Розподіл чисел системі числення онлайн калькулятор. Арифметичні операції з числами у позиційних системах числення
Можна вводити як цілі числа, наприклад 34 так і дробові, наприклад, 637.333 . Для дробових чиселвказується точність перекладу після коми.
Разом з цим калькулятором також використовують такі:
Способи подання чисел
Двійкові (binary) числа – кожна цифра означає значення одного біта (0 або 1), старший біт завжди пишеться ліворуч, після числа ставиться буква «b». Для зручності сприйняття зошити можна розділити пробілами. Наприклад, 1010 0101b.Шістнадцяткові (hexadecimal) числа – кожен зошит представляється одним символом 0...9, А, В, ..., F. Позначатись таке уявлення може по-різному, тут використовується лише символ «h» після останньої шістнадцяткової цифри. Наприклад, A5h. У текстах програм це число може позначатися як 0хА5, і як 0A5h, залежно від синтаксису мови програмування. Незначний нуль (0) додається ліворуч від старшої шістнадцяткової цифри, що зображується літерою, щоб розрізняти числа та символічні імена.
Десяткові (decimal) числа – кожен байт (слово, подвійне слово) є звичайним числом, а ознака десяткового уявлення (літеру «d») зазвичай опускають. Байт із попередніх прикладів має десяткове значення 165. На відміну від двійкової та шістнадцяткової форми запису, за десятковою важко в умі визначити значення кожного біта, що іноді доводиться робити.
Восьмеричні (octal) числа – кожна трійка біт (поділ починається з молодшого) записується як цифри 0–7, наприкінці ставиться ознака «про». Те саме число буде записано як 245о. Вісімкова система незручна тим, що байт неможливо розділити порівну.
Алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Переведення цілих десяткових чисел у будь-яку іншу систему числення здійснюється діленням числа на підставу нової системичислення до тих пір, поки в залишку не залишиться менше підстави нової системи числення. Нове число записується як залишків розподілу, починаючи з останнього.Переведення правильного десяткового дробу в іншу ПСС здійснюється множенням лише дробової частини числа на підставу нової системи числення доти, доки в дробовій частині не залишаться всі нулі або поки не буде досягнуто заданої точності перекладу. В результаті виконання кожної операції множення формується одна цифра нового числа, починаючи зі старшого.
Переклад неправильного дробу здійснюється за 1 та 2 правилами. Цілу та дробову частину записують разом, відокремлюючи комою.
Приклад №1. 
Переклад з 2 до 8 до 16 системи числення.
Ці системи кратні двом, отже, переклад здійснюється з допомогою таблиці відповідності (див. нижче).
Для переведення числа з двійкової системи числення в восьмирічну (шістнадцяткову) необхідно від коми вправо та вліво розбити двійкове число на групи по три (чотири – для шістнадцяткового) розряду, доповнюючи при необхідності нулями крайні групи. Кожну групу замінюють відповідною восьмирічною або шістнадцятковою цифрою.
Приклад №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
тут 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1
При перекладі в шістнадцяткову систему необхідно ділити число на частини, по чотири цифри, дотримуючись тих же правил.
Приклад №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тут 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13
Переведення чисел з 2 , 8 і 16 в десяткову систему обчислення виробляють шляхом розбивання числа на окремі та множення його на основу системи (з якої перекладається число) зведене у ступінь відповідну його порядковому номеру в кількості, що переводиться. При цьому числа нумеруються вліво від коми (перше число має номер 0) зі зростанням, а в праву сторону зі спаданням (тобто з негативним знаком). Отримані результати складаються.
Приклад №4.
Приклад переведення з двійкової до десяткової системи числення.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2+1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Приклад переведення з вісімкової до десяткової системи числення. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Приклад переведення з шістнадцяткового в десяткову систему числення. 108.5 16 = 1 · 16 2 +0 · 16 1 +8 · 16 0 + 5 · 16 -1 = 256 +0 +8 +0.3125 = 264.3125 10
Ще раз повторимо алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої ПСС
- З десяткової системи числення:
- розділити число на основу перекладеної системи числення;
- знайти залишок від розподілу цілої частини числа;
- записати всі залишки від розподілу у зворотному порядку;
- З двійкової системи числення
- Для переведення в десяткову систему числення необхідно знайти суму творів підстави 2 на відповідний рівень розряду;
- Для переведення числа у вісімкову необхідно розбити число на тріади.
Наприклад, 1000110 = 1000110 = 106 8 - Для переведення числа із двійкової системи числення в шістнадцяткову необхідно розбити число на групи по 4 розряди.
Наприклад, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблиця відповідності систем обчислення:
| Двійкова СС | Шістнадцяткова СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблиця для переведення у вісімкову систему числення
Приклад №2. Перевести число 100,12 з десяткової системи числення у вісімкову систему числення і назад. Пояснити причини розбіжностей.
Рішення.
1 етап. .
Залишок від розподілу записуємо у зворотному порядку. Отримуємо число у 8-ій системі числення: 144
100 = 144 8
Для перекладу дробової частини числа послідовно множимо дробову частину на підставу 8. У результаті щоразу записуємо цілу частину твору.
0.12 * 8 = 0.96 (ціла частина 0
)
0.96 * 8 = 7.68 (ціла частина 7
)
0.68 * 8 = 5.44 (ціла частина 5
)
0.44 * 8 = 3.52 (ціла частина 3
)
Отримуємо число у 8-ій системі числення: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Етап. Переведення числа з десяткової системи числення у вісімкову систему числення.
Зворотний переведення з вісімкової системи обчислень до десяткової.
Для перекладу цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перекладу дробової частини необхідно розділити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Різниця в 0,0001 (100,12 – 100,1199) пояснюється похибкою округлень при переведенні у вісімкову систему численнь. Цю похибку можна зменшити, якщо взяти більше розрядів (наприклад, не 4, а 8).
Разом з цим калькулятором також використовують такі:
Переведення чисел у двійкову, шістнадцяткову, десяткову, вісімкову системи числення
Розмноження двійкових чисел
Формат представлення чисел із плаваючою комою
Приклад №1. Подати число 133,54 у формі числа з плаваючою точкою.
Рішення. Представимо число 133.54 у нормалізованому експонентному вигляді:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 складається із двох частин: мантиси M=1.3354 та експоненти exp 10 =2
Якщо мантиса знаходиться в діапазоні 1 ≤ M Подання числа у денормалізованому експоненційному вигляді.
Якщо мантиса знаходиться в діапазоні 0,1 ≤ M Представимо число у денормалізованому експонентному вигляді: 0.13354*exp 10 3
Приклад №2. Подати двійкове число 101.10 2 в нормалізованому вигляді, записати в 32-бітному стандарті IEEE754.
Таблиця істинності
Обчислення меж
Арифметика у двійковій системі числення
Арифметичні дії в двійковій системівиконуються так само, як і в десятковій. Але, якщо в десятковій системі числення перенесення та позику здійснюється по десять одиниць, то в двійковій - по дві одиниці. У таблиці представлені правила складання та віднімання в двійковій системі числення.- При додаванні в двійковій системі системі числення двох одиниць у даному розряді буде 0 і з'явиться перенесення одиниці у старший розряд.
- При відніманні з нуля одиниці проводиться позика одиниці зі старшого розряду, де є 1 . Одиниця, зайнята в цьому розряді, дає дві одиниці в розряді, де обчислюється дія, а також одиниці, у всіх проміжних розрядах.
Додавання чисел з урахуванням їх знаків на машині є послідовністю наступних дій:
- перетворення вихідних чисел на вказаний код;
- порозрядне складання кодів;
- аналіз одержаного результату.
При виконанні операції у додатковому (модифікованому додатковому) коді якщо в результаті додавання у знаковому розряді виникає одиниця перенесення, вона відкидається.
Операція віднімання в ЕОМ виконується через додавання за правилом: Х-У = Х + (-У). Подальші дії виконуються як і для операції складання.
Приклад №1.
Дано: х = 0,110001; y= -0,001001, скласти у зворотному модифікованому коді.
Дано: х = 0,101001; y= -0,001101, скласти у додатковому модифікованому коді. 
Приклад №2. Розв'язати приклади віднімання двійкових чисел, використовуючи метод доповнення до 1 і циклічного переносу.
а) 11 – 10.
Рішення.
Подаємо числа 11 2 і -10 2 у зворотному коді.
Двійкове число 0000011 має зворотний код 0,0000011
Складемо числа 00000011 та 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
У другому розряді з'явилося переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0 а 1 переносимо на 3-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Виникло перенесення із знакового розряду. Додамо його (тобто 1) до отриманого числа (тим самим здійснюючи процедуру циклічного перенесення).
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат додавання: 00000001. Перекладемо в десяткове уявлення. Для перекладу цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат додавання (у десятковому поданні): 1
б) 111-010 Представимо числа 111 2 та -010 2 у зворотному коді.
Зворотний код позитивного числа збігається з прямим кодом. Для негативного числа всі цифри числа замінюються на протилежні (1 на 0, 0 на 1), а знаковий розряд заноситься одиниця.
Двійкове число 0000111 має зворотний код 0,0000111
Двійкове число 0000010 має зворотний код 1,1111101
Складемо числа 00000111 та 11111101
У 0-му розряді виникло переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0 а 1 переносимо на 1-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
У першому розряді з'явилося переповнення (1 + 1 = 10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 2-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
У другому розряді з'явилося переповнення (1 + 1 + 1 = 11). Тому записуємо 1 а 1 переносимо на 3-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
У 3-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 4-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
У 4-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0 а 1 переносимо на 5-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 5-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0 а 1 переносимо на 6-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 6-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 7-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У 7-му розряді виникло переповнення (1+1=10). Тому записуємо 0, а 1 переносимо на 8-й розряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Виникло перенесення із знакового розряду. Додамо його (тобто 1) до отриманого числа (тим самим здійснюючи процедуру циклічного перенесення).
У результаті отримуємо:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат додавання: 00000101
Отримали число 00000101. Для перекладу цілої частини необхідно помножити розряд числа на відповідний ступінь розряду.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат додавання (у десятковому поданні): 5
Додавання двійкових речових чисел з плаваючою комою
У комп'ютері будь-яке число може бути представлене у форматі з плаваючою точкою. Формат із плаваючою точкою показаний на малюнку:
Наприклад, число 10101 у форматі з плаваючою точкою можна записати так:
У комп'ютерах використовується нормалізована форма запису числа, у якій положення коми завжди задається перед цифрою мантиси, що означає, тобто. виконується умова:
b -1 ≤|M| Нормалізоване число - це число, у якого після коми йде значну цифру (тобто 1 у двійковій системі числення). Приклад нормалізації:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При додаванні чисел з плаваючою точкою вирівнювання порядків виконують у бік більшого порядку: 
Алгоритм складання чисел з плаваючою точкою:
- Вирівнювання порядків;
- Додавання мантис у додатковому модифікованому коді;
- Нормалізація результату.
Приклад №4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Вирівнювання порядків;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Додавання мантис у додатковому модифікованому коді;
MA дод. =00,01011
MB дод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормалізація результату.
A+B=0,1101*2 10
Приклад №3. Записати десяткове число у двійково-десятковій системі числення і скласти два числа у двійковій системі числення.
Розглянемо основні арифметичні операції: складання, віднімання, множення та розподіл.Правила виконання цих операцій у десятковій системі добре відомі - це додавання, віднімання, множення стовпчиком та розподіл кутом. Ці правила застосовні і для всіх інших позиційних систем числення. Тільки треба користуватися спеціальними таблицями складання та множення для кожної системи.
1. Додавання
Таблиці складання легко скласти, використовуючи правила рахунку.
При додаванні цифри сумуються за розрядами, і якщо при цьому виникає надлишок, він переноситься вліво.
приклад 1. Складемо числа 15 і 6 у різних системах числення.
приклад 2. Складемо числа 15, 7 та 3.
|
Шістнадцяткова : F 16 +7 16 +3 16
|
15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Перевірка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25. |
Приклад 3. Складемо числа 141,5 та 59,75.
Відповідь: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16
Перевірка. Перетворимо отримані суми до десяткового виду:
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25
2. Віднімання
|
Віднімання в двійковій системі числення
позика |
Віднімання у шістнадцятковій системі числення
Позика одиниці зі старшого розряду |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Віднімання у восьмеричній системі числення
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Позикаодиниці зі старшого розряду
Приклад 4. Віднімемо одиницю з чисел 10 2 , 10 8 та 10 16
Приклад 5. Віднімемо одиницю з чисел 100 2 , 100 8 та 100 16 .
Приклад 6. Віднімемо число 59,75 з числа 201,25.
Відповідь: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .
Перевірка. Перетворимо отримані різниці до десяткового виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;
8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.
Як ми складаємо у десятковій системі числення?
Давайте згадаємо про те, як ми складаємо числа вже звичним нам способом, у десятковому .
Найголовніше варто зрозуміти розряди. Згадайте алфавіт кожної СС, і тоді вам стане легше.
Додавання в двійковій системі нічим не відрізняється від додавання в десятковій системі. Головне пам'ятати, що алфавіт містить лише дві цифри: 0 і 1. Тому коли ми складаємо 1 + 1, то отримуємо 0, і збільшуємо число ще на 1 розряд. Подивіться приклад вище:
- Починаємо складати як і звикли праворуч наліво. 0 + 0 = 0, отже, записуємо 0. Переходимо до наступного розряду.
- Складаємо 1 + 1 і отримуємо 2, але 2 немає в двійковій системі числення, а значить записуємо 0, а 1 додаємо до наступного розряду.
- У нас виходить у цьому розряді три одиниці складаємо 1+1+1=3, цієї цифри також бути не може. Значить 3 - 2 = 1. І 1 додаємо до наступного розряду.
- У нас знову виходить 1 + 1 = 2. Ми вже знаємо, що 2 не може бути, значить записуємо 0, а 1 додаємо до наступного розряду.
- Складати більше нічого, отже, у відповіді отримуємо: 10100.
Один приклад ми розібрали, другий вирішіть самостійно:
Так само як і в будь-яких інших системах числення необхідно пам'ятати Алфавіт. Спробуємо скласти вираз.
- Все як завжди, починаємо складати справа наліво. 4+3=7.
- 5 + 4 = 9. Дев'яти бути не може, значить з 9 віднімаємо 8, отримуємо 1. І ще 1 додаємо до наступного розряду.
- 3 + 7 + 1 = 11. З 11 віднімаємо 8, отримуємо 3. І одиницю додаємо до наступного розряду.
- 6 + 1 = 7.
- Складати далі нічого. Відповідь: 7317.
А тепер проробіть додавання самостійно:
- Виконуємо вже знайомі нам дії та не забуваємо про алфавіт. 2+1=3.
- 5+9=14. Згадуємо Алфавіт: 14=Е.
- С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцяти немає у шістнадцятковій системі числення. Значить із 20 віднімаємо 16 і отримуємо 4. І одиницю додаємо до наступного розряду.
- 1 + 1 = 2.
- Більше складати нічого. Відповідь: 24Е3.
Відрахування у системах числення
Згадаймо, як ми це робимо у десятковій системі числення.
- Починаємо ліворуч, від меншого розряду до більшого. 2 - 1 = 1.
- 1 – 0 = 1.
- 3 - 9 =? Трійка менша за дев'ять, тому запозичимо одиницю зі старшого розряду. 13 - 9 = 4.
- З останнього розряду ми взяли одиницю попередньої дії, тому 4 – 1 = 3.
- Відповідь: 3411.
- Починаємо як завжди. 1 - 1 = 0.
- 1 – 0 = 1.
- Від 0 відібрати одиницю не можна. Тому заберемо один розряд у старшого. 2 - 1 = 1.
- Відповідь: 110.
А тепер вирішіть самостійно:
- Нічого нового, головне – пам'ятати алфавіт. 4 - 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- Від 3 відібрати 7 ми відразу не можемо, для цього нам необхідно запозичувати одиницю у старшого розряду. 11 - 7 = 4.
- Пам'ятаємо, що запозичували одиницю раніше, 6 - 1 = 5.
- Відповідь: 5451.
Візьмемо попередній приклад, і подивимося, який буде результат у шістнадцятковій системі. Такий самий чи інший?
- 4 – 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- Від 3 відібрати 7 ми відразу не можемо, для цього нам необхідно запозичувати одиницю у старшого розряду. 19 - 7 = 12. У шістнадцятковій системі 12 = С.
- Пам'ятаємо, що запозичували одиницю раніше, 6 – 1 = 5
- Відповідь: 5С51
Приклад для самостійного вирішення:
Розмноження в системах числення
Давайте запам'ятаємо раз і назавжди, що множення в будь-якій системі числення на одиницю завжди дасть теж саме число.
- Кожен розряд множимо на одиницю, як звичайно праворуч наліво, і отримуємо число 6748;
- 6748 множимо на 8 та отримуємо число 53984;
- Виконуємо операцію множення 6748 на 3. Отримуємо число 20244;
- Складаємо всі 3 числа, за правилами. Отримуємо 2570988;
- Відповідь: 2570988.
У двійковій системі множити дуже легко. Ми завжди множимо або на 0 або на одиницю. Головне, це уважно складати. Давайте спробуєм.
- 1101 множимо на одиницю, як зазвичай праворуч наліво, і отримуємо число 1101;
- Виконуємо цю операцію ще 2 рази;
- Складаємо всі 3 числа уважно, пам'ятаємо про алфавіт, не забуваючи про драбинку;
- Відповідь: 1011011.
Приклад для самостійного вирішення:
- 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 4, а 2 тримаємо в умі. Проробляємо цю процедуру справа наліво та отримуємо число 40234;
- При множенні на 0 отримуємо чотири 0;
- При множенні на 7, ми отримуємо число 55164;
- Тепер складаємо числа та отримуємо – 5556634;
- Відповідь: 5556634.
Приклад для самостійного вирішення:
Все як завжди, головне згадайте абетку. Літерні цифри, для зручності перекладаєте у звичну для себе систему числення, як помножите, переводіть назад у буквене значення.
Давайте для наочності розберемо множення на 5 числа 20А4.
- 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 4, а 1 тримаємо в умі.
- А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Залишок від розподілу записуємо до числа – це буде 3, а 3 тримаємо в умі.
- При множенні на 0 отримуємо 0 + 3 = 3;
- 2 х 5 = 10 = А; У результаті ми отримуємо А334; Виконуємо цю процедуру з двома іншими числами;
- Пам'ятаємо правило множення на 1;
- При множенні на, у нас виходить число 1670С;
- Тепер складаємо числа та отримуємо – 169В974;
- Відповідь: 169В974.
Приклад самостійного рішення.
За допомогою цього онлайн калькулятора можна перевести цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Надається докладне рішення з поясненнями. Для перекладу введіть вихідне число, задайте основу системи числення вихідного числа, задайте основу системи числення, в яку потрібно перевести число і натисніть кнопку "Перевести". Теоретичну частину та чисельні приклади дивіться нижче.
Результат уже отримано!
Переклад цілих і дробових чисел з однієї системи числення в будь-яку іншу – теорія, приклади та рішення
Існують позиційні та не позиційні системи числення. Арабська система числення, якою ми користуємося у повсякденному житті, є позиційною, а римська – ні. У позиційних системах числення позиція числа однозначно визначає величину числа. Розглянемо це з прикладу числа 6372 у десятковому системі числення. Пронумеруємо це число праворуч наліво, починаючи з нуля:
Тоді число 6372 можна представити у такому вигляді:
6372 = 6000 +300 +70 +2 = 6 · 10 3 +3 · 10 2 +7 · 10 1 +2 · 10 0 .
Число 10 визначає систему числення (у цьому випадку це 10). В якості ступенів взято значення позиції даного числа.
Розглянемо речове десяткове число 1287.923. Пронумеруємо його починаючи з нуля позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:
Тоді число 1287.923 можна як:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
У загальному випадку формулу можна представити у такому вигляді:
Ц n · s n+Ц n-1 · s n-1 +...+Ц 1 · s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
де Ц n -ціле число в позиції n, Д -k - дрібне число в позиції (-k), s- система зчислення.
Кілька слів про системи числення. Число в десятковій системі числення складається з множини цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), у вісімковій системі числення - з множини цифр (0,1, 2,3,4,5,6,7), у двійковій системі числення - з множини цифр (0,1), у шістнадцятковій системі числення - з множини цифр (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), де A,B,C,D,E,F відповідають числам 10,11,12,13,14,15.У таблиці Таб.1 представлені числа у різних системах числення.
| Таблиця 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система зчислення | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Для перекладу чисел з однієї системи числення в іншу, найпростіше спочатку перевести число в десяткову систему числення, а потім з десяткової системи числення перевести в необхідну систему числення.
Переведення чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення
За допомогою формули (1) можна перевести числа будь-якої системи числення в десяткову систему числення.
Приклад 1. Переводити число 1011101.001 із двійкової системи числення (СС) до десяткової СС. Рішення:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 · 2 -3 = 64 +16 +8 +4 +1 +1 / 8 = 93.125
Приклад2. Переводити число 1011101.001 з вісімкової системи числення (СС) до десяткової СС. Рішення:
Приклад 3 . Переводити число AB572.CDF з шістнадцяткової системи числення до десяткової СС. Рішення:
Тут A-замінений на 10, B- на 11, C- на 12, F– на 15.
Переведення чисел з десяткової системи числення в іншу систему числення
Для перекладу чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення потрібно переводити окремо цілу частину числа та дробову частину числа.
Цілу частину числа переводиться з десяткової СС в іншу систему числення - послідовним розподілом цілої частини числа на основу системи числення (для двійкової СС - на 2, для 8-ї СС - на 8, для 16-ї - на 16 і т.д.). ) до отримання цілого залишку, менше, ніж основа СС.
Приклад 4 . Перекладемо число 159 з десяткової СС до двійкової СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Як видно з Мал. 1 число 159 при розподілі на 2 дає приватне 79 і залишок 1. Далі число 79 при розподілі на 2 дає приватне 39 і залишок 1 і т.д. В результаті побудувавши число із залишків розподілу (справа наліво) отримаємо число в двійковій СС: 10011111 . Отже можна записати:
159 10 =10011111 2 .
Приклад 5 . Перекладемо число 615 з десяткової СС у вісімкову СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При наведенні числа з десяткової СС у вісімкову СС, потрібно послідовно ділити число на 8, поки не вийде цілий залишок менше, ніж 8. В результаті побудувавши число із залишків поділу (справа наліво) отримаємо число у вісімковій СС: 1147 (див. мал. 2). Отже можна записати:
615 10 =1147 8 .
Приклад 6 . Перекладемо число 19673 із десяткової системи числення в шістнадцяткову СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Як очевидно з малюнка Рис.3, послідовним розподілом числа 19673 на 16 отримали залишки 4, 12, 13, 9. У шістнадцятковій системі числення 12 відповідає З, числа 13 - D. Отже наше шістнадцяткове число - це 4CD9.
Для переведення правильних десяткових дробів (речове число з нульовою цілою частиною) в систему числення з основою s необхідно дане число послідовно помножити на s до тих пір, поки в дробовій частині не вийде чистий нуль, або не отримаємо необхідну кількість розрядів. Якщо при множенні вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, то цю цілу частину не враховувати (вони послідовно зараховуються до результату).
Розглянемо вищевикладене з прикладів.
Приклад 7 . Перекладемо число 0.214 із десяткової системи числення в двійкову СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Як видно з Рис.4, число 0.214 послідовно множиться на 2. Якщо в результаті множення вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, ціла частина записується окремо (ліворуч від числа), а число записується з нульовою цілою частиною. Якщо ж при множенні вийти число з цілою нульовою частиною, то ліворуч від неї записується нуль. Процес множення триває до тих пір, поки в дробовій частині не вийде чистий нуль або не отримаємо необхідну кількість розрядів. Записуючи жирні числа (Рис.4) зверху донизу отримаємо необхідне число в двійковій системі числення: 0. 0011011 .
Отже можна записати:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Приклад 8 . Перекладемо число 0.125 із десяткової системи числення в двійкову СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведення числа 0.125 з десяткової СС в двійкову, це число послідовно множиться на 2. У третьому етапі вийшло 0. Отже, вийшов наступний результат:
0.125 10 =0.001 2 .
Приклад 9 . Перекладемо число 0.214 із десяткової системи числення в шістнадцяткову СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Наслідуючи приклади 4 і 5 отримуємо числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Але в шістнадцятковій СС числам 12 і 11 відповідають числа C і B. Отже маємо:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
Приклад 10 . Перекладемо число 0.512 із десяткової системи числення у вісімкову СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Отримали:
0.512 10 =0.406111 8 .
Приклад 11 . Перекладемо число 159.125 із десяткової системи числення до двійкової СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 4) та дробову частину числа (Приклад 8). Далі поєднуючи ці результати отримаємо:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Приклад 12 . Перекладемо число 19673.214 із десяткової системи числення в шістнадцяткову СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 6) та дробову частину числа (Приклад 9). Далі поєднуючи ці результати отримаємо.
