gabinet

System liczb binarnych. Podstawy arytmetyki binarnej

Systemy liczbowe System liczbowy to zestaw technik i zasad wyznaczania i nazywania liczb. System liczb pozycyjnych jest nazywany, ponieważ ta sama cyfra otrzymuje różne wartości ilościowe w zależności od miejsca lub pozycji, jaką zajmuje w zapisie liczby. Na przykład we wpisie z liczbą 555 liczba 5, która jest na pierwszym miejscu po prawej, oznacza 5 jedynek, w drugiej 5 dziesiątek, w trzeciej 5 setek.

Pozycyjne systemy liczbowe Podstawą pozycyjnego systemu liczbowego jest liczba różnych znaków lub symboli używanych do reprezentowania cyfr w danym systemie. Za podstawę systemu można przyjąć dowolną liczbę naturalną dwa, trzy, cztery itd. W związku z tym możliwa jest nieskończona liczba systemów pozycyjnych: binarny, trójskładnikowy, czwartorzędowy itp.

Systemy liczb pozycyjnych Przykład: System liczb binarnych Miejsca Liczba, 1 2 = =1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 System liczb ósemkowych Miejsca Liczba2 7 6, 5 2 =2*8 2 +7*8 1 +6*8 0 +5* *8 -2

Pozycyjne systemy liczbowe System binarny, wygodny dla komputerów, jest niewygodny dla ludzi ze względu na swoją nieporęczność i nietypową notację. W związku z tym opracowano systemy ósemkowe i szesnastkowe. Liczby w tych systemach czyta się prawie tak samo łatwo jak liczby dziesiętne, wymagają one odpowiednio trzech (ósemkowych) i czterech (szesnastkowych) razy mniej cyfr niż w systemie dwójkowym (w końcu liczby 8 i 16 są odpowiednio trzecią i czwarte potęgi liczby 2) . -binarny (używane są cyfry 0, 1); –ósemkowe (używane są cyfry 0, 1,..., 7); –szesnastkowy (dla pierwszych liczb całkowitych od zera do dziewięciu stosuje się cyfry 0, 1,..., 9, a dla kolejnych liczb od dziesięciu do piętnastu symbole A, B, C, D, E, F są używane jako cyfry).

Zapisywanie liczb w systemach liczbowych 10-z2-z8-z16-z10-z2-z8-z16-z A B C D E F

Jak informacje są reprezentowane w komputerze lub dane cyfrowe Aby zrozumieć, jak różnorodne informacje są reprezentowane w komputerze, zajrzyjmy do pamięci komputera. Wygodnie jest przedstawić go w postaci prześcieradła w klatce. Każda taka „komórka” przechowuje tylko jedną z dwóch wartości: zero lub jeden. Dwie cyfry są wygodne dla przechowywanie elektroniczne dane, ponieważ wymagają tylko dwóch stanów obwód elektryczny„włączone” (odpowiadające cyfrze 1) i „wyłączone” (odpowiadające cyfrze 0). Każda „komórka” pamięci komputera nazywana jest bitem. Liczby 0 i 1 przechowywane w „komórkach” pamięci komputera nazywane są wartościami bitowymi.

Za pomocą sekwencji bitów możesz przedstawić różne informacje. Ta reprezentacja informacji nazywana jest kodowaniem binarnym lub cyfrowym. Zaletą danych cyfrowych jest to, że można je stosunkowo łatwo kopiować i modyfikować. Mogą być przechowywane i przesyłane przy użyciu tych samych metod, niezależnie od typu danych. Metody cyfrowego kodowania tekstów, dźwięków (głosy, muzyka), obrazów (zdjęcia, ilustracje) oraz sekwencji obrazów (filmy i wideo), a także Obiekty 3D zostały wynalezione w latach 80. ubiegłego wieku.

Kodowanie binarne informacji liczbowych Istnieje wiele sposobów zapisywania liczb. Używamy dziesiętnego systemu liczb pozycyjnych. Nazywa się to dziesiętnym, ponieważ w tym systemie liczbowym dziesięć jednostek jednej cyfry stanowi jedną jednostkę następnej najbardziej znaczącej cyfry. Liczba 10 nazywana jest podstawą systemu liczb dziesiętnych. Dziesięć cyfr służy do zapisywania liczb w systemie dziesiętnym: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Binarne kodowanie informacji liczbowych Rozważmy dwie serie liczbowe: 1, 10, 100, 1000, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Obie te serie zaczynają się od jednej. Każda następna liczba w pierwszym rzędzie jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez 10. Każda następna liczba w drugim rzędzie jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez 2.

Kodowanie binarne informacji liczbowych Każda liczba całkowita może być reprezentowana jako suma wyrażeń bitowych jednostek, dziesiątek, setek, tysięcy itd., zapisanych w pierwszym wierszu. Co więcej, każdy członek tej serii może albo nie być uwzględniony w sumie, albo być w niej uwzględniony od 1 do 9 razy. Przykład: 1409 = Liczby 1, 4, 0, 9 pomnożone przez członków pierwszego rzędu tworzą oryginalną liczbę.

Zamiana liczb całkowitych dziesiętnych na kod binarny Spróbujmy przedstawić liczbę 1409 jako sumę elementów drugiego rzędu. Ta metoda uzyskiwania kodu binarnego liczby dziesiętnej polega na zapisywaniu reszt z dzielenia liczby pierwotnej i otrzymanych ilorazów przez 2, aż do następnego ilorazu równego 0. Przykład:

Konwersja całkowitych liczb dziesiętnych na kod binarny Pierwsza komórka górnego wiersza zawiera oryginalną liczbę, a każda następna komórka zawiera wynik dzielenia liczby całkowitej poprzedniej liczby przez 2. Komórki dolnego wiersza zawierają reszty z dzielenia liczb w w górnym wierszu o 2. Ostatnia komórka w dolnym wierszu pozostaje pusta . Kod binarny oryginalnej liczby dziesiętnej uzyskuje się, zapisując kolejno wszystkie reszty, zaczynając od ostatniej: =

Zamiana liczb całkowitych dziesiętnych na kod dwójkowy Pierwszych 20 członków ciągu naturalnego w systemie dwójkowym zapisuje się następująco: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001, 10010, 10011,

Korzystanie z Kalkulatora 2. Upewnij się, że Kalkulator jest ustawiony na wartość dziesiętną. Za pomocą klawiatury lub myszy wprowadź dowolną dwucyfrową liczbę w polu wejściowym. Aktywuj przełącznik Bin i obserwuj zmiany w oknie wprowadzania. Wróć do systemu dziesiętnego. Wyczyść pole wejściowe. 3. Powtórz krok 2 kilka razy dla innych liczb dziesiętnych. 4. Skonfiguruj Kalkulator do pracy w systemie binarnym. Zwróć uwagę, które przyciski Kalkulatora i klawisze numeryczne klawiatury są dla Ciebie dostępne. Naprzemiennie wprowadź kody binarne 5., 10. i 15. elementów ciągu naturalnego i użyj przełącznika Dec, aby przekonwertować je na system liczb dziesiętnych.

1 slajd

2 slajdy

* Kodowanie binarne w komputerze Wszystkie informacje przetwarzane przez komputer muszą być reprezentowane przez kod binarny składający się z dwóch cyfr: 0 i 1. Te dwa znaki są nazywane cyframi lub bitami binarnymi. Za pomocą dwóch cyfr 0 i 1 można zakodować dowolną wiadomość. Z tego powodu w komputerze muszą być zorganizowane dwa ważne procesy: kodowanie i dekodowanie. Kodowanie to przekształcenie informacji wejściowych w formę postrzeganą przez komputer, tj. kod binarny. Dekodowanie to przekształcenie danych z kodu binarnego do postaci czytelnej dla człowieka. *

3 slajdy

* System liczb binarnych System liczb binarnych to system liczb pozycyjnych o podstawie 2. Używane są liczby 0 i 1. System liczb binarnych jest używany w urządzenia cyfrowe, ponieważ jest najprostszy i spełnia wymagania: Im mniej wartości w systemie, tym łatwiej je wykonać poszczególne elementy. Im mniejsza liczba stanów dla elementu, tym wyższa odporność na zakłócenia i tym szybciej może działać. Łatwość tworzenia tabliczki dodawania i mnożenia - podstawowe operacje na liczbach *

4 slajdy

* Korespondencja między dziesiętnym i binarnym systemem liczbowym Liczba użytych cyfr nazywana jest podstawą systemu liczbowego. Podczas pracy z kilkoma systemami liczbowymi jednocześnie, aby je rozróżnić, podstawa systemu jest zwykle wskazywana jako indeks dolny, który jest zapisany w systemie dziesiętnym: 12310 to liczba 123 w systemie dziesiętnym; 11110112 to ta sama liczba, ale w postaci binarnej. Liczba binarna 1111011 może być zapisana jako: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20. p = 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

5 slajdów

* Tłumaczenie liczb z jednego systemu liczbowego na drugi Tłumaczenie z systemu dziesiętnego na podstawowy system liczbowy p polega na sukcesywnym dzieleniu liczby dziesiętnej i jej dziesiętnych ilorazów przez p, a następnie wypisaniu ostatniego ilorazu i reszty w odwrotnej kolejności . Przetłumaczmy liczbę dziesiętną 2010 na systemy liczb binarnych (podstawą systemu liczbowego jest p=2). W rezultacie otrzymaliśmy 2010 = 101002. *

6 slajdów

* Przeniesienie liczb z jednego systemu liczbowego na drugi Przeniesienie z systemu liczb binarnych na system liczbowy o podstawie 10 odbywa się poprzez sekwencyjne mnożenie elementów liczby binarnej przez 10 do stopnia miejsca tego elementu, z uwzględnieniem że numeracja miejsc idzie w prawo i zaczyna się od cyfry „0”. Przetłumaczmy liczbę dwójkową 100102 na systemy liczb dziesiętnych. W rezultacie otrzymaliśmy 100102 = 1810. 100102=1*24+ 0*23 +0*22+1*21+ 0*20 =16+2=1810 *

Zarys lekcji informatyki w klasie 9 na temat ” System liczb binarnych "(slajd 1)

Cel: stworzyć pojęcie „binarnego systemu liczbowego”oraz podstawy obliczeń arytmetycznych w systemie binarnym.(Slajd 2)

Wymagania dotyczące wiedzy i umiejętności (Slajd 3)

Studenci powinni wiedzieć:

systemy liczb dziesiętnych i binarnych;

rozbudowana forma wpisywania liczby;

zasady konwersji z binarnego na dziesiętny i odwrotnie;

zasady dodawania i mnożenia liczby binarne.

Studenci powinni umieć:

konwertuj liczby binarne na system dziesiętny;

konwertuj liczby dziesiętne na binarne;

dodawać i mnożyć liczby binarne.

Oprogramowanie i sprzęt dydaktyczny: Sem., § 16, s. 96; demonstracja „System liczb binarnych”; projektor.(slajd 4)

Podczas zajęć

Organizowanie czasu

Ustalanie celów lekcji

Z jakimi liczbami współpracuje komputer? Czemu?

Jak je obsługiwać?

Praca nad tematem lekcji

(Korzystając z demonstracji „System liczb binarnych”, aby pokazać rozszerzoną formę liczby, konwersję z binarnej na dziesiętną i odwrotnie, arytmetykę binarną.)

System liczb binarnych jest głównym systemem reprezentacjiInformacjaw pamięci komputera. Ten pomysł należy do Johna von Neumanna(Slajd 5) , który sformułował w 1946 roku zasady projektowania i działania komputerów. Jednak, wbrew powszechnemu nieporozumieniu, system liczb binarnych został wynaleziony nie przez inżynierów zajmujących się projektowaniem komputerów elektronicznych, ale przez matematyków i filozofów, na długo przed pojawieniem się komputerów, w XVII-XIX wieku. Wielki niemiecki naukowiec Leibniz(slajd 6) myśl: „Obliczanie za pomocą dwójek<...>ma fundamentalne znaczenie dla nauki i generuje nowe odkrycia... Kiedy liczby sprowadza się do najprostszych zasad, którymi są 0 i 1, wszędzie pojawia się cudowny porządek. Później system binarny został zapomniany i dopiero w latach 1936-1938 amerykański inżynier i matematyk Claude Shannon(slajd 7) znalazł niezwykłe zastosowania systemu binarnego w projektowaniu obwodów elektronicznych.

Co to jest system liczbowy? Oto zasady pisania liczb i związane z nimi sposoby wykonywania obliczeń.

System liczbowy, do którego wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni, nazywa się dziesiętnym. Tę nazwę tłumaczy fakt, że używa dziesięciu cyfr: 0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9. (slajd 8) Liczba cyfr określa podstawę systemu liczbowego. Jeśli liczba cyfr wynosi dziesięć, to podstawą systemu liczbowego jest dziesięć. W systemie binarnym są tylko dwie cyfry: 0 i 1. Podstawą są dwie. Powstaje pytanie, czy możliwe jest przedstawienie dowolnej wartości za pomocą zaledwie dwóch cyfr. Okazuje się, że możesz!

Rozszerzona forma wpisywania liczby (slajd 9)

Przypomnij sobie zasadę pisania liczb w systemie liczb dziesiętnych. Wartość cyfry we wpisie liczbowym zależy nie tylko od samej cyfry, ale także od położenia tej cyfry w liczbie (mówią: od pozycji cyfry). Na przykład w liczbie 555 pierwsza cyfra po prawej stronie oznacza: trzy jednostki, następna - trzy dziesiątki, następna - trzy setki. Fakt ten można wyrazić jako sumę terminów bitowych:

555 10 = 5 x 102 + 5 x 101 + 5 x 10° = 500 + 50 + 5.

Tak więc wraz z postępem od cyfry do cyfry od prawej do lewej "waga" każdej cyfry wzrasta 10 razy. Wynika to z faktu, że podstawą systemu liczbowego jest dziesięć.

Konwersja liczb binarnych na dziesiętne

A oto przykład wielocyfrowej liczby binarnej: 1110112 . Dwa w prawym dolnym rogu wskazują podstawę systemu liczbowego. Jest to konieczne, aby nie pomylić liczby binarnej z liczbą dziesiętną. W końcu istnieje liczba dziesiętna 111011! Waga każdej kolejnej cyfry w liczbie binarnej wzrasta 2 razy przy przechodzeniu od prawej do lewej. Rozszerzona forma tej liczby binarnej wygląda tak:

111011 2 = 1 x 25 + 1x24 + 1x23 + 0x 22 + 1x21 + 1 x 2° = 6710 .

W ten sposób przekonwertowaliśmy liczbę binarną na system dziesiętny.

Zamieńmy jeszcze kilka liczb binarnych na system dziesiętny(slajd 10).

10 2 = 2 1 =2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;

10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 itp.

Tak więc okazało się, że dwucyfrowa liczba dziesiętna odpowiada sześciocyfrowej liczbie dwójkowej! I to jest typowe dla systemu binarnego: szybki wzrost liczby cyfr wraz ze wzrostem wartości liczby.

Ćwiczenie 1. (slajd 11) Napisz początek naturalnego ciągu liczb w postaci dziesiętnej (A10 ) i binarne (A2 ) systemy liczbowe.

Zadanie 2. Przekształć następujące liczby binarne na dziesiętne.

101 ; 11101 ; 101010 ; 100011 ; 10110111011 .

Odpowiedź: 5; 29; 42; 35; 1467.

Konwersja liczb dziesiętnych na binarne (slajd 12)

Jak przetłumaczyć liczbę dwójkową na liczbę dziesiętną równą jej, powinno być dla ciebie jasne z przykładów omówionych powyżej. A jak przeprowadzić translację odwrotną: z systemu dziesiętnego na binarny? Aby to zrobić, musisz umieć rozłożyć liczbę dziesiętną na wyrażenia, które są potęgami dwójki. Na przykład:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 x 2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 1 x 2° = 1111 2 . To skomplikowane. Jest jeszcze inny sposób, który teraz poznamy.

Niech będzie konieczne przekształcenie liczby 234 na system liczb binarnych.Podzielimy 234 sekwencyjnie przez 2 i zapamiętamy resztę, nie zapominając o zerach:

234 = 2 x 117 + 0 14 = 2 x 7 + 0

Po wypisaniu wszystkich pozostałych, zaczynając od ostatniej, otrzymujemy rozwinięcie binarne liczby: 23410 = 11101010 2 .

Zadanie 3. (slajd 13) Które liczby binarne odpowiadają następującym liczbom dziesiętnym?

2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.

Odpowiedź: 10 2 ; 111 2 ; 10001 2 ; 1000100 2 ; 100111011 2 ; 1011111101 2 ; 11111111111 2 .

Arytmetyka binarna (slajd 14)

zasady arytmetyka binarna wiele łatwiejsze zasady arytmetyka dziesiętna. To wszystko możliwe opcje dodawanie i mnożenie jednocyfrowych liczb binarnych:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Swoją prostotą i spójnością z bitową strukturą pamięci komputera binarny system liczbowy przyciągnął wynalazców komputera. Dużo łatwiej to wdrożyć środki techniczne niż system dziesiętny.

Oto przykład dodawania kolumn dwóch wielowartościowych liczb binarnych(slajd 15) :

+ 1011011101

111010110

10010110011

Teraz spójrz uważnie na następujący przykład mnożenia wielowartościowych liczb binarnych:

x 1101101

101

1101101

1000100001

Zadanie 4. (slajd 16) Wykonaj dodawanie binarne.11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.

Odpowiedź: 100; 1000; 10000; 100000.

Zadanie 5. Wykonaj mnożenie w systemie liczb binarnych.

111x10; 111 x 11; 1101 x 101; 1101 x 1000.

Odpowiedź: 1110; 10101; 1000001; 1101000.

Podsumowując lekcję (slajd 17)

System liczbowy to pewne zasady pisania liczb i sposoby wykonywania obliczeń związane z tymi zasadami. Podstawa systemu liczbowego jest równa liczbie użytych w nim cyfr.

Liczby binarne to liczby w systemie liczb binarnych. Używają dwóch cyfr: 0 i 1.

Rozszerzoną formą zapisywania liczby binarnej jest jej reprezentacja jako suma potęg dwójki pomnożona przez 0 lub 1.

Wykorzystanie liczb binarnych w komputerze wiąże się z bitową strukturą pamięci komputera i prostotą arytmetyki binarnej.

Praca domowa (slajd 18)

Podane liczby binarneX i Y . Obliczx + YIX- Y , JeśliX= 1000111, Y = 11010.