Windows

Матрицалық анықтауыштардың негізгі қасиеттері. Квадрат матрицалардың анықтауыштары

1. Транспозиция кезінде анықтауыш өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың бір жолы нөлдерден тұрса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

3. Егер анықтауышта екі қатар қайта орналасса, анықтауыш таңбасын өзгертеді.

4. Екі бірдей жолды қамтитын анықтауыш нөлге тең.

5. Егер анықтауыштың кейбір жолының барлық элементтері қандай да бір k санына көбейтілсе, онда анықтауыштың өзі k-ға көбейтіледі.

6. Екі пропорционал жолдан тұратын анықтауыш нөлге тең.

7. Барлық элементтер болса i-ші жоланықтауыш aij = bj + cj (j= ) екі мүшесінің қосындысы ретінде беріледі, онда анықтауыш i-шіден басқа барлық жолдар берілген анықтауыштағыдай болатын анықтауыштардың қосындысына тең болады. , және i-ші жолтерминдердің бірінде ол b j элементтерінен, екіншісінде c j элементтерінен тұрады.

8. Егер оның бір қатарының элементтеріне сол санға көбейтілген басқа жолдың сәйкес элементтері қосылса, анықтауыш өзгермейді.

Түсініктеме.Жолдардың орнына бағандар алынса, барлық сипаттар жарамды болып қалады.

Кәмелетке толмаған n-ші ретті d анықтауышының a i j элементінің M i j мәні n-1 ретті анықтауыш болып табылады, ол осы элементті қамтитын жол мен бағанды жою арқылы d-дан алынады.

Алгебралық қосу d анықтауыштың a i j элементі (-1) i + j белгісімен алынған оның кіші M i j . a i j элементінің алгебралық толықтауышы A i j арқылы белгіленеді. Сонымен, A i j = (-1) i + j M i j .

n ретті анықтауыш төменгі ретті анықтауыштар арқылы өрнектелетініне негізделген анықтауыштарды практикалық есептеу әдістері келесі теорема арқылы берілген.

Теорема (анықтауыштың қатардағы немесе бағандағы ыдырауы).

Анықтаушы оның ерікті жолының (немесе бағанының) барлық элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Басқаша айтқанда, i-ші қатардың элементтері бойынша d-ның ыдырауы бар d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

немесе j-ші баған d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

Атап айтқанда, егер жолдың (немесе бағанның) біреуінен басқа барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш осы элементтің алгебралық толықтауышқа көбейтіндісіне тең болады.

1.4-мысал.Анықтаушыны есептемеу , нөлге тең екенін көрсетіңіз. Шешім.Екінші қатардан бірінші жолды алып тастаймыз, анықтауышты аламыз түпнұсқаға тең. Үшінші қатардан бірінші жолды да алып тастасақ, анықтауыш шығады , онда екі жол пропорционал. Бұл анықтауыш нөлге тең.

1.5-мысал. D = анықтауышын есептеңіз , оны екінші бағанның элементтері бойынша кеңейту.

Шешім.Анықтауышты екінші бағанның элементтері бойынша кеңейтейік:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

1.6-мысал.Анықтаушыны есептеу

A=
, онда негізгі диагональдың бір жағындағы барлық элементтер нөлге тең. Шешім.Бірінші қатардағы А анықтауышты кеңейтейік: A = a 11 A 11 = . Оң жақтағы анықтауышты бірінші жол бойымен қайтадан кеңейтуге болады, содан кейін біз аламыз:

A=
.Тағыда басқа. n қадамнан кейін A = a 11 a 22... a nn теңдігіне келеміз.

3.Жүйелер туралы негізгі түсініктер сызықтық теңдеулер. Крамер теоремасы.

Анықтама. Сызықтық теңдеулер жүйесіодағы болып табылады nәрқайсысынан тұратын сызықтық теңдеулер кайнымалылар. Ол былай жазылған:

Көптеген адамдар жоғары алгебрамен алғаш рет бетпе-бет келгенде, теңдеулер саны міндетті түрде айнымалылар санымен сәйкес келуі керек деп қателеседі. Мектеп алгебрасында бұл әдетте болады, бірақ жоғары алгебра үшін бұл, жалпы айтқанда, дұрыс емес.

Анықтама. Теңдеулер жүйесін шешусандар тізбегі ( к 1 ,к 2 , ..., k n), ол жүйенің әрбір теңдеуінің шешімі болып табылады, яғни. айнымалылардың орнына осы теңдеуге ауыстырғанда x 1 , x 2 , ..., x nдұрыс сандық мән береді.

Сәйкесінше, теңдеулер жүйесін шешуоның барлық шешімдерінің жиынын табуды немесе бұл жиынның бос екенін дәлелдеуді білдіреді. Теңдеулер саны мен белгісіздердің саны бірдей болмауы мүмкін болғандықтан, үш жағдай болуы мүмкін:

1. Жүйе сәйкес емес, яғни. барлық шешімдер жиынтығы бос. Жүйені шешудің қай әдісіне қарамастан оңай анықталатын өте сирек жағдай.

2. Жүйе дәйекті және анықталған, яғни. дәл бір шешімі бар. Мектептен бері белгілі классикалық нұсқасы.

3. Жүйе үйлесімді және анықталмаған, яғни. шексіз көп шешімдері бар. Бұл ең қиын нұсқа. «Жүйеде шешімдердің шексіз жиынтығы бар» деп айту жеткіліксіз - бұл жиынның қалай орналасқанын сипаттау қажет.

Анықтама. Айнымалы x iшақырды рұқсат, егер ол жүйенің тек бір теңдеуіне қосылса және коэффициенті 1. Басқаша айтқанда, қалған теңдеулерде айнымалының коэффициенті x iнөлге тең болуы керек.

Әрбір теңдеуде бір рұқсат етілген айнымалыны таңдасақ, барлық теңдеулер жүйесі үшін рұқсат етілген айнымалылар жиынын аламыз. Бұл пішінде жазылған жүйенің өзі де рұқсат етілген деп аталады. Жалпы айтқанда, бір және бір бастапқы жүйені әртүрлі рұқсат етілген жүйелерге келтіруге болады, бірақ бұл бізге қазір қатысты емес. Мұнда рұқсат етілген жүйелердің мысалдары берілген:

Айнымалыларға қатысты екі жүйеге де рұқсат етілген x 1 , x 3 және x 4 . Дегенмен, дәл осындай жетістікпен екінші жүйеге салыстырмалы түрде рұқсат етілген деп айтуға болады x 1 , x 3 және x 5 . Соңғы теңдеуді келесідей қайта жазу жеткілікті x 5 = x 4 .

Енді жалпы жағдайды қарастырыңыз. Бізде бәрі болсын кайнымалылар, оның ішінде rрұқсат етілген. Сонда екі жағдай болуы мүмкін:

1. Рұқсат етілген айнымалылар саны rайнымалылардың жалпы санына тең к: r = к. Жүйені бізден аламыз ктеңдеулер, онда r = крұқсат етілген айнымалылар. Мұндай жүйе бірлескен және белгілі, өйткені x 1 = б 1 , x 2 = б 2 , ..., x k = б к;

2. Рұқсат етілген айнымалылар саны rайнымалылардың жалпы санынан аз к: r < к. Қалғаны ( к − r) айнымалылар бос деп аталады - олар рұқсат етілген айнымалылар оңай есептелетін кез келген мәндерді қабылдай алады.

Осылайша, жоғарыда аталған жүйелерде айнымалылар x 2 , x 5 , x 6 (бірінші жүйе үшін) және x 2 , x 5 (екінші үшін) тегін. Бос айнымалылар болған жағдай теорема ретінде жақсы тұжырымдалған...

Қалай шешуге болады?: – Ауыстыру әдісі («мектеп әдісі») арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
– Жүйе теңдеулерін мүше бойынша қосу (азайту) арқылы жүйені шешу.
– Крамер формулалары бойынша жүйені шешу.
– Кері матрицаны пайдаланып жүйені шешу.
– Гаусс әдісімен жүйені шешу.

КРАМЕР

Алдымен екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесі үшін Крамер ережесін қарастырайық. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі бар, оларды дәл Крамер ережесі бойынша шешкен жөн!

Теңдеулер жүйесін қарастырайық

Бірінші қадамда анықтауышты есептейміз , ол аталады жүйенің негізгі анықтаушысы.

Егер болса, жүйеде шексіз көп шешімдер бар немесе сәйкес емес (шешімдері жоқ). Бұл жағдайда Крамер ережесі көмектеспейді, пайдалану керек Гаусс әдісі.

Егер болса, онда жүйенің бірегей шешімі бар және түбірлерді табу үшін тағы екі анықтауышты есептеу керек: және

Тәжірибеде жоғарыда аталған жіктеуіштерді латын әрпімен де белгілеуге болады.

Теңдеудің түбірлері мына формулалар арқылы табылады:,

7-мысал

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Теңдеудің коэффициенттері айтарлықтай үлкен екенін көреміз, оң жағында үтір қойылған ондық бөлшектер бар. Үтір өте сирек кездесетін қонақ практикалық тапсырмаларматематикада мен бұл жүйені эконометриялық есептен алдым.

Мұндай жүйені қалай шешуге болады? Сіз бір айнымалы мәнді екіншісімен өрнектеуге тырыса аласыз, бірақ бұл жағдайда сіз жұмыс істеуге өте ыңғайсыз қорқынышты сәнді фракцияларды аласыз және шешімнің дизайны өте қорқынышты болады. Екінші теңдеуді 6-ға көбейтіп, мүшесін азайта аласыз, бірақ бұл жерде бірдей бөлшектер пайда болады.

Не істеу? Мұндай жағдайларда Крамердің формулалары көмекке келеді.

Сондықтан жүйенің бірегей шешімі бар.

;

Көріп отырғаныңыздай, түбірлер қисынсыз болып шықты және шамамен табылды, бұл эконометрика мәселелері үшін өте қолайлы (тіпті қарапайым).

Мұнда түсініктемелер қажет емес, өйткені тапсырма дайын формулалар бойынша шешіледі, бірақ бір ескерту бар. Қолдану кезінде бұл әдіс, міндеттіТапсырманың фрагменті келесі фрагмент болып табылады: « , сондықтан жүйенің бірегей шешімі бар . В әйтпесешолушы сізді Крамер теоремасын құрметтемегеніңіз үшін жазалауы мүмкін.

Калькуляторда жүргізуге ыңғайлы тексеру артық болмайды: біз жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағындағы шамамен мәндерді ауыстырамыз. Нәтижесінде кішкене қателікпен оң жағындағы сандар алынуы керек.

Крамер формулалары

Крамер әдісі - біз дәйекті түрде табамыз негізгі жүйе идентификаторы(5.3), яғни. матрицасы А анықтауыш

және n көмекші анықтауыштар D i (i= ), олар D анықтауышынан i-ші бағанды бос мүшелер бағанымен алмастыру арқылы алынады.

Крамер формулалары келесі формада болады:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

(5.4)-ден (5.3) жүйенің үйлесімділігі туралы сұраққа толық жауап беретін Крамер ережесі шығады: егер жүйенің негізгі анықтаушысы нөлге тең емес болса, онда жүйенің формулалармен анықталатын бірегей шешімі болады:

Жүйенің негізгі анықтаушысы D және барлық көмекші анықтауыштары D i = 0 (i= ) болса, жүйеде шешімдердің шексіз саны болады. Жүйенің негізгі анықтауышы D = 0 болса және кем дегенде бір көмекші анықтауыш нөлден өзгеше болса, онда жүйе сәйкес емес.

1.14-мысал. Крамер әдісімен теңдеулер жүйесін шешіңіз:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x3 + 11x4 = 0.

Шешім.Бұл жүйенің негізгі анықтаушысы D = = -142 ¹ 0, сондықтан жүйеде бірегей шешім бар. D анықтауышынан алынған D i (i= ) көмекші анықтауыштарын ондағы x i кезіндегі коэффициенттерден тұратын бағанды бос мүшелер бағанымен алмастыру арқылы есептейік: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D4= = 142. Демек, x 1 = D 1 / D = 1, x 2 = D 2 / D = 2, x 3 = D 3 / D = 3, x 4 = D 4 / D = -1, жүйенің шешімі векторы C =(1, 2, 3, -1) T .

Сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі түсініктері. Гаусс әдісі.

ЖОҒАРЫДАН ҚАРАҢЫЗ.

Гаусс-Джордан әдісі(белгісіздерді толық жою әдісі) – сызықты квадрат жүйелерін шешу үшін қолданылатын әдіс алгебралық теңдеулер, кері матрицаны табу, берілген негізде вектордың координаталарын табу немесе матрицаның рангін табу. Әдіс Гаусс әдісінің модификациясы болып табылады.

Алгоритм

1. Матрицаның нөлден басқа кемінде бір мәні бар бірінші сол жақ бағанын таңдаңыз.

2. Осы бағандағы ең жоғарғы сан нөлге тең болса, матрицаның бірінші жолын осы бағанда нөл жоқ матрицаның басқа жолымен өзгертіңіз.

3. Бірінші жолдың барлық элементтері таңдалған бағанның жоғарғы элементіне бөлінеді.

4. Әрбір жолдың бірінші элементін (біріншіден басқасы) нөлді алу үшін, қалған жолдардан сәйкес жолдың бірінші элементіне көбейтілген бірінші жолды алып тастаңыз.

6. Осы процедураны бір рет қайталаған соң жоғарғы үшбұрышты матрица алынады

7. Соңғыдан кейінгі жолда негізгі диагональда тек 1 ғана қалуы үшін сәйкес коэффициентке көбейтілген соңғы жолды алып тастаңыз.

8. Келесі жолдар үшін алдыңғы қадамды қайталаңыз. Нәтижесінде сәйкестік матрица және еркін вектордың орнына шешім алынады (онымен бірдей түрлендірулердің барлығын жүргізу қажет).

9. Кері матрицаны алу үшін сәйкестік матрицасына барлық амалдарды бірдей ретпен қолдану керек.

Гаусс әдісі

Тарихи тұрғыдан алғанда, сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің бірінші, кең тараған әдісі – Гаусс әдісі немесе белгісіздерді дәйекті жою әдісі. Бұл әдістің мәні белгісізді дәйекті жою арқылы жүзеге асырылады бұл жүйеберілгенге тең сатылы (атап айтқанда, үшбұрышты) жүйеге айналады. Сағат практикалық шешімГаусс әдісін қолданатын сызықтық теңдеулер жүйесінде теңдеулер жүйесінің өзін емес, оның жолдарында элементар түрлендірулерді орындайтын осы жүйенің кеңейтілген матрицасын сатылы түрге келтіру ыңғайлы. Түрлендіру кезінде дәйекті түрде алынған матрицалар әдетте эквиваленттік таңбамен қосылады.

1-мысал.13. Гаусс әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешіңіз: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Шешім.Бұл жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамыз

және оның жолдарында келесі элементар түрлендірулерді орындаңыз: а) оның екінші және үшінші жолдарынан тиісінше 3 және 2-ге көбейтілген біріншісін алып тастаңыз: ~ ;

б) үшінші жолды (-5) көбейтіп, оған екіншісін қосыңыз: .

Осы түрлендірулердің барлығының нәтижесінде бұл жүйе үшбұрышты түрге келтіріледі: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Соңғы теңдеуден z = -1,3 табамыз. Бұл мәнді екінші теңдеуге ауыстырсақ, у = -1,2 болады. Бірінші теңдеуден әрі қарай х = - 0,7 аламыз

ДӘПТЕРДЕН:

Гаусс әдісі

Әдіс екі бөліктен тұрады - тура және кері.

Тікелей жылжыту элементар жолды түрлендірулер көмегімен SLE матрицасын сатылы пішінге кеңейту әрекетінен тұрады. Қадамдық матрицада әрбір келесі жолдың басында алдыңғыға қарағанда нөлдер көп немесе ол нөлге тең

Мысалы:

Матрицалық жолдардың элементар түрлендіруі:

1) матрицаның бір жолының кейбір санға көбейтілген сандарын матрицаның төменгі жолдарының біріне қосу.

2) Орындарынан екі жолды өзгертіңіз

Гаусс әдісінің кері қозғалысы төменгі нөлдік сызықтан бастап кейбір айнымалыларды басқаларымен тізбектей өрнектеуден тұрады. Нәтиже - жалпы шешім.

Алға штрихтан кейін кеңейтілген матрицаның сатылы түрінің 3 нұсқасы бар:

1) Әрбір келесі жолдың басында алдыңғысынан дәл бір нөлден артық болады

Мысалы:

Теңдеуді жол-жол жазамыз және төменгі жолдан айнымалылардың мәнін таба бастаймыз.

4X 4 \u003d 8Þ X 4 \u003d 2

Алдыңғы теңдеудегі орнына қойыңыз

2X 3 -3X 4 \u003d -8, яғни. 2X 3 -3 * 2 \u003d -8 немесе 2X 3 \u003d -2, Þ X 3 \u003d -1, екінші жолдағы X3 және X4 ауыстырыңыз және т.б. Біз SLU-ның жалғыз шешімін аламыз

2) Нөлдік емес жолдар саны айнымалылар санынан аз. Сонда жолдардың бірінде алдыңғысынан кемінде 2 артық нөл бар және біз келесі нөлдік емес жолдың b=0 саны болатын (0 ... 0 b) пішіні жоқ деп есептейміз.

Мысалы:

3) Соңғы нөлдік емес жолдың (0…0/b) пішіні бар, мұндағы b=0 ол o=b қарама-қайшы теңдіктерге сәйкес келеді, сондықтан жүйе үйлеспейді.

Гаусс әдісі бойынша ЖҚЖ шешімі

2X 1 + 3X 2 + X 3 \u003d 1

4X 1 + 5X 2 + 4X 3 = 7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Тікелей қозғалыстың кеңейтілген матрицасын құрастырамыз.

Мұнда жоғары математиканың стандартты курсында детерминанттарды есептеу үшін әдетте қолданылатын қасиеттер айтылады. Бұл қосымша тақырып, біз қажет болған жағдайда қалған бөлімдерге сілтеме жасаймыз.

Сонымен, $A_(n\times n)=\left(\begin(массив) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & шаршы матрицасы берілген. a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( массив )\оңға)$. Әрбір шаршы матрицаның анықтауыш (немесе анықтауыш) деп аталатын сипаттамасы болады. Мен бұл жерде бұл ұғымның мәніне тоқталмаймын. Егер ол түсіндіруді қажет етсе, форумда бұл туралы жазыңыз, мен түртемін бұл мәселетолығырақ.

$A$ матрицасының анықтауышы $\Delta A$, $|A|$ немесе $\det A$ деп белгіленеді. Детерминант тәртібіондағы жолдар (бағандар) санына тең.

Егер оның жолдары сәйкес бағандармен ауыстырылса, анықтауыштың мәні өзгермейді, яғни. $\Delta A=\Delta A^T$.
көрсету/жасыру

Ондағы жолдарды «бірінші жол болды – бірінші баған болды», «екінші жол болды – екінші баған болды» деген қағида бойынша бағандарға ауыстырайық:

Алынған анықтауышты есептейік: $\left| \begin(массив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Көріп отырғаныңыздай, анықтауыштың мәні ауыстырудан өзгерген жоқ.
Егер анықтауыштың екі жолын (бағандарын) ауыстырсаңыз, онда анықтауыштың таңбасы керісінше өзгереді.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

$\left| мәнін қарастырыңыз \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|$. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу тақырыбынан No1 формула арқылы оның мәнін табайық:
$$\сол| \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Енді бірінші және екінші жолдарды ауыстырайық. $\left| анықтауышын алыңыз \begin(массив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|$. Алынған анықтауышты есептейік: $\left| \begin(массив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Сонымен, бастапқы анықтауыштың мәні (-37), ал жол реті өзгертілген анықтауыштың мәні $-(-37)=37$ болды. Анықтауыштың таңбасы керісінше өзгерді.
Жолдың (бағанның) барлық элементтері нөлге тең болатын анықтауыш нөлге тең.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

Себебі $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(массив) \right|$ үшінші бағанның барлық элементтері нөлге тең, содан кейін анықтауыш нөлге тең, яғни. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(массив) \right|=0$.
Белгілі бір жолдың (бағанның) барлық элементтері басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне тең болатын анықтауыш нөлге тең.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

Себебі $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(массив) \right|$ бірінші жолдың барлық элементтері сәйкес мәнге тең екінші жолдың элементтері, онда анықтауыш нөлге тең, яғни. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(массив) \right|=0$.
Егер анықтауышта бір жолдың (бағанның) барлық элементтері басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне пропорционал болса, онда мұндай анықтауыш нөлге тең болады.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

Себебі $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(массив) \right|$ екінші және үшінші жолдар пропорционалды, яғни. $r_3=-3\cdot(r_2)$, онда анықтауыш нөлге тең, яғни. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(массив) \right|=0$.
Егер жолдың (бағанның) барлық элементтерінің ортақ көбейткіші болса, онда бұл көбейткішті анықтауыштың таңбасынан шығаруға болады.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

$\left| мәнін қарастырыңыз \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|$. Екінