Құрамдас бөліктер

1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысын есептеңіз Көңілді математика: Гаусс ережесі

Жалқау болды. Балаларды ұзақ уақыт босатармау үшін және өзі ұйықтап алу үшін 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосуды сұрады.

Гаусс тез жауап берді: 5050. Соншалықты жылдам? Мұғалім сенбеді, бірақ жас данышпан дұрыс айтты. 1-ден 100-ге дейінгі барлық сандарды қосу - бұл сұмырайлар үшін! Гаусс формуланы тапты:

$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$

$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$

Ол мұны қалай жасады? 1-ден 10-ға дейінгі қосындының мысалын түсінуге тырысайық.

Бірінші әдіс: сандарды жұптарға бөлу

1-ден 10-ға дейінгі сандарды екі жол және бес бағаналы матрица түрінде жазайық:

$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(массив)\оң)$$

Бір қызығы, әр бағанның қосындысы 11 немесе $n+1$. Және осындай 5 жұп сандар немесе $\frac(n)(2)$ бар. Біз формуламызды аламыз:

$$Number\ бағандар\cdotSum\ сандар\ in\ columns=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$

Терминдердің саны тақ болса?

1-ден 9-ға дейінгі сандарды қоссаңыз ше? Бес жұп жасау үшін бізде бір сан жоқ, бірақ біз нөлді аламыз:

$$\left(\begin(массив)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(массив)\оң)$$

Бағандардың қосындысы енді 9 немесе дәл $n$. Бағандар саны туралы не деуге болады? Әлі де бес баған (нөлге рахмет!), бірақ қазір бағандар саны $\frac(n+1)(2)$ ретінде анықталған (y-де $n+1$ сандары және бағандардың жартысы бар).

$$Number\ бағандар\cdotSum\ сандар\ in\ columns=\frac(n+1)(2)\cdot n$$

Екінші әдіс: қос және екі жолға жазыңыз

Бұл екі жағдайда сандардың қосындысын сәл басқаша есептейміз.
Мүмкін, қос және тақ мүшелер үшін қосындыны бірдей есептеудің жолы бар ма?

Сандардан «цикл» түрін жасаудың орнына, сандар санын екіге көбейте отырып, оларды екі жолға жазайық:

$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(массив)\оң)$$

Біртүрлі жағдай үшін:

$$\left(\begin(массив)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(массив)\оң)$$

Екі жағдайда да бағандардың қосындысы $n+1$, ал бағандар саны $n$ екенін көруге болады.

$$Number\ бағандар\cdotSum\ сандар\ in\ columns=n\cdot(n+1)$$

Бірақ бізге тек бір жолдың қосындысы қажет, сондықтан:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Үшінші әдіс: тіктөртбұрыш жасаңыз

Басқа түсініктеме бар, кресттерді қосып көрейік, бізде кресттер бар делік:

Бұл жай ғана екінші жолдың басқа көрінісі сияқты көрінеді - пирамиданың әрбір келесі сызығында көбірек кресттер және аз нөлдер бар. Барлық кресттер мен нөлдердің саны тіктөртбұрыштың ауданы болып табылады.

$$Аумағы=Биіктігі\cdotWidth=n\cdot(n+1)$$

Бірақ бізге кресттердің қосындысы қажет, сондықтан:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Төртінші жол: арифметикалық орта

Белгілі: $Mean\arithmetic=\frac(Sum)(Number\members)$
Содан кейін: $Сум = орта \арифметикалық\cdotNumber\мүшелер$

Біз мүшелер санын білеміз - $n$. Орташа арифметикалық мән қалай өрнектеледі?

Сандардың біркелкі бөлінгеніне назар аударыңыз. Әрбір үлкен санның екінші жағында кішісі бар.

1 2 3, орташа 2

1 2 3 4, орташа 2,5

Бұл жағдайда арифметикалық орта 1 және $n$ сандарының арифметикалық ортасы болып табылады, яғни $Mean\arithmetic=\frac(n+1)(2)$

$$Қосынды = \frac(n+1)(2)\cdot n$$

Бесінші жол: интегралдық

Анықталған интеграл қосындыны есептейтінін бәріміз білеміз. 1-ден 100-ге дейінгі қосындыны интеграл ретінде есептейік? Иә, бірақ алдымен, ең болмағанда 1-ден 3-ке дейінгі қосындыны табайық. Біздің сандарымыз у(х) функциясы болсын. Сурет салайық:

Үш төртбұрыштың биіктігі 1-ден 3-ке дейінгі сандар ғана. «Қақпақтардың» орта нүктелері арқылы түзу жүргізейік:

Бұл түзудің теңдеуін табу жақсы болар еді. (1,5;1) және (2,5;2) нүктелері арқылы өтеді. $y=k\cdot x+b$.

$$\бастау(жағдайлар)2,5к + b = 2\\1,5к + b = 1\соңы(жағдайлар)\Оң жақ көрсеткі k=1; b=-0,5$$

Осылайша, $y=x-0,5$ тіктөртбұрыштарымызды жуықтап алуға болатын түзудің теңдеуі.

Ол тіктөртбұрыштардан сары үшбұрыштарды кесіп тастайды, бірақ оларға жоғарыдан көк түсті «қосады». Сары көкке тең. Біріншіден, интегралды қолдану Гаусс формуласына әкелетініне көз жеткізіңіз:

$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2) ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^() 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$

Енді 1-ден 3-ке дейінгі қосындыны есептейік, X-ті 1-ден 4-ке дейін алайық, сонда біздің үш төртбұрыштарымыз да интегралға түседі:

$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$

$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$

Ал мұның бәрі не үшін қажет?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$

Бірінші күні сіздің сайтыңызға бір адам келді, екінші күні екі адам ... Күн сайын кіру саны 1-ге өсті. 1000-шы күннің соңында сайтқа қанша кіру болады?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$

«Көңілді математика» циклі математиканы жақсы көретін балаларға және балаларының дамуына уақыт бөлетін ата-аналарға арналған, оларды қызықты және қызықты тапсырмалармен, басқатырғыштармен «лақтырып».

Бұл топтаманың бірінші мақаласы Гаусс ережесіне арналған.

Біраз тарих

Атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) бала кезінен өзінің құрдастарынан ерекшеленді. Кедей отбасынан шыққанына қарамастан, оқуды, жазуды, санауды ерте үйренген. Оның өмірбаянында, тіпті, 4-5 жасында әкесінің қате есептеулеріндегі қатесін жай ғана бақылап отырып түзететіні туралы айтылады.

Оның алғашқы жаңалықтарының бірі 6 жасында математика сабағында ашылған. Мұғалімге ұзақ уақыт бойы балаларды баурап алу қажет болды және ол келесі мәселені ұсынды:

1-ден 100-ге дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Жас Гаусс бұл тапсырманы тез жеңіп, қызықты үлгіні тапты, ол кеңінен таралған және әлі де ақыл-ой санауында қолданылады.

Бұл мәселені ауызша шешуге тырысайық. Бірақ алдымен 1-ден 10-ға дейінгі сандарды алайық:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Осы соманы мұқият қарап шығыңыз және Гаусстың не ерекше екенін анықтауға тырысыңыз? Жауап беру үшін сандардың құрамын жақсы түсіну керек.

Гаусс сандарды былай топтады:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Осылайша, кішкентай Карл 5 жұп сандарды алды, олардың әрқайсысы жеке-жеке барлығы 11 береді.Содан кейін 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандардың қосындысын есептеу үшін сізге қажет.

Бастапқы мәселеге оралайық. Гаусс жинақтау алдында сандарды жұптарға топтастыру қажет екенін байқады және сол арқылы 1-ден 100-ге дейінгі сандарды жылдам қосуға болатын алгоритм ойлап тапты:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Натурал сандар қатарындағы жұптардың санын табыңыз. Бұл жағдайда 50 бар.

Осы қатардың бірінші және соңғы сандарын қос. Біздің мысалда бұл 1 және 100. Біз 101 аламыз.

Қатардың бірінші және соңғы мүшесінің алынған қосындысын осы қатардың жұптарының санына көбейтеміз. Біз 101 * 50 = 5050 аламыз

Демек, 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы 5050-ге тең.

Гаусс ережесін қолдануға арналған тапсырмалар

Енді сіздердің назарларыңызды Гаусс ережесі қандай да бір дәрежеде қолданылатын есептерге шақырамыз. Бұл жұмбақтарды төртінші сынып оқушысы түсінуге және шешуге өте қабілетті.

Сіз балаға бұл ережені «ойлап табуы» үшін өзі туралы ойлауға мүмкіндік бере аласыз. Сіз оны бөлшектеп, оның оны қалай пайдалана алатынын көре аласыз. Төменде берілген тапсырмалардың арасында Гаусс ережесін берілген реттілікке қолдану үшін оны қалай өзгерту керектігін түсіну қажет мысалдар бар.

Қалай болғанда да, бала өз есептеулерінде мұнымен жұмыс істеуі үшін Гаусс алгоритмін түсіну керек, яғни жұпқа дұрыс бөлу және санау.

Маңызды!Егер формуланы түсінбей жаттап алса, онда ол өте тез ұмытылады.

1-тапсырма

Сандардың қосындысын табыңыз:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Шешім.

Алдымен сіз балаға бірінші мысалды өзі шешуге мүмкіндік бере аласыз және оны санада орындау оңай жолды табуды ұсына аласыз. Әрі қарай, бұл мысалды баламен бірге талдаңыз және Гаусс оны қалай жасағанын көрсетіңіз. Түсінікті болу үшін қатарды жазып, жұп сандарды қосындысы бірдей санға тең жолдармен байланыстырған дұрыс. Баланың жұптардың қалай құрылатынын түсінуі маңызды - біз қатардағы сандар саны жұп болған жағдайда қалған сандардың ең кішісін және ең үлкенін аламыз.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Тапсырма2

Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г болатын 9 салмақ бар. Бұл салмақтарды бірдей салмақтағы үш қадаға бөлуге бола ма?

Шешім.

Гаусс ережесін қолданып, барлық салмақтардың қосындысын табамыз:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Сонымен, егер біз салмақтарды әрбір қадада жалпы салмағы 15 г салмақ болатындай етіп топтасақ, онда мәселе шешілді.

Опциялардың бірі:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Басқа ықтимал нұсқаларды балаңызбен бірге табыңыз.

Балаға назар аударыңыз, мұндай мәселелер шешілгенде, әрқашан үлкен салмақпен (санымен) топтастыруды бастаған дұрыс.

3-тапсырма

Әр бөліктегі сандардың қосындылары тең болатындай етіп сағаттың бетін түзу арқылы екі бөлікке бөлуге бола ма?

Шешім.

Бастау үшін Гаусс ережесін 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына қолданыңыз: қосындыны табыңыз және оның 2-ге бөлінетінін біліңіз:

Сондықтан сіз бөлісе аласыз. Енді қалай екенін көрейік.

Сондықтан циферблатқа 3 жұп бір жартыға, ал үшеуі екіншісіне түсетіндей сызық салу керек.

Жауабы: сызық 3 пен 4 сандарының, содан кейін 9 мен 10 сандарының арасына өтеді.

Тапсырма4

Әр бөліктегі сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп сағаттың беткі жағында екі түзу жүргізуге бола ма?

Шешім.

Алдымен 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 сандар қатарына Гаусс ережесін қолданамыз: қосындыны табыңыз және оның 3-ке бөлінетінін біліңіз:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді, сондықтан бөлуге болады. Енді қалай екенін көрейік.

Гаусс ережесі бойынша біз 6 жұп сандарды аламыз, олардың әрқайсысы 13-ке жетеді:

1 және 12, 2 және 11, 3 және 10, 4 және 9, 5 және 8, 6 және 7.

Сондықтан әр бөлікке 2 жұп түсетін етіп циферблатқа сызықтар салу керек.

Жауабы: бірінші жол 2 мен 3 сандарының, содан кейін 10 мен 11 санының арасына өтеді; екінші жол 4 пен 5 сандарының арасында, содан кейін 8 мен 9 арасында.

5-тапсырма

Бір топ құс ұшып келеді. Алда бір құс (көшбасшы), одан кейін екі, одан кейін үш, төрт, т.б. Соңғы қатарда 20 құс болса, отарда неше құс бар?

Шешім.

Біз 1-ден 20-ға дейінгі сандарды қосу керек екенін түсінеміз. Ал мұндай қосындыны есептеу үшін Гаусс ережесін қолдануға болады:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

6-тапсырма

45 қоянды 9 торға қалай отырғызу керек, сонда барлық торларда қояндар саны әртүрлі болады?

Шешім.

Егер бала 1-тапсырмадағы мысалдарды түсініп шешіп, түсінсе, 45 1-ден 9-ға дейінгі сандардың қосындысы екені бірден есіне түседі. Сондықтан қояндарды былай қоямыз:

бірінші ұяшық - 1,
екінші - 2,
үшінші – 3,
сегізінші - 8,
тоғызыншы - 9.

Бірақ егер бала мұны бірден анықтай алмаса, онда оған мұндай мәселелерді дөрекі күшпен шешуге болатынын және ең аз саннан бастау керек деген идеяны беруге тырысыңыз.

7-тапсырма

Гаусс трюкімен қосындыны есептеңіз:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Шешім.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

8-тапсырма

Салмағы 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г болатын 12 салмақ жинағы бар. Жиынтықтан 4 гір алынып тасталды, олардың жалпы массасы барлық салмақ жинағының жалпы массасының үштен біріне тең. Қалған салмақтарды екі теңгерімді табаға, әр табаға 4 данадан, олар тепе-теңдікте болатындай етіп қоюға бола ма?

Шешім.

Салмақтардың жалпы массасын табу үшін Гаусс ережесін қолданамыз:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Жойылған салмақтардың массасын есептейміз:

Сондықтан қалған салмақтарды (жалпы массасы 78-26 \u003d 52 г) тепе-теңдікте болу үшін әр таразы табаға 26 г қою керек.

Біз қандай салмақтардың жойылғанын білмейміз, сондықтан біз барлық ықтимал нұсқаларды қарастыруымыз керек.

Гаусс ережесін қолдана отырып, сіз салмақтарды бірдей салмағы бар 6 жұпқа (әрқайсысы 13 г) бөлуге болады:

1g және 12g, 2g және 11g, 3g және 10, 4g және 9g, 5g және 8g, 6g және 7g.

Содан кейін ең жақсы нұсқа 4 салмақты алып тастағанда, жоғарыда аталған екі жұп жойылады. Бұл жағдайда бізде 4 жұп қалады: бір шкалада 2 жұп, екіншісінде 2 жұп.

Ең нашар жағдай - жойылған 4 салмақ 4 жұпты бұзады. Бізде жалпы салмағы 26 г болатын 2 үзілмеген жұп болады, яғни біз оларды бір таразы табаға қоямыз, ал қалған салмақтарды басқа таразы табаға қоюға болады және олар да 26 г болады.

Балаларыңыздың дамуына сәттілік тілейміз.

Бүгін біз жиеніммен шешуге тура келген математикалық есептердің бірін қарастырамыз. Содан кейін біз оны PHP арқылы жүзеге асырамыз. Және бұл мәселені шешудің бірнеше нұсқасын қарастырыңыз.

Тапсырма:

1-ден 100-ге дейінгі барлық сандарды бірінен соң бірін жылдам қосып, барлық сандардың қосындысын табу керек.

Мәселенің шешімі:

Негізі бұл мәселені алғаш шешкенде қате шештік! Бірақ біз бұл мәселенің дұрыс емес шешімі туралы жазбаймыз.

Ал шешім соншалықты қарапайым және тривиальды - 1 мен 100-ді қосып, 50-ге көбейту керек. (Карл Гаус өте кішкентай кезінде осындай шешімге ие болған ...)

(1 + 100)*50.

Бұл мәселені php арқылы қалай шешуге болады?

РНР көмегімен 1-ден 100-ге дейінгі барлық сандардың қосындысын есептеңіз.

Біз бұл мәселені шешіп болған кезде, біз бұл мәселе бойынша «интернеттерде» не жазатынын көруді шештік! Ал мен жас таланттар бұл мәселені шеше алмайтын қандай да бір форманы таптым және оны цикл арқылы жасауға тырыстым.

Егер оны цикл арқылы орындаудың арнайы шарты болмаса, оны цикл арқылы жасаудың мәні жоқ!

Және иә! php-де мәселені көптеген жолдармен шешуге болатынын ұмытпаңыз! бір.

Бұл код бірден шексіздікке дейінгі кез келген сандар тізбегін қоса алады.

Шешімді қарапайым түрде іске асырайық:

$end = $_POST["айнымалы"];

$res = $end/2*($i + $end);

Нәтиже: