Бірнеше айнымалы күрделі функцияның туындысы және дифференциалы. Бірнеше айнымалы күрделі функцияның туындысы Бірнеше туындының күрделі функциясының туындысы

z - f(x, y) функциясы xOy жазықтығының кейбір D облысында анықталсын. D аймағынан ішкі нүктені (x, y) алайық және x-ке (x + Ax, y) нүктесі 6 D болатындай Ax өсімін берейік (9-сурет). Мәнді z функциясының х-ке қатысты жартылай өсімі деп атаймыз. Қатынас құрастырыңыз Берілген нүкте үшін (x, y) бұл қатынас Анықтау функциясы болып табылады. Егер Ax -* 0 үшін ^ қатынасының шекті шегі болса, онда бұл шек (x, y) нүктесіндегі х тәуелсіз айнымалысына қатысты z = /(x, y) функциясының ішінара туындысы деп аталады және jfc символымен белгіленеді (немесе /i(x, jj ) немесе z "x (x, Дәл осылай, анықтамасы бойынша немесе, ол бірдей, Аналогиялық Егер және n тәуелсіз айнымалының функциясы болса, онда Ескерту Arz өзгермеген y айнымалысының мәнімен, ал Atz өзгермеген x айнымалысының мәнімен есептелетінін, ішінара туындылардың анықтамаларын келесідей тұжырымдауға болады: Жартылай туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы. бірнеше айнымалы функция Қажетті шарттарфункцияның дифференциалдығы Жеткілікті шарттарбірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдығы Толық дифференциал. Бөлімше дифференциалдар z = /(x, y) функциясының х қатысты жеке туындының құрама функциясының туындылары у тұрақты шама деп есептелетін осы функцияның х-ке қатысты жай туындысы деп аталады; z - /(x, y) функциясының у-ға қатысты ішінара туындысы оның у-ға қатысты туындысы болып табылады, х тұрақты болады деген болжаммен есептеледі. Бұдан жартылай туындыларды есептеу ережелері бір айнымалы функция үшін дәлелденген ережелермен сәйкес келетіні шығады. Мысал. Функцияның жеке туындыларын табыңыз 4 Бізде алмастырулар бар*. Барлық аргументтерге қатысты жартылай туындылардың берілген нүктесінде y = /(x, y) функциясының болуы осы нүктедегі функцияның үздіксіздігін білдірмейді. Сонымен, функция 0(0,0) нүктесінде үздіксіз емес. Дегенмен, осы сәтте көрсетілген функциях және у-ға қатысты жартылай туындылары бар. Бұл /(x, 0) = 0 және /(0, y) = 0, демек, екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасынан шығады.Үш өлшемді кеңістіктегі S беті болсын. теңдеумен берілген, мұнда f(x, y) функция, кейбір D облысында үзіліссіз және онда х пен у-ға қатысты ішінара туындылары бар. Бұл туындылардың z = f(x)y бетінде f(x0)yo) нүктесі сәйкес келетін Mo(x0, y0) 6 D нүктесіндегі геометриялық мағынасын анықтайық. M0 нүктесіндегі ішінара туындыны тапқанда, z аргументі х аргументінің ғана функциясы деп есептейміз, ал у аргументі y \u003d yo тұрақты мәнін сақтайды, яғни fi (x) функциясы геометриялық түрде L қисығымен берілген. , оның бойымен S беті шамамен y \u003d жазықтығымен қиылысады. Бір айнымалы функцияның туындысының геометриялық мағынасына байланысты f \ (xo) = tg a, мұндағы a - Ox осімен JV0 нүктесінде L түзуіне жанаманың түзетін бұрышы (10-сурет). . Сонымен, ішінара туынды ($|) Ox осі арасындағы а бұрышының тангенсіне және N0 нүктесіндегі жанаманың z \u003d / (x, y) бетінің қимасында алынған қисыққа тең. y жазықтығы бойынша Сол сияқты §6 аламыз. Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы z = /(x, y) функциясы xOy жазықтығындағы кейбір D облысында анықталсын. (x, y) € D нүктесін алыңыз және таңдалған мәндерге x және y кез келген Ax және Dy өсімдерін беріңіз, бірақ нүкте болатындай. Анықтама. r = /(x, y) функциясы дифференциалданатын * нүктесі (x, y) € 2E деп аталады, егер аргументтердің Dx, Dy өсіміне сәйкес келетін осы функцияның жалпы өсімін A және B түрінде көрсетуге болады. Dx және Dy-ге тәуелді емес (бірақ жалпы олар x пен у-ға тәуелді), ал a(Ax, Dy) және f(Ax, Dy) нөлге бейім, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. . Егер z = /(x, y) функциясы (x, y) нүктесінде дифференциалданатын болса, Dx және Dy қатысты сызықтық функция өсімшесінің A Dx 4 - VDy бөлігі толық дифференциал деп аталады. бұл функцияның (х, у) нүктесінде және dz символымен белгіленеді: Таним жолы, мысал. r = x2 + y2 болсын. Кез келген нүктеде (r, y) және кез келген Dx және Dy үшін бізде Мұнда бар. Осыдан A және /3 нөлге ұмтылады, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. Анықтама бойынша, берілген функция xOy жазықтығының кез келген нүктесінде дифференциалданады. Бұл жерде біз өз пайымдауымызда Dx, Dy өсімдері жеке немесе тіпті екеуі де бірден нөлге тең болған жағдайды ресми түрде алып тастамағанымызды ескереміз. Формула (1) ықшамырақ жазылуы мүмкін, егер біз өрнекті енгізсек (нүктелер арасындағы қашықтық (Оны пайдаланып, біз жақшадағы өрнекті e арқылы белгілей отырып жаза аламыз, бізде c J, Du тәуелді және нөлге ұмтылады, егер J 0 және Dy 0, немесе қысқаша айтқанда, p 0 болса. z = f(xt y) функциясының (x, y) нүктесінде дифференциалданатын шартын өрнектейтін (1) формуланы енді жазуға болады. Сонымен, жоғарыдағы 6.1 мысалда Теорема 4. Егер r = f(x, y) функциясы қандай да бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үздіксіз болады.4 Егер r = f(x, y) функциясы дифференциалданатын болса. (x, y) нүктесінде, онда аргументтердің j және dy өсімшелеріне сәйкес келетін осы нүктедегі""e функциясының өсімшесінің қосындысын b теоремасы түрінде көрсетуге болады. Егер функция r = f(x, y) берілген нүктеде дифференциалданатын болса, онда mo ou осы нүктеде ішінара туындылары болады. z = /(x, y) функциясы (х, у) нүктесінде дифференциалданатын болсын. Сонда аргументтердің Dx, Ay өсіміне сәйкес келетін бұл функцияның Dx өсімін (1) түрінде көрсетуге болады. (1) Dx F 0, Dn = 0 теңдігін алып, қайдан аламыз Соңғы теңдіктің оң жағында А мәні тәуелді емес, Бұл (x, y) нүктесінде жартылай болатынын білдіреді. x-ке қатысты r \u003d / (x, y) функциясының туындысы және осыған ұқсас пайымдаулар арқылы біз (x, zу функциясының ішінара туындысы бар екенін және теоремадан мынаны көреміз: Теореманы баса көрсетеміз 5 (x, y) нүктесінде ғана ішінара туындылардың бар екендігін бекітеді, бірақ олардың үздіксіздігі туралы ештеңе айтпайды 6.2 Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының жеткілікті