Метод эквивалентных преобразований в цепи переменного тока. Методы расчета линейных электрических цепей
Электрическая цепь с последовательным соединением сопротив-лений (рисунок 1.3, а) заменяется при этом цепью с одним эквива-лентным сопротивлением Rэк (рисунок 1.3, б), равным сумме всех сопротивлений цепи:
Rэк = R1 + R2 +…+ Rn = , (1.5)
где R1, R2 … Rn - сопротивления отдельных участков цепи.
Рисунок 1.3 Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений
При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:
U1/R1 = U2/R2 = … = Un/Rn.
При параллельном соединении сопротивлений все сопро-тивления находятся под одним и тем же напряжением U (рисунок 1.4). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением Rэк, которое опре-деляется из выражения
где - сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллель-ных ветвей электрической цепи;
Rj - сопротивление параллельного участка цепи;
n - число параллельных ветвей цепи.
Рисунок 1.4 Электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений
Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых парал-лельно соединенных сопротивлений, равно Rэк = Rj/n. При параллельном соединении двух сопротивлений R1 и R2 эквивалентное сопротивление определяется как
а токи распределяются обратно пропорционально этим сопротивлениям, при этом
U = R1I1 = R2I2 = … = RnIn.
При смешанном соединении сопротивлений, т.е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением
Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рисунок 1.5), эквивалентной звездой (рисунок 1.5).
Рисунок 1.5 Электрическая цепь с соединением сопротивлений треугольником и звездой
При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:
R1 = ; R2 = ; R3 = ,
где R1, R2, R3 - сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений;
R12, R23, R31 - сопротивления сторон эквивалентного треугольни-ка сопротивлений. При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений, сопротивления его рассчитывают по формулам:
R31 = R3 + R1 + R3R1/R2; R12 = R1 + R2 + R1R2/R3; R23 = R2 + R3 + R2R3/R1.
2.2. Параллельное соединение элементов
электрических цепей
На рис. 2.2 показана электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений.
Рис. 2.2
Токи в параллельных ветвях определяются по формулам:
где
- проводимости 1-й, 2-й и n-й ветвей.
В соответствии с первым законом Кирхгофа, ток в неразветвленной части схемы равен сумме токов в параллельных ветвях.
Эквивалентная проводимость электрической цепи, состоящей из n параллельно включенных элементов, равна сумме проводимостей параллельно включенных элементов.
Эквивалентным сопротивлением цепи называется величина, обратная эквивалентной проводимости
Пусть электрическая схема содержит три параллельно включенных сопротивления.
Эквивалентная проводимость
Эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n одинаковых элементов, в n раз меньше сопротивлений R одного элемента
Возьмем схему, состоящую из двух параллельно включенных сопротивлений (рис. 2.3). Известны величины сопротивлений и ток в неразветвленной части схемы. Необходимо определить токи в параллельных ветвях.
Рис. 2.3 Эквивалентная проводимость схемы
,
а эквивалентное сопротивление
Напряжение на входе схемы
Токи в параллельных ветвях
Аналогично
Ток в параллельной ветви равен току в неразветвленной части схемы, умноженному на сопротивление противолежащей, чужой параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений чужой и своей параллельно включенных ветвей.
2.3.Преобразование треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду
Встречаются схемы, в которых отсутствуют сопротивления, включенные последовательно или параллельно, например, мостовая схема, изображенная на рис. 2.4. Определить эквивалентное сопротивление этой схемы относительно ветви с источником ЭДС описанными выше методами нельзя. Если треугольник сопротивлений R1-R2-R3, включенных между узлами 1-2-3 заменить трехлучевой звездой сопротивлений, лучи которой расходятся из точки 0 в те же узлы 1-2-3, эквивалентное сопротивление полученной схемы легко определяется.
Рис. 2.4 Сопротивление луча эквивалентной звезды сопротивлений равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника.
В соответствии с указанным правилом, сопротивления лучей звезды определяются по формулам:
Эквивалентное соединение полученной схемы определяется по формуле
Сопротивления R0 и Rλ1 включены последовательно, а ветви с сопротивлениями Rλ1 + R4 и Rλ3 + R5 соединены параллельно.
2.4.Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник
Иногда для упрощения схемы полезно преобразовать звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.
Рассмотрим схему на рис. 2.5. Заменим звезду сопротивлений R1-R2-R3 эквивалентным треугольником сопротивлений RΔ1-RΔ2-RΔ3, включенных между узлами 1-2-3.
2.5. Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный треугольник
Сопротивление стороны эквивалентного треугольника сопротивлений равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды плюс произведение этих же сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося (противолежащего) луча. Сопротивления сторон треугольника определяются по формулам:
Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы равно
НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира | 30.12.2019 - 19:19: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 19:18: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 16:46: -> - Карим_Хайдаров. 30.12.2019 - 14:54: -> - Карим_Хайдаров. 29.12.2019 - 16:19: -> - Карим_Хайдаров. 26.12.2019 - 07:09: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:44: -> - Карим_Хайдаров. 23.12.2019 - 07:39: |
Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что электрическую цепь или ее часть заменяют более простой по структуре электрической цепью. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными. В любое последовательное соединение может входить произвольное число сопротивлений (резисторов) и источников ЭДС, а также не более одного источника тока.
Н
аличие
более одного источника тока в соединении
исключается вследствие логического
противоречия, т.к. в последовательном
соединении через все элементы протекает
одинаковый ток и этот ток равен току
источника. Если же источников тока
несколько, то они должны формировать
несколько различных токов, что невозможно
по характеру их соединения. Присутствие
источника в соединении означает лишь
то, что ток в этом соединении задан,
поэтому без ущерба для общности выводов
источник тока можно вынести за пределы
соединения и не рассматривать. Тогда в
общем случае в соединение будут входитьm
сопротивлений и n
источников ЭДС (рис а). Не изменяя режима
работы соединения, их можно переместить
так, чтобы образовались две группы
элементов: сопротивления и источники
ЭДС (рис. б). Для этой цепи можно написать
уравнение Кирхгофа в виде:
U=IR1+IR2+…+IRm+E1+…-En-1+En=I(R1+R2+…Rm)+E1…-En-1+En=IR+E
Таким образом, любое последовательное соединение элементов можно представить последовательным соединением одного сопротивленияR и одного источника ЭДС E Причем, общее сопротивление соединения равно сумме всех сопротивлений
а общая ЭДС – алгебраической сумме
6.Метод узловых потенциалов
Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчеты электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно зазамлить, т. е.принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю I1+I2+I3+…+In=0
7.Метод двух узлов
Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Схема имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.
φ1(g1+g2+g3)- φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3
U12= φ1- φ2= φ1= (E1g1-E3g3)/g1+g2+g3, где
g1=1/R1, g2=1/R2, g3=1/R3 – проводимости ветвей
В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.
8 .Метод контурных токов
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схмы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Т. о., метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было составить для схемы по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.I1R1+I2R2=E1+E2
Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид: I11(R1+Ri1)+I11R3-I22R3=E1,
I22(Ri2-R2)+I22R3-I11R3=-E2 Перегруппируем слагаемые в уравнениях I11(R1+Ri1+R3)-I22R3=E1=E11, -I11R3+I22(Ri2+R2+R3)=-E2=E22 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Cобственные сопротивления контуров схемы R11=R1+Ri1+R3, R22=Ri2+R2+R3 Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров. R12=R21=R3 где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом I11R11+I22R12=E11, I11R21+I22R22=E22 Собственные сопротивления всегда имеют знак "плюс".
Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения совместно, находим контурные токи I11 и I22 , затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. I1=I11, I2=I22,I3=I11-I22.
9.Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается
соотношением:Здесь- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом, что непосредственно вытекает из свойства взаимности. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.
Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например, то получим(2),где
-
определитель системы уравнений,
составленный по методу контурных токов;- алгебраическое дополнение определителя.Каждая из ЭДС в (2)
представляет собой алгебраическую
сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если
теперь все контурные ЭДС в (2) заменить
алгебраическими суммами ЭДС в
соответствующих ветвях, то после
группировки слагаемых получится
выражение для контурного тока в виде
алгебраической суммы составляющих
токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей
в отдельности. Поскольку систему
независимых контуров всегда можно
выбрать так, что рассматриваемая h-я
ветвь войдет только в один-й контур, т.е. контурный токбудет равен действительному токуh-й ветви, то принцип наложения справедлив
для токовлюбых ветвей и, следовательно,
справедливость принципа наложения
доказана.Таким образом, при определении
токов ветвей при помощи метода наложения
следует поочередно оставлять в схеме
по одному источнику, заменяя остальные
их внутренними сопротивлениями, и
рассчитать составляющие искомых токов
в этих схемах. После этого полученные
результаты для соответствующих ветвей
суммируются – это и будут искомые токи
в ветвях исходной цепи.
Анализ любой электрической цепи начинается с построения ее модели, которая описывается схемой замещения.
В электрических схемах различают следующие простейшие соединения пассивных элементов: последовательное, параллельное, соединение в виде треугольника и в виде трехлучевой звезды. Прежде чем начинать анализ схемы, желательно проводить предварительные эквивалентные преобразования схемы. Суть таких преобразований состоит в замене некоторой части схемы другой, эквивалентной ей в электрическом отношении, но с более удобной для расчета структурой. Чаще других используют два вида таких преобразований: замену последовательно и параллельно соединенных элементов одним эквивалентным; преобразование трехлучевой звезды в треугольник и обратно.
Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов равно арифметической сумме их сопротивлений:
. (1.26)
Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резистивных элементов равна арифметической сумме их проводимостей:
. (1.27)
При преобразовании треугольника (рис.1.14) в звезду (рис.1.15) при заданных сопротивлениях сторон треугольника RАБ, RБВ, RBA определяются эквивалентные сопротивления лучей звезды RA, RБ, RB.
Рис. 1.14. Схема цепи – треугольник
Рис. 1.15. Схема цепи – звезда
Эквивалентные сопротивления лучей звезды равны:
При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник при заданных RA, RБ, RB эквивалентные сопротивления определяются следующим образом.
Первый закон Кирхгофа
В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
Расчет электрической цепи с использованием законов Кирхгофа. Баланс мощностей
Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.
Последовательность действий:
Произвольно назначают направления токов в ветвях.
Произвольно назначают направления обхода контуров.
Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У - число узлов в цепи).
Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В - число ветвей в цепи).
Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.
Примечания:
При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".
Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.
Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.
Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей . В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:
Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".
Метод контурных токов
Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов . Основой для него служит второй закон Кирхгофа.
Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.
1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.
2.
Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке. 
3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.
R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом
R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом
R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом
Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.
R12=R21=R4=25 Ом
R23=R32=R6=35 Ом
R31=R13=R5=30 Ом
4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.
Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:
Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.
Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:
В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.
5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.
Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру . То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.
Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.
Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.
Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть
А для остальных
Метод эквивалентных преобразований
Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R1 и R2 к одному эквивалентному Rэкв.Эквивалентные преобразования в электрической цепи Для определения эквивалентного сопротивления Rэкв следует воспользоваться основными законами электрических цепей. Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока и напряжения рассматриваемого участка: I = Iэкв, U = Uэкв. Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов: U = U1 + U2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I . Для эквивалентного элемента по закону Ома: Uэкв = Rэкв* Iэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования U = Uэкв = (R1 + R2)I = (R1 + R2)Iэкв = Rэкв* Iэкв. Отсюда Rэкв = (R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам. Для двух параллельно соединенных элементов по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов: I = I1 + I2 = U/R1 + U/R2 = U(1/R1 + 1/R2). Для эквивалентного элемента по закону Ома: Iэкв = Uэкв/Rэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования I = Iэкв = U(1/R1 + 1/R2) = Uэкв(1/R1 + 1/R2) = Uэкв/Rэкв, отсюда 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 (1.59) или Rэкв = (R1 R2)/(R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам. Соотношения позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи. При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R1, R2, R3) расчет может быть проведен методом эквивалентных преобразований следующим образом. На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R1 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв12, равным Rэкв12 = (R1* R2)/(R1 + R2). (1.61) При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора Rэкв12 и R3, соединенные последовательно. Напряжение Uab в эквивалент- ной цепи соответствует напряжению Uab в исходной цепи, а ток в эквивалент- ной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи. На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора Rэкв12 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв123, равным Rэкв123 = Rэкв12 + R3 . При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор Rэкв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи и определяется по закону Ома: I = Uac/ Rэкв123 = E/ Rэкв123 . Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке. Для эквивалентной цепи: Uab = I* Rэкв12 ; Ubc = I* R3 . Для исходной цепи: I1 = Uab/R1 ; I2 = Uab/R2 .Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС
