перетині перших k рядків і стовпців, є визначником діагонального виду і дорівнює; а будь-який мінор порядку k+1 матриці містить нульовий рядок, а значить, дорівнює 0 (або, якщо k = n, таких мінорів немає взагалі).

Теорема.Будь-яку ненульову матрицюAрозмірностіmnможна призвести до трапецеподібної форми за допомогою елементарних перетворень.

Доведення.Оскільки A0, то існує елемент матриці
. Переставивши місцями перший і-й рядки, перший і-й стовпці, перемістимо елемент у лівий верхній кут матриці та позначимо
. Потім до рядка отриманої матриці (i= 2,3, …,m) додамо перший рядок, помножений на число . В результаті цих елементарних перетворень отримаємо матрицю

A
.

Якщо всі елементи
матриці A дорівнюють нулю, то теорема доведена. Якщо ж існує елемент
, то, перестановкою другого і i-того рядків, другого іj-того стовпців матриці A, перемістимо елемент на місце елемента і позначимо
(якщо
тоді відразу позначимо
). Потім до рядка отриманої матриці (i= 3, …,m) додамо другий рядок, помножений на число . В результаті отримаємо матрицю

Продовживши цей процес, за кінцеве число кроків отримаємо матрицю B, тобто наведемо матрицю як трапецеподібної формі.

приклад.Обчислимо ранг матриці



. Стрілки позначені такі елементарні перетворення: 1) переставили місцями перший і другий рядки; 2) додали до четвертого рядка третій; 3) додали до третього рядка перший, помножений на -2, і четвертий рядок поділили на 3; 4) поділили третій рядок на 5 та переставили місцями третій та четвертий рядки; 5) до третього рядка, помноженого на -3, додали другий рядок і до четвертого рядка додали третій. Видно, що матриця, отримана з матриці А вказаними елементарними перетвореннями, має трапецеподібну форму з трьома рядками. Отже, r(A) = 3.