Двійкова система числення. Основи двійкової арифметики

Системи числення Система числення це сукупність прийомів і правил для позначення та іменування чисел. Позиційна система числення називається тому, що та сама цифра отримує різні кількісні значення в залежності від місця, або позиції, яку вона займає в записі числа. Наприклад, у записі числа 555 цифра 5, що стоїть першому місці справа, позначає 5 одиниць, другою 5 десятків, третьому 5 сотень.

Позиційні системи числення Основа позиційної системи числення це кількість різних знаків або символів, що використовуються для зображення цифр у даній системі. За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д.

Позиційні системи числення Приклад: Двійкова система числення Розряди Число, 1 2 = =1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 Восьмерична система числення Розряди Число2 7 6, 5 2 =2 * 8 2 +7 * 8 1 +6 * 8 0 +5 * * 8 -2

Позиційні системи числення Двійкова система, зручна для комп'ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис. У зв'язку з цим розроблено вісімкову та шістнадцяткову системи. Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно у три (вісімкова) та в чотири (шістнадцяткове) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 – відповідно, третій та четвертий ступеня числа 2) . -Двійкова (використовуються цифри 0, 1); -вісімкова (використовуються цифри 0, 1, ..., 7); –шістнадцяткова (для перших цілих чисел від нуля до дев'яти використовуються цифри 0, 1,..., 9, а наступних чисел від десяти до п'ятнадцяти – як цифри використовуються символи A, B, C, D, E, F).

Запис чисел у системах числення 10-я2-я8-я16-я10-я2-я8-я16-я A B C D E F

Як інформація представляється в комп'ютері, або цифрові дані Для того, щоб зрозуміти, як найрізноманітніша інформація представлена ​​в комп'ютері, зазирнемо всередину машинної пам'яті. Її зручно уявити як листа в клітину. У кожній такій «клітині» зберігається лише одне із двох значень: нуль або одиниця. Дві цифри зручні для електронного зберіганняданих, оскільки вони вимагають лише двох станів електронної схеми"ввімкнено" (це відповідає цифрі 1) і "вимкнено" (це відповідає цифрі 0). Кожна "клітина" пам'яті комп'ютера називається бітом. Цифри 0 і 1, що зберігаються в "клітинах" пам'яті комп'ютера, називають значеннями бітів.

За допомогою послідовності бітів можна представити найрізноманітнішу інформацію. Таке представлення інформації називається двійковим чи цифровим кодуванням. Перевагою цифрових даних є те, що їх відносно просто копіювати та змінювати. Їх можна зберігати і передавати з використанням тих самих методів, незалежно від типу даних. Способи цифрового кодування текстів, звуків (голосу, музика), зображень (фотографії, ілюстрації) та послідовностей зображень (кіно та відео), а також тривимірних об'єктівбули вигадані у 80-х роках минулого століття.

Двійкове кодування числової інформації Відомо безліч способів запису чисел. Ми користуємося десятковою позиційною системою числення. Десятичною вона називається тому, що в цій системі числення десять одиниць одного розряду становлять одну одиницю наступного старшого розряду. Число 10 називається основою десяткової системи числення. Для запису чисел у десятковій системі числення використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9.

Двійкове кодування числової інформації Розглянемо два числові ряди: 1, 10, 100, 1000, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, Обидва ці ряди починаються з одиниці. Кожне наступне число першого ряду виходить шляхом множення попереднього числа 10. Кожне наступне число другого ряду виходить шляхом множення попереднього числа на 2.

Двійкове кодування числової інформації Будь-яке ціле число можна у вигляді суми розрядних доданків, десятків, сотень, тисяч тощо, записаних у першому ряду. При цьому кожен член цього ряду може або не входити у суму, або входити до неї від 1 до 9 разів. Приклад: 1409 = Числа 1, 4, 0, 9, куди множаться члени першого ряду, становлять вихідне число.

Переклад цілих десяткових чисел у двійковий код Спробуємо уявити число 1409 як суми членів другого ряду. Цей спосіб отримання двійкового коду десяткового числа заснований на запису залишків від розподілу вихідного числа та одержуваних приватних на 2, що продовжується доти, доки чергове приватне не виявиться рівним 0. Приклад:

Переклад цілих десяткових чисел у двійковий код У першу комірку верхнього рядка записано вихідне число, а в кожну наступну результат цілісного поділу попереднього числа на 2. У комірках нижнього рядка записані залишки від розподілу чисел у верхньому рядку чисел на 2. Остання комірка нижнього рядка . Двійковий код вихідного десяткового числа виходить при послідовному запису всіх залишків, починаючи з останнього: =

Переклад цілих десяткових чисел у двійковий код Перші 20 членів натурального ряду в двійковій системі числення записуються так: 1, 10, 11, 100, 1001, 10, 10, 10, 10, 10, 10 , 10001, 10010, 10011,

Використання калькулятора 2. Переконайтеся, що калькулятор налаштовано на роботу в десятковій системі числення. За допомогою клавіатури або миші введіть у поле введення довільне двоцифрове число. Активуйте перемикач Bin та простежте за змінами у вікні введення. Поверніться до десяткової системи числення. Очистіть поле введення. 3. Повторіть 2 кілька разів для інших десяткових чисел. 4. Налаштуйте калькулятор на роботу в двійковій системі числення. Зверніть увагу на те, які кнопки калькулятора та цифрові клавіші клавіатури вам доступні. По черзі введіть двійкові коди 5-го 10-го та 15-го членів натурального ряду та за допомогою перемикача Dec переведіть їх у десяткову систему числення.

1 слайд

2 слайд

* Двійкове кодування в комп'ютері Вся інформація, яку обробляє комп'ютер, має бути представлена ​​двійковим кодом за допомогою двох цифр: 0 і 1. Ці два символи прийнято називати двійковими цифрами або бітами. За допомогою двох цифр 0 та 1 можна закодувати будь-яке повідомлення. Це стало причиною того, що в комп'ютері обов'язково має бути організовано два важливі процеси: кодування та декодування. Кодування – перетворення вхідний у форму, що сприймається комп'ютером, тобто. двійковий код. Декодування – перетворення даних із двійкового коду у форму, зрозумілу людині. *

3 слайд

* Двійкова система числення Двійкова система числення - позиційна система числення з основою 2. Використовуються цифри 0 та 1. Двійкова система використовується в цифрових пристроїв, оскільки є найпростішим і задовольняє вимогам: Чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи. Чим менше кількість станів у елемента, тим вище завадостійкість і тим швидше він може працювати. Простота створення таблиць додавання та множення - основних дій над числами *

4 слайд

* Відповідність десяткової та двійкової систем числення Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. При одночасної роботі з декількома системами числення для їх розрізнення основа системи зазвичай вказується у вигляді нижнього індексу, що записується в десятковій системі: 12310 – це число 123 у десятковій системі числення; 11110112 - те ж число, але у двійковій системі. Двійкове число 1111011 можна розписати у вигляді: 11110112 = 1 * 26 + 1 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20. p=10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p=2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1 1 1 1

5 слайд

* Переведення чисел з однієї системи числення в іншу Переклад з десяткової системи числення в систему числення з підставою p здійснюється послідовним розподілом десяткового числа та його десяткових приватних на p, а потім виписуванням останнього приватного та залишків у зворотному порядку. Перекладемо десяткове число 2010 в двійкову систему числення (основа системи числення p=2). У результаті отримали 2010 = 101 002. *

6 слайд

* Переведення чисел з однієї системи числення в іншу Переклад із двійкової системи числення в систему числення з підставою 10 здійснюється послідовним множенням елементів двійкового числа на 10 у мірі місця цього елемента при врахуванні що нумерація місць йде праворуч і починається з цифри «0». Перекладемо двійкове число 100102 в десяткову систему систем обчислення. Через війну отримали 100102 = 1810. 100102=1*24+ 0*23 +0*22+1*21+ 0*20 =16+2=1810 *

Ціль: сформувати поняття «двійкова система числення»та основ арифметичних обчислень у двійковій системі(Слайд 2)

Вимоги до знань та вмінь (Слайд 3)

Учні повинні знати:

десяткову та двійкову системи числення;

розгорнуту форму запису числа;

правила переведення з двійкової системи числення в десяткову та навпаки;

правила складання та множення двійкових чисел.

Учні повинні вміти:

переводити двійкові числа до десяткової системи;

переводити десяткові числа у двійкову систему;

складати та множити двійкові числа.

Програмно-дидактичне обладнання: сем., § 16, с. 96; демонстрація «Двійкова система числення»; проектор.(Слайд 4)

Хід уроку

Організаційний момент

Постановка цілей уроку

З якими числами працює комп'ютер? Чому?

Як ними оперувати?

Робота на тему уроку

(За допомогою демонстрації «Двійкова система числення» показати розгорнуту форму числа, переведення з двійкової системи числення в десяткову та навпаки, арифметику двійкових чисел.)

Двійкова система числення є основною системою представленняінформаціїу пам'яті комп'ютера. Ця ідея належить Джону фон Нейману(Слайд 5) , що сформулював у 1946 р. принципи устрою та роботи ЕОМ. Але, всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами електронних обчислювальних машин, а математиками та філософами, задовго до появи комп'ютерів, ще XVII-XIX ст. Великий німецький вчений Лейбніц(Слайд 6) вважав: «Обчислення за допомогою двійок<...>є для науки основним і породжує нові відкриття... При зведенні чисел до найпростіших початків, якими є 0 і 1, скрізь з'являється чудовий порядок». Пізніше двійкова система була забута, і лише в 1936-1938 рр. американський інженер і математик Клод Шеннон(Слайд 7) знайшов чудове застосування двійкової системи при конструюванні електронних схем.

А що таке система числення? Це правила запису чисел та пов'язані з ними способи виконання обчислень.

Система числення, до якої ми всі звикли, називається десятковою. Пояснюється ця назва тим, що в ній використовується десять цифр: 0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9. (Слайд 8) Число цифр визначає основу системи числення. Якщо число цифр - десять, то основа системи числення дорівнює десяти. У двійковій системі існує лише дві цифри: 0 і 1. Підстава одно двом. Виникає питання, чи можна за допомогою двох цифр уявити будь-яку величину. Виявляється, можна!

Розгорнута форма запису числа (Слайд 9)

Згадаймо принцип запису чисел у десятковій системі числення. Значення цифри в записі числа залежить не тільки від самої цифри, але й від розташування цієї цифри в числі (кажуть: від позиції цифри). Наприклад, серед 555 перша справа цифра позначає: три одиниці, наступна - три десятки, наступна - три сотні. Цей факт можна виразити як суму розрядних доданків:

555 10 = 5 х 102 + 5 х 101 + 5 х 10 ° = 500 + 50 + 5.

Таким чином, з просуванням від цифри до цифри праворуч ліворуч «вага» кожної цифри збільшується в 10 разів. Це з тим, що основу системи числення дорівнює десяти.

Переклад двійкових чисел у десяткову систему

А ось приклад багатозначного двійкового числа: 1110112 . Двійка внизу праворуч вказує на основу системи числення. Це потрібно для того, щоб не переплутати двійкове число з десятковим. Адже існує десяткове число 111011! Вага кожної наступної цифри в двійковому числі при просуванні справа ліворуч зростає в 2 рази. Розгорнута форма запису даного двійкового числа виглядає так:

111011 2 = 1 х 25 + 1 х 24 + 1 х 23 + 0х22 + 1 х 21 + 1 х 2° = 6710 .

У такий спосіб ми перевели двійкове число до десяткової системи.

Переведемо до десяткової системи ще кілька двійкових чисел(Слайд 10).

10 2 = 2 1 =2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;

10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 і т.д.

Таким чином, вийшло, що двозначне десяткове число відповідає шестизначне двійкове! І це характерно для двійкової системи: швидке зростання кількості цифр із збільшенням значення числа.

Завдання 1. (Слайд 11) Запишіть початок натурального ряду чисел у десятковому (А10 ) та двійковій (А2 ) системах числення.

Завдання 2. Переведіть у десяткову систему наступні двійкові числа.

101 ; 11101 ; 101010 ; 100011 ; 10110111011 .

Відповідь: 5; 29; 42; 35; 1467.

Переведення десяткових чисел у двійкову систему (Слайд 12)

Як перекласти двійкове число в рівне йому десяткове, вам має бути зрозуміло з наведених вище прикладів. А як здійснити зворотний переклад: із десяткової системи до двійкової? Для цього потрібно зуміти розкласти десяткове число на доданки, що є ступенем двійки. Наприклад:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 х 2 3 + 1 х 2 2 + 1 х 2 1 + 1 х 2° = 1111 2 . Це складно. Є інший спосіб, з яким ми зараз познайомимося.

Нехай потрібно перевести в двійкову систему числення число 234. Ділитимемо 234 послідовно на 2 і запам'ятовувати залишки, не забуваючи і про нульові:

234 = 2 х 117 + 0 14 = 2 х 7 + 0

Виписавши всі залишки, починаючи з останнього, отримаємо двійкове розкладання: 23410 = 11101010 2 .

Завдання 3. (Слайд 13) Які двійкові числа відповідають наступним десятковим числам?

2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.

Відповідь: 10 2 ; 111 2 ; 10001 2 ; 1000100 2 ; 100111011 2 ; 1011111101 2 ; 11111111111 2 .

Арифметика двійкових чисел (Слайд 14)

Правила двійкової арифметикинабагато простіше правилдесяткової арифметики. Ось все можливі варіантискладання та множення однозначних двійкових чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Своєю простотою та узгодженістю з бітовою структурою комп'ютерної пам'яті двійкова система числення та залучила винахідників комп'ютера. Її набагато простіше реалізувати технічними засобаминіж десяткову систему.

Ось приклад додавання стовпчиком двох багатозначних двійкових чисел(Слайд 15) :

+ 1011011101

111010110

10010110011

А тепер уважно подивіться на наступний приклад множення багатозначних двійкових чисел:

х 1101101

101

1101101

1101101

1000100001

Завдання 4. (Слайд 16) Виконайте додавання у двійковій системі числення.11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.

Відповідь: 100; 1000; 10000; 100000.

Завдання 5. Виконайте множення у двійковій системі числення.

111 х 10; 111 х 11; 1101 х 101; 1101 х 1000.

Відповідь: 1110; 10101; 1000001; 1101000.

Підбиття підсумків уроку (Слайд 17)

Система числення - це певні правила запису чисел пов'язані з цими правилами способи виконання обчислень. Підстава системи числення дорівнює кількості використовуваних у ній цифр.

Двійкові числа – це числа у двійковій системі числення. У їхньому записі використовуються дві цифри: 0 і 1.

Розгорнута форма запису двійкового числа - це його уявлення у вигляді суми ступенів двійки, помножених на 0 або 1.

Використання двійкових чисел у комп'ютері пов'язане з бітовою структурою комп'ютерної пам'яті та з простотою двійкової арифметики

Домашнє завдання (Слайд 18)

Задано двійкові числаХ і Y . ОбчислитиX + YіX- Y , якщоХ = 1000111, Y = 11010.

Задано двійкові числаXіУ. ОбчислитиX + Y - 1001101, якщоX = 1010100, Y = 110101.

Виконати множення: 100110 х 11001.

Відповіді: 1.1100001 та 101101; 2. 111100; 3. 1110110110.