шарттары Белгілі болғандай, функцияның дифференциалдануының қажетті және жеткілікті шарты. xo нүктесіндегі бір айнымалының y = f(x) - x0 нүктесіндегі ақырлы туынды /"(x) болуы. Функция бірнеше айнымалыға тәуелді болған жағдайда, жағдай әлдеқайда күрделірек болады: онда екі тәуелсіз айнымалы x, y z = /(x, y) функциясы үшін дифференциалдаудың қажетті және жеткілікті шарттары жоқ; l бар қажетті шарттарды іздеңіз (қараңыз. жоғарыда) және бөлек - жеткілікті. Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының осы жеткілікті шарттары келесі теорема арқылы өрнектеледі. Теорема c. Егер функцияның жіңішке сызықтың (xo, y0) кейбір маңайында /£ және f"v жеке туындылары болса және бұл туындылар (xo, y0) нүктесінің өзінде үздіксіз болса, онда z = f(x, y) функциясы. ) нүктесінде дифференциалданады (x- Мысал Функцияны қарастырайық Бөлшек туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы Функцияның дифференциалдануының қажетті шарттары Бірнеше айнымалының функцияларының дифференциалдалуының жеткілікті шарттары Барлығы дифференциалды Бөлімше дифференциалдар Күрделі функцияның туындылары Ол барлық жерде анықталады Дербес туындылардың анықтамасына сүйене отырып, бізде бұл функцияның ™ 0(0, 0) нүктесінде болады және оның өсімі 0 және Du 0 үшкірлейді. D0 қойыңыз. Сонда (1) формуладан бізде болады Сондықтан, / (x, y) \u003d функциялары 0 (0, 0) нүктесінде дифференциалданбайды, бірақ бұл нүктеде біз fa және f "r аламыз. Алынған нәтиже f"z және f"t туындыларының §7 нүктесінде үзіліссіз болуымен түсіндіріледі. толық дифференциал. Жартылай дифференциалдар Егер r - f(z> y) функциясы дифференциалданатын болса, онда оның соңғы дифференциалы dz олардың өсімшелері болады: Осыдан кейін функцияның толық дифференциалының формуласы мысалды алады. i - 1l(x + y2) болсын. Сонда Сол сияқты, егер u =) n тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциясы болса, онда Өрнек x айнымалысына қатысты z = f(x, y) функциясының арық дифференциалы деп аталады; өрнек у айнымалысының z = /(x, y) функциясының ішінара дифференциалы деп аталады. (3), (4) және (5) формулаларынан функцияның толық дифференциалы оның жеке дифференциалдарының қосындысы болатыны шығады: z = /(x, y) функциясының жалпы өсімі Az екенін ескеріңіз, жалпы айтқанда , жартылай өсімдердің қосындысына тең емес. Егер (x, y) нүктесінде z = /(x, y) функциясы дифференциалданатын болса және осы нүктедегі дифференциал dz Φ 0 болса, онда оның толық өсімі оның сызықтық бөлігінен соңғы aAx 4 мүшелерінің қосындысымен ғана ерекшеленеді. - /?0 және Ay --> O сызықтық бөліктің мүшелеріне қарағанда жоғары ретті шексіз аз сандар. Сондықтан, dz Ф 0 болғанда дифференциалданатын функцияның өсімшесінің сызықтық бөлігі функцияның өсімшесінің негізгі бөлігі деп аталады және дәлірек болған сайын шамалардың абсолюттік мәні кішірек болатын жуық формула қолданылады. аргументтер. §сегіз. Күрделі функцияның туындылары 1. Функция xOy жазықтығында қандай да бір D облысында анықталсын, ал x, y айнымалыларының әрқайсысы өз кезегінде t аргументінің функциясы болып табылады: Біз t өзгерген кезде деп есептейміз. интервал (сәйкес нүктелер (x, y) D аймағынан шықпайды. Егер мәндерді z = / (x, y) функциясына ауыстырсақ, онда бір t айнымалысының күрделі функциясын аламыз. және сәйкес мәндер үшін / (x, y) функциясы дифференциалданады, онда t нүктесіндегі күрделі функцияның туындысы бар және M t өсімін Dt берейік.Содан кейін x және y кейбір Ax және Dy өсімдерін алады. нәтижесінде (J)2 + (Dy)2 ∩ 0 үшін z функциясы да кейбір Dt өсімін алады, ол z = f , y) функциясының (x, y) нүктесіндегі дифференциалдығына байланысты: мұндағы a) нөлге бейім, Ax және Du нөлге бейім ретінде көрсетіледі. Ax = Ay = 0 үшін a және /3 анықтамасын кеңейтеміз. Сонда a( J = Dy = 0 үшін үзіліссіз болады. Берілген қатынас үшін тұрақты деп есептейік, шарт бойынша бар болу шегі бар. ^ туындылары және £ нүктесінде x = y(t) және y = функциялары осы нүктеде үздіксіз болады; сондықтан 0-де J және Dy екеуі де нөлге ұмтылады, бұл өз кезегінде a(Ax, Dy) мәнін береді. және P(Ax, Ay) нөлге бейім.Осылайша, (2) 0-де теңдіктің оң жағының шегі бар, Демек, 0-де (2) сол жақ шегі бар, яғни тең бар (2) теңдікте шекке At -» 0 ретінде өту, біз қажетті формуланы аламыз, демек, z x-тің күрделі функциясы болған нақты жағдайда, біз x-тен у) аламыз, есептеуде ол /(x, y) өрнегінде у аргументі тұрақты ретінде қабылданады. тәуелсіз x айнымалысы, оны есептеу кезінде /(x, y) өрнегіндегі у енді тұрақты ретінде қабылданбайды, бірақ өз кезегінде x функциясы ретінде қарастырылады: y = tp(x)t, демек z тәуелділігі х бойынша толығымен есепке алынады. Мысал. Табыңыз және jg егер 2. Енді бірнеше айнымалы күрделі функцияның дифференциалын қарастырыңыз. (() нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары u, 3? және сәйкес (x, y) нүктесінде f(x, y) функциясы дифференциалданатындай етіп қай жерде болсын. осы шарттарда t7) нүктесіндегі z = z(() y) күрделі фунхионның туындылары және u бар және осы туындылар үшін өрнектерді табамыз. Бұл жағдайдың бұрын зерттелгеннен айтарлықтай айырмашылығы жоқ екенін ескеріңіз. Шынында да, z £-ге қатысты дифференциалданғанда, тұрақты ретінде екінші тәуелсіз айнымалы rj қабылданады, нәтижесінде х және у бір айнымалының функциясына айналады x" = c), у = в) бұл операцияда, ал туынды Φ мәселесі дәл осылай (3) формуланы шығару кезінде (3) формуланы пайдалану және ондағы g және ^ туындыларын u туындыларымен формальды түрде алмастыру кезінде туынды сұрақ сияқты шешіледі және сәйкесінше, егер аламыз күрделі функция «Формулалар арқылы көрсетілген, сонда сәйкес шарттар орындалса, бізде болады Нақты жағдайда қашан And = мұндағы Бөлшек туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы Қажет функцияның дифференциалдану шарттары Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдалуының жеткілікті шарттары Толық дифференциал Бөлімше дифференциал Бізде күрделі функцияның туындылары бар Мұнда m – функцияның толық жартылай туындысы және z = z(x, y) арқылы және арқылы х-тің толық тәуелділігін ескере отырып, х тәуелсіз айнымалысына қатысты

Дифференциация күрделі функциялар

Функцияға келейік n- айнымалы аргументтер де айнымалылардың функциялары болып табылады:

Құрама функцияны дифференциалдау туралы келесі теорема дұрыс.

Теорема 8.Егер функциялар нүктесінде дифференциалданатын болса, ал функция сәйкес нүктеде дифференциалданатын болса, мұндағы, . Сонда комплекс функциясы нүктесінде дифференциалданады, ал жеке туындылары формулалар арқылы анықталады

мұнда ішінара туынды нүктеде есептеледі және нүктеде есептеледі.

ƒ Екі айнымалы функция үшін бұл теореманы дәлелдеп көрейік. болсын, а.

Аргументтердің және нүктенің ерікті өсімдері болсын және болсын. Олар функциялардың өсулеріне және нүктесіне сәйкес келеді. Үстемелер және нүктедегі функцияның өсіміне сәйкес келеді . нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан, оның өсімін былай жазуға болады

мұндағы және нүктеде, және нүктесінде есептеледі. Функциялардың дифференциалдануына байланысты және нүктесінде , аламыз

нүктесінде есептеледі; .

(13) орнына (14) қойып, терминдерді қайта реттейміз

ретінде, бері және нөлге бейім екенін ескеріңіз. Бұл шексіз аздың және дегенінен шығады. Бірақ және функциялары дифференциалданатын және, демек, нүктесінде үздіксіз . Сондықтан, егер және болса, онда. Содан кейін және .

Ішінара туындылар нүктесінде есептелетіндіктен, аламыз

Белгілеу

және бұл және , және айнымалыларына қатысты дифференциалданатынын білдіреді

Салдары.Егер , және , , яғни. , содан кейін айнымалыға қатысты туынды тформула бойынша есептеледі

Егер болса, онда

Соңғы өрнек деп аталады жалпы туынды формуласыкөптеген айнымалылар функциясы үшін.

Мысалдар. 1) функциясының толық туындысын табыңыз, мұндағы , .

Шешім.

2) , болса, функциясының толық туындысын табыңыз.

Шешім.

Күрделі функцияны дифференциалдау ережелерін пайдалана отырып, біз көп айнымалы функцияның дифференциалының бір маңызды қасиетін аламыз.

Егер тәуелсіз айнымалылар функция болса, дифференциал анықтамасы бойынша мынаған тең болады:

Енді аргументтер функцияның қандай да бір нүктесінде айнымалыларға қатысты дифференциалданатын функциялар болсын , ал функция айнымалыларға қатысты дифференциалданатын болсын , . Сонда оны айнымалылардың күрделі функциясы ретінде қарастыруға болады , . Алдыңғы теорема бойынша ол дифференциалданады және қатынас орындалады

мұндағы (12) формулалармен анықталады. (17) орнына (12) қойып, коэффициенттерді жинап, аламыз

Туындының коэффициенті функциясының дифференциалына тең болғандықтан, күрделі функцияның дифференциалына (16) формула қайтадан алынды.

Осылайша, бірінші дифференциалдық формула оның аргументтері функция немесе олардың тәуелсіз екендігіне байланысты емес. Бұл қасиет деп аталады бірінші дифференциал түрінің инварианттылығы.

Тейлор формуласы (29) түрінде де жазылуы мүмкін

ƒ Дәлелдеу екі айнымалы немесе функциясы үшін орындалады.

Алдымен бір айнымалының функциясын қарастырайық. Уақыттар нүктенің маңайында дифференциалданатын болсын . Лагранж формуласындағы қалдық мүшесі бар бір айнымалының функциясына арналған Тейлор формуласы бар

Тәуелсіз айнымалы болғандықтан, . Бір айнымалы функцияның дифференциалының анықтамасы бойынша

деп белгілесек, (31) деп жазуға болады

Нүктенің және ондағы ерікті нүктенің кейбір көршілестігін қарастырып, нүктелер мен түзу кесіндісін қосыңыз. Бұл сызықтың координаталары мен нүктелері параметрдің сызықтық функциялары екені анық .

Түзу кесіндіде функция параметрдің күрделі функциясы болып табылады, өйткені . Сонымен қатар, ол уақыт бойынша дифференциалданады және Тейлор формуласы (32) үшін жарамды, мұндағы, яғни,

(32) формуладағы дифференциалдар күрделі функцияның дифференциалдары болып табылады, мұндағы , , , яғни.

(32) орнына (33) қойып, мынаны ескерсек, аламыз

(34) тармағының соңғы мүшесі Тейлор формуласының қалдығы деп аталады Лагранж формасы

Біз дәлелсіз атап өтеміз, егер теореманың алғышарттары бойынша функция нүктеде дифференциалданатын болса. месе болса, қалған мүшені былай жазуға болады Пеано формасы:

7-тарау

7.1. Ғарыш R n .Сызықтық кеңістіктегі жиындар.

Элементтерінің барлығы реттелген жиындар болатын жиын nбелгіленген және шақырылатын нақты сандар n-өлшемді арифметикалық кеңістік, және саны nшақырды кеңістік өлшемі.Жиынның элементі деп аталады кеңістіктегі нүкте немесе вектор,және сандар координаттарбұл нүкте. =(0, 0, …0) нүктесі шақырылады нөл немесе бастапқы.

Кеңістік - нақты сандар жиыны, яғни. - сан сызығы; және сәйкесінше екі өлшемді координаталық геометриялық жазықтық және үш өлшемді координаталық геометриялық кеңістік болып табылады. , , …, векторлары деп аталады бір негіз.

Жиынның екі элементі үшін элементтер қосындысы және элементтің нақты санға көбейтіндісі ұғымдары анықталады:

Осы анықтаманың және нақты сандардың қасиеттерінің арқасында теңдіктер дұрыс болатыны анық:

Осы қасиеттерге сәйкес кеңістік те аталады сызықтық (векторлық)ғарыш.

Сызықтық кеңістікте анықталған скаляр көбейтіндісіэлементтері және нақты сан ретінде келесі ереже бойынша есептеледі:

Нөмір шақырылады вектор ұзындығынемесе норма. Векторлар және деп аталады ортогональды, егер . Мән

, )= │ - │ =

шақырды элементтер арасындағы аралықжәне .

Егер және нөлге тең емес векторлар болса, онда бұрышолардың арасындағы бұрыш деп аталады

Оны кез келген элементтер үшін тексеру оңай және нақты сан, скаляр көбейтіндісі орындалады:

(1) формула бойынша анықталған скаляр көбейтіндісі бар сызықтық кеңістік деп аталады евклидтік кеңістік.

нүкте болсын және. Теңсіздіктер орындалатын барлық нүктелердің жиыны

шақырды n -өлшем текшесіжиегі бар және нүктесінде орталықтандырылған. Мысалы, екі өлшемді текше қабырғасы центрінде болатын шаршы болып табылады.

Теңсіздікті қанағаттандыратын нүктелер жиыны деп аталады n-допрадиусы центрінде, ол да деп аталады

- нүктенің маңыішінде және белгілеу,

Осылайша, бір өлшемді шар - бұл ұзындықтың интервалы. 2D доп

теңсіздік болатын шеңбер бар

Анықтама 1. Жиын деп аталады шектелген, бар болса
nбұл жиынды қамтитын шар.

Анықтама 2. Натурал сандар жиынында анықталған және тиесілі мәндерді алатын функция шақырылады жүйелікеңістікте және арқылы белгіленеді, мұнда.

Анықтама 3. Нүкте деп аталады реттілік шегі, егер ерікті оң сан үшін кез келген сан үшін теңсіздік орындалатындай натурал сан бар болса.

Символдық түрде бұл анықтама келесідей жазылған:

Белгіленуі:

3-анықтамадан шығатыны, үшін. Мұндай реттілік деп аталады жинақтау-ге.

Егер тізбек ешбір нүктеге жақындамаса, онда ол шақырылады дивергентті.

Теорема 1.Тізбектің нүктеге жақындауы үшін кез келген сан үшін қажет және жеткілікті, яғни. реттілікке мен- жинақталған нүктелердің х координаталары мен-нүктенің координатасы.

□ Дәлел теңсіздіктерден шығады

реті деп аталады шектелген, егер оның мәндерінің жиынтығы шектеулі болса, яғни.

Сандар тізбегі сияқты нүктелердің жинақты тізбегі де шектелген және бір шегі бар.

Анықтама 4. реті деп аталады іргелі(Коши тізбегі), егер кез келген оң сан үшін ерікті натурал сандар үшін және , -ден үлкен болатындай натурал санды көрсетуге болады, яғни.

2-теорема(Коши критерийі). Тізбекті біріктіру үшін оның негізгі болуы қажет және жеткілікті.

□ Қажеттілік.Бір нүктеге жиналайық. Содан кейін -ге жинақталатын тізбекті аламыз. . . , …, X деп аталады аймақ v . Егер X -ауданы, содан кейін оның жабылуы деп аталады жабық аймақ.

Жиындар Xжәне Ышақырды бөлінетін, егер олардың ешқайсысында екіншісінің жанасу нүктелері болмаса.

Бір топ Xшақырды байланыстыегер оны екі бөлінетін жиындардың бірігуі ретінде көрсету мүмкін болмаса.

Бір топ Xшақырды дөңес , егер оның кез келген екі нүктесін толығымен осы жиынға жататын кесіндімен қосуға болатын болса.

Мысал. Жоғарыда келтірілген анықтамаларға сүйене отырып, мынаны айтуға болады

– жалғанған, сызықты байланысқан, ашық, дөңес емес жиын, облыс болып табылады.

– қосылған, сызықты байланысқан, ашық емес, дөңес емес жиын, домен емес.

– байланыссыз, сызықтық жалғанбаған, ашық, дөңес емес жиын, облыс емес.

– байланыссыз, сызықтық байланыссыз, ашық жиын, домен емес.

– қосылған, сызықтық байланысқан, ашық жиын, домен болып табылады.

Теорема.Болсын u = f(x, y) D және let доменінде берілген x = x(t)және y = y(t)аймағында анықталған , және қашан , онда х және у D ауданына жатады. u функциясы М нүктесінде дифференциалданатын болсын 0 (x 0 ,ж 0 ,z 0), және x функциялары(t) және сағат(t) сәйкес t нүктесінде дифференциалданады 0 , онда күрделі функция u = f[x(т),ж(т)]=F (т)т бойынша дифференциалданады 0 және келесі теңдік орындалады:

.

Дәлелдеу. u нүктесінде шартты түрде дифференциалданатын болғандықтан ( x 0 , ж 0), онда оның жалпы өсімі ретінде көрсетіледі

Осы қатынасты бөлсек, мынаны аламыз:

Шектеу шегіне өтіп, формуланы алайық

.

Ескерту 1.Егер u= u(x, y) және x= x, ж= ж(x), онда функцияның толық туындысы uайнымалы бойынша X

немесе .

Соңғы теңдік пішінде жанама түрде берілген бір айнымалының функциясын дифференциалдау ережесін дәлелдеу үшін пайдаланылуы мүмкін. Ф(x, ж) = 0, мұндағы ж= ж(x) (№3 тақырыпты және 14 мысалды қараңыз).

Бізде бар: . Осы жерден . (6.1)

№3 тақырыптың 14-мысалына қайта оралайық:

;

.

Көріп отырғаныңыздай, жауаптар бірдей.

Ескерту 2.Болсын u = f (x, y), қайда X= X(т , v), сағ= сағ(т , v). Сонда u ақырында екі айнымалының күрделі функциясы болады тжәне v. Егер қазір u функциясы нүктеде дифференциалданатын болса М 0 (x 0 , ж 0) және функциялар Xжәне сағсәйкес нүктеде дифференциалданады ( т 0 , v 0), онда қатысты жартылай туындылар туралы айтуға болады тжәне vнүктедегі күрделі функциядан ( т 0 , v 0). Бірақ егер біз белгілі бір нүктеде t-ге қатысты ішінара туынды туралы айтатын болсақ, онда екінші v айнымалысы тұрақты және оған тең деп саналады. v 0 . Демек, біз тек күрделі функцияның t-ге қатысты туындысы туралы айтып отырмыз және, демек, туынды формуланы қолдануға болады. Осылайша, біз аламыз.

Күрделі функцияның туындысының формуласының дәлелі келтірілген. Күрделі функция бір немесе екі айнымалыға тәуелді болатын жағдайлар егжей-тегжейлі қарастырылады. Жалпылау айнымалылардың ерікті саны жағдайында жасалады.

Сондай-ақ қараңыз: Күрделі функцияның туындысының формуласын қолдану мысалдары

Негізгі формулалар

Мұнда күрделі функцияның туындысы үшін келесі формулалардың туындысын ұсынамыз.
Егер болса, онда
.
Егер болса, онда
.
Егер болса, онда
.

Бір айнымалы күрделі функцияның туындысы

x айнымалысының функциясы күрделі функция ретінде келесі түрде ұсынылсын:
,
мұнда және кейбір функциялар бар. Функция x айнымалысының кейбір мәні үшін дифференциалданады. Функция айнымалының мәні үшін дифференциалданады.
Сонда күрделі (құрама) функция х нүктесінде дифференциалданады және оның туындысы мына формуламен анықталады:
(1) .

Формула (1) келесі түрде де жазылуы мүмкін:
;
.

Дәлелдеу

Келесі белгіні енгізейік.
;
.
Мұнда айнымалылардың және функциясы бар, айнымалылардың және функциясы бар. Бірақ есептеулерді шатастырып алмау үшін біз бұл функциялардың аргументтерін алып тастаймыз.

және функциялары сәйкесінше x және нүктелерінде дифференциалданатын болғандықтан, бұл нүктелерде осы функциялардың туындылары бар, олар келесі шектер болып табылады:
;
.

Келесі функцияны қарастырыңыз:
.
Айнымалының тұрақты мәні үшін u , функциясы болып табылады. Ол анық
.
Содан кейін
.

Функция нүктесінде дифференциалданатын функция болғандықтан, ол осы нүктеде үздіксіз болады. Сонымен
.
Содан кейін
.

Енді туындысын табамыз.

.

Формула дәлелденді.

Салдары

Егер х айнымалысының функциясын күрделі функцияның күрделі функциясы ретінде көрсетуге болады
,
онда оның туындысы формула бойынша анықталады
.
Мұнда және кейбір дифференциалданатын функциялар бар.

Бұл формуланы дәлелдеу үшін күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша туындыны ретімен есептейміз.
Күрделі функцияны қарастырайық
.
Оның туындысы
.
Бастапқы функцияны қарастырыңыз
.
Оның туындысы
.

Екі айнымалысы бар күрделі функцияның туындысы

Енді күрделі функция бірнеше айнымалыға тәуелді болсын. Алдымен қарастырыңыз екі айнымалы күрделі функцияның жағдайы.

x айнымалысына байланысты функция екі айнымалының күрделі функциясы ретінде келесі формада ұсынылсын:
,
қайда
және х айнымалысының кейбір мәні үшін дифференциалданатын функциялар бар;
, нүктесінде дифференциалданатын екі айнымалының функциясы болып табылады. Сонда күрделі функция нүктенің кейбір маңайында анықталады және туындысы бар, ол формуламен анықталады:
(2) .

Дәлелдеу

Функциялары және нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан, олар осы нүктенің кейбір маңайында анықталған, нүктеде үздіксіз және нүктеде олардың туындылары бар, олар келесі шектер болып табылады:
;
.
Мұнда
;
.
Бұл функциялардың бір нүктедегі үздіксіздігіне байланысты бізде:
;
.

Функция нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан, ол осы нүктенің кейбір маңайында анықталған, осы нүктеде үздіксіз және оның өсімін келесі түрде жазуға болады:
(3) .
Мұнда

- оның аргументтері және мәндері артқанда функция ұлғаюы;
;

- функцияның айнымалыларға қатысты жеке туындылары және .
және тұрақты мәндері үшін және айнымалылардың функциялары бар және . Олар нөлге бейім және келесідей:
;
.
Содан бері және , содан кейін
;
.

Функцияның ұлғаюы:

. :
.
Ауыстыру (3):



.

Формула дәлелденді.

Бірнеше айнымалы күрделі функцияның туындысы

Жоғарыда келтірілген туынды күрделі функцияның айнымалылар саны екіден көп болған жағдайға оңай жалпыланады.

Мысалы, егер f болса үш айнымалының функциясы, содан кейін
,
қайда
, және х айнымалысының кейбір мәні үшін дифференциалданатын функциялар бар;
дифференциалданатын функция болып табылады, үш айнымалыда, , , нүктесінде.
Сонда функцияның дифференциалдану анықтамасынан бізде:
(4)
.
Өйткені, үздіксіздіктің арқасында,
; ; ,
содан кейін
;
;
.

(4) - ге бөлу және шегіне өту, біз мынаны аламыз:
.

Соңында, қарастырыңыз ең жалпы жағдай.
x айнымалысының функциясы n айнымалының күрделі функциясы ретінде келесі формада ұсынылсын:
,
қайда
x айнымалысының кейбір мәні үшін дифференциалданатын функциялар бар;
- нүктедегі n айнымалының дифференциалданатын функциясы
, , ... , .
Содан кейін
.