Програми

Складне рух точки. Приклад розв'язання задачі

Траєкторія руху матеріальної точки через радіус-вектор

Забувши цей розділ математики, у моїй пам'яті рівняння руху матеріальної точки завжди представлялися за допомогою знайомої всім нам залежності. y(x), і глянувши на текст завдання, я трохи здивувався коли побачив вектори. Виявилося, що існує подання траєкторії матеріальної точки за допомогою радіус-вектора- Вектора, що задає положення точки в просторі відносно деякої заздалегідь фіксованої точки, званої початком координат.

Формула траєкторія руху матеріальної точки крім радіус-вектора описується так само ортами— одиничними векторами i, j, kу разі збігаються з осями системи координат. І, нарешті, розглянемо приклад рівняння траєкторії матеріальної точки (у двовимірному просторі):

Що цікавого у цьому прикладі? Траєкторія руху точки задається синусами і косинусами, як ви думаєте, як виглядатиме графік у всьому нам знайомому поданні y(x)? «Напевно якийсь моторошний», подумали ви, але все не так складно, як здається! Спробуємо побудувати траєкторію руху матеріальної точки y(x), якщо вона рухається за поданим вище законом:

Тут я помітив квадрат косинуса, якщо ви в якомусь прикладі бачите квадрат синуса або косинуса, це означає, що потрібно застосовувати основне тригонометричне тотожність, що я зробив (друга формула) і перетворив формулу координати yщоб замість синуса підставити в неї формулу зміни x:

У результаті жахливий закон руху точки виявився звичайною параболоюгілки якої спрямовані вниз. Сподіваюся, ви зрозуміли зразковий алгоритм побудови залежності y(x) з подання руху через радіус-вектор. Тепер перейдемо до нашого головного питання: як знайти вектор швидкості і прискорення матеріальної точки, а також їх модулі.

Вектор швидкості матеріальної точки

Всім відомо, що швидкість матеріальної точки — це величина пройденого шляху точкою за одиницю часу, тобто похідна формули закону руху. Щоб знайти вектор швидкості, потрібно взяти похідну за часом. Розгляньмо конкретний приклад знаходження вектора швидкості.

Приклад знаходження вектора швидкості

Маємо закон переміщення матеріальної точки:

Тепер потрібно взяти похідну від цього многочлена, якщо ви забули як це робиться, то ось вам. У результаті вектор швидкості матиме такий вигляд:

Все виявилося простіше, ніж ви думали, тепер знайдемо вектор прискорення матеріальної точки за тим самим законом, представленим вище.

Як знайти вектор прискорення матеріальної точки

Вектор прискорення точкице векторна величина, що характеризує зміну з часом модуля та напрямки швидкості точки. Щоб знайти вектор прискорення матеріальної точки у нашому прикладі, потрібно взяти похідну, але вже від формули вектора швидкості, представленої трохи вище:

Модуль вектор швидкості точки

Тепер знайдемо модуль вектора швидкості матеріальної точки. Як ви знаєте з 9-го класу, модуль вектора – це його довжина, у прямокутних декартових координатах дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат. І звідки з отриманого нами вище вектора швидкості взяти його координати запитаєте ви? Все дуже просто:

Тепер достатньо лише підставити час, вказаний у задачі та отримати конкретне числове значення.

Модуль вектор прискорення

Як ви зрозуміли з написаного вище (і з 9-го класу), знаходження модуля вектора прискорення відбувається тим же чином, що й модуля вектора швидкості: витягуємо квадратний корінь із суми квадратів координат вектора, все просто! Ну і ось вам, звичайно, приклад:

Як ви бачите, прискорення матеріальної точки за заданим вище законом не залежить від часу і має постійну величину та напрямок.

Ще приклади розв'язання задачі знаходження вектора швидкості та прискорення

А ось тут ви можете знайти приклади вирішення та інших завдань з фізики. А для тих, хто не зовсім зрозумів як знайти вектор швидкості та прискорення, ось вам ще кілька прикладів з мережі без жодних зайвих пояснень, сподіваюся, вони вам допоможуть.

Якщо у вас виникли питання, ви можете задати їх у коментарях.

Знайдемо, як обчислюються швидкість та прискорення точки, якщо рух задано рівняннями (3) або (4). Питання визначення траєкторії у разі було розглянуто в § 37.

Формули (8) і (10), що визначають значення v і а, містять похідні часу від векторів . У рівностях, що містять похідні від векторів, перехід до залежностей між проекціями здійснюється за допомогою наступної теореми: проекція похідної від вектора на вісь, нерухому в даній системі відліку, дорівнює похідній від векторної проекції на ту ж вісь, тобто.

1. Визначення швидкості точки. Вектор швидкості точки Звідси виходячи з формул (І), враховуючи, що знайдемо:

де точка над літерою є символом диференціювання за часом. Таким чином, проекції швидкості точки на координатні осі дорівнюють першим похідним від відповідних координат тічки за часом.

Знаючи проекції швидкості, знайдемо її модуль і напрямок (тобто кути , які вектор утворює з координатними осями) за формулами

2. Визначення прискорення точки. Вектор прискорення точки Звідси виходячи з формул (11) отримуємо:

т. е. проекції прискорення точки на координатні осі дорівнюють першим похідним від проекцій швидкості або другим похідним від відповідних координат точки за часом. Модуль та напрям прискорення знайдуться з формул

де - кути, що утворюються вектором прискорення з коорді осями.

Отже, якщо рух точки задано в декартових прямокутних координатах рівняннями (3) або (4), то швидкість точки визначається за формулами (12) та (13), а прискорення – за формулами (14) та (15). При цьому у разі руху, що відбувається в одній площині, у всіх формулах має бути відкинута проекція на вісь

Формули швидкості (прискорення) точок твердого тіла, виражені через швидкість (прискорення) полюса та кутову швидкість (прискорення). Висновок цих формул із принципу, що відстані між будь-якими точками тіла при його русі залишаються постійними.

Зміст

Основні формули

Швидкість і прискорення точки твердого тіла з вектором радіус визначаються за формулами:
;
.
де - Кутова швидкість обертання, - Кутове прискорення. Вони рівні всім точок тіла і можуть змінюватися з часом t .
і - швидкість і прискорення довільним чином обраної точки A з вектором радіус .
Таку точку часто називають полюсом.

Тут і далі твори векторів у квадратних дужках означають векторні твори.

Висновок формули для швидкості Виберемо прямокутну нерухому систему координат Oxyz.Візьмемо дві довільні точки твердого тіла A та B . Нехай(x A, y A, z A)
, .

і (x B, y B, z B)- Координати цих точок. При русі твердого тіла є функціями від часу t .
.
Їхні похідні за часом t є проекціями швидкостей точок:

Скористаємося тим, що під час руху твердого тіла, відстань 2 .
(1)

| AB|
,
.
між точками залишається постійним, тобто не змінюється з часом t. (1) можна подати у вигляді скалярного твору векторів:
(2) .
Звідси випливає, що вектор перпендикулярний вектору.
(3) .
Скористайтеся властивістю векторного твору. Тоді можна уявити у вигляді: (2) .
де - деякий вектор, який ми вводимо лише для того, щоб автоматично виконувалась умова (3) Запишемо
(4) ,

у вигляді: (4) :
;
;
.
Тепер займемося вивченням властивостей вектора.

.
Для цього складемо рівняння, яке не містить швидкостей точок. Візьмемо три довільні точки твердого тіла A, B та C .
(5) .

Запишемо для кожної пари цих точок рівняння (5) Складемо ці рівняння:
,
Скорочуємо суму швидкостей у лівій та правій частині. В результаті отримуємо векторне рівняння, що містить лише досліджувані вектори: (4) Легко помітити, що рівняння
(6) .

має рішення: де - якийсь вектор, що має рівне значення для будь-яких пар точок твердого тіла. Тоді рівняннядля швидкостей точок тіла набуде вигляду: (5) Тепер
розглянемо рівняння (5) з математичної точки зору. Якщо записати це векторне рівняння за компонентами на осі координат x, y, z, то векторне рівняння
є лінійною системою, що складається з 3-х рівнянь з 9-ма змінними: (5) BAx , BAy , BAz , CBx , CBy , CBz , 9 - 3 = 6 ω ACx , ω ACy , ω ACz . (6) Якщо рівняння системи

.

лінійно не залежні, їх загальне рішення містить (5) довільних постійних. Тож ми знайшли не всі рішення. Існують ще якісь. Щоб їх знайти помічаємо, що знайдене рішення повністю визначає вектор швидкості . Тому додаткові рішення не повинні призводити до зміни швидкості. Зауважимо, що векторний добуток двох рівних векторів дорівнює нулю. Тоді, якщо в
;
;
,
до вектора додати член, пропорційний, то швидкість не зміниться:

Тоді загальне рішення системи має вигляд:де C BA , C CB , C AC - постійні.
Випишемо загальне рішення системи (5)
у явному вигляді. ω BAx = ω x + C BA
(x B - x A) ω BAy = ω y + C BA
(y B - y A ) ω BAz = ω z + C BA
(z B - z A) ω CBx = ω x + C CB
(x C - x B) ω CBy = ω y + C CB
(y C - y B) ω CBz = ω z + C CB
(z C - z B) ω ACx = ω x + C AC
(x A - x C) ω ACy = ω y + C AC
(y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC.
(z A - z C) (5) .

Це рішення містить 6 довільних постійних:

ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC
(6) .

Як і має бути. Таким чином ми знайшли всі члени загального рішення системи

Фізичний зміст вектора .
Для цього покладемо v A = 0 . 0 Це завжди можна зробити якщо вибрати систему відліку, яка в момент часу, що розглядається, рухається відносно нерухомої системи зі швидкістю . (6) Початок системи відліку O помістимо до точки A .
.
Тоді r A =
.
І формула набуде вигляду:,
Ось z системи координат направимо вздовж вектора.
За властивістю векторного твору вектор швидкості перпендикулярний векторам і .

Тобто він паралельний площині xy.
Модуль вектора швидкості:
v B = ω r B
sin θ = ω | HB | де θ - це кут між векторами та ,.

|HB|

- Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки B на вісь z.
(6) .
Якщо вектор не змінюється з часом, то точка B рухається коло радіуса |HB| зі швидкістю v B = | HB | ω.

Тобто ω - це кутова швидкість обертання точки B навколо точки H. (6) Таким чином, ми приходимо до висновку, що це
.
вектор миттєвої кутової швидкості обертання твердого тіла

Швидкість точок твердого тіла

Отже, ми виявили, що швидкість довільної точки B твердого тіла визначається за формулою:
,
Вона дорівнює сумі двох членів. Точку A часто називають
.
полюсом
;
. Як полюс зазвичай вибирають нерухому точку або точку, що здійснює рух з відомою швидкістю. Другий член є швидкість обертання точок тіла щодо полюса A .
.
Оскільки точка B – це довільна точка, то у формулі
.
можна зробити підстановку. Тоді і швидкість точки твердого тіла з вектором радіус визначаються за формулою:
.
Швидкість довільної точки твердого тіла дорівнює сумі швидкості поступального руху полюса A та швидкості обертального руху щодо полюса A .
.

Прискорення точок твердого тіла
,
Тепер виведемо формулу для прискорення точок твердого тіла. Прискорення – це похідна швидкість за часом. Диференціюємо формулу для швидкості
застосовуючи правила диференціювання суми та добутку: зі швидкістю;
- Вводимо прискорення точки A;
- та кутове прискорення тіла.

Далі зауважуємо, що ТодіАбо

Тобто вектор прискорення точок твердого тіла можна подати у вигляді суми трьох векторів:завжди направлено у бік миттєвої осі обертання так, що перетинає її під прямим кутом.

Швидкість точки.

Перейдемо до вирішення другого основного завдання кінематики точки - визначення швидкості та прискорення за вже заданим векторним, координатним або природним способом руху.

1. Швидкістю точки називається векторна величина, що характеризує швидкість та напрямок переміщення точки. У системі СІ швидкість вимірюється м/с.

a) Визначення швидкості при векторному способі завдання руху .

Нехай рух точки заданий векторним способом, тобто. відоме векторне рівняння (2.1): .

Мал. 2.6. До визначення швидкості точки

Нехай за час Dtрадіус-вектор точки Мзміниться на величину. Тоді середньою швидкістю точки Мза час Dtназивається векторна величина

Згадуючи визначення похідної, укладаємо:

Тут і надалі знаком будемо позначати диференціювання за часом. При прагненні Dtдо нуля вектор , а, отже, і вектор , повертаються навколо точки Мі в межі збігаються з дотичною траєкторії в цій точці. Таким чином, вектор швидкості дорівнює першій похідній від радіус-вектора за часом і завжди спрямований по траєкторії до точки руху.

б) Швидкість точки при координатному способі завдання руху.

Виведемо формули визначення швидкості при координатному способі завдання руху. Відповідно до виразу (2.5), маємо:

Так як похідні від постійних за величиною та напрямком одиничних векторів дорівнюють нулю, отримуємо

Вектор, як і будь-який вектор, може бути виражений через свої проекції:

Порівнюючи вирази (2.6) і (2.7) бачимо, що похідні координат за часом мають цілком певний геометричний зміст - є проекціями вектора швидкості на координатні осі. Знаючи проекції, легко обчислити модуль та напрямок вектора швидкості (рис. 2.7):

Мал. 2.7.До визначення величини та напрямки швидкості

в) Визначення швидкості за природного способу завдання руху.

Мал. 2.8. Швидкість точки при природному способі завдання руху

Відповідно (2.4) ,

де – одиничний вектор дотичної. Таким чином,

Величина V=dS/dtназивається алгебраїчною швидкістю. Якщо dS/dt>0, то функція S = S(t)зростає і точка рухається у бік збільшення дугової координати S,тобто. точка рухається в позитивному напрямку Якщо ж dS/dt<0 точка рухається в протилежному напрямку.

2. Прискорення точки

Прискоренням називається векторна величина, що характеризує швидкість зміни модуля та напрямки вектора швидкості. В системі СІприскорення вимірюється в м/с 2 .

a) Визначення прискорення при векторному способі завдання руху .

Нехай крапка Му момент часу tперебуває в положенні М(t)і має швидкість V(t),а в момент часу t + Dtперебуває в положенні М(t + Dt)і має швидкість V(t + Dt)(Див. рис. 2.9).

Мал. 2.9. Прискорення точки при векторному способі завдання руху

Середнім прискоренням за проміжок часу Dtназивається відношення зміни швидкості до Dt,тобто.

Межа при Dt ® 0називається миттєвим (або просто прискоренням) точки Му момент часу t

Згідно (2.11), прискорення при векторному способі завдання руху дорівнює похідної векторної від швидкості за часом.

б).У скоріння при координатному способі завдання руху .

Підставляючи (2.6) у (2.11) та диференціюючи твори у дужках, знаходимо:

Враховуючи, що похідні від одиничних векторів дорівнюють нулю, отримуємо:

Вектор може бути виражений через свої проекції:

Порівняння (2.12) і (2.13) показує, що похідні від координат за часом мають цілком певний геометричний зміст: вони дорівнюють проекціям повного прискорення на координатні осі, тобто.

Знаючи проекції, легко обчислити модуль повного прискорення та напрямні косинуси, що визначають його напрямок:

в). Прискорення точки при природному способі завдання руху

Наведемо деякі відомості з диференціальної геометрії, необхідні визначення прискорення при природному способі завдання руху.

Нехай крапка Мрухається деякою просторовою кривою. З кожною точкою цієї кривої пов'язані три взаємно ортогональні напрями (дотична, нормаль і бінормаль), що однозначно характеризують просторову орієнтацію нескінченно малого елемента кривої поблизу даної точки. Нижче наводиться опис процесу визначення зазначених напрямів.

Для того щоб провести дотичну до кривої в точці М, проведемо через неї та прилеглу точку М 1січну ММ 1.

Мал. 2.10. Визначення дотичної до траєкторії руху точки

Стосовно кривої в точці Мвизначається як граничне положення сіючої ММ 1при прагненні точки М 1до точки М(Рис. 2.10). Одиничний вектор дотичної прийнято позначати грецькою літерою.

Проведемо поодинокі вектори, що стосуються траєкторії в точках. МВізьмемо дві довільні точки твердого тіла A та B . М 1. Перенесемо вектор у крапку М(рис. 2.11) і утворюємо площину, що проходить через цю точку та вектори та . Повторюючи процес утворення аналогічних площин при прагненні точки М 1до точки М, ми отримуємо в межі площину, звану стикається площиною.

Мал. 2.11. Визначення площини, що стикається

Очевидно, що для плоскої кривої площина, що стикається, збігається з площиною, в якій лежить сама ця крива. Площина, що проходить через точку Мі перпендикулярна дотичній у цій точці, називається нормальною площиною. Перетин стикається та нормальної площин утворює пряму, звану головною нормаллю (Рис. 2.12).

Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.

Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, лише зі знаком мінус (як пам'ятаєте, швидкість – це векторна величина).

> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

Мал. 1.8. Середнє прискорення.У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійно точки, що рухається, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто

V 2 > v 1

а напрямок вектора прискорення збігається з вектором швидкості

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто

V 2< v 1

той напрямок вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості Інакше кажучи, в даному випадку відбувається уповільнення рухупри цьому прискорення буде негативним (а< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Мал. 1.9. Миттєве прискорення.

При русі по криволінійної траєкторії змінюється як модуль швидкості, а й її напрям. У цьому випадку вектор прискорення являють собою дві складові (див. наступний розділ).

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямом і позначається буквою Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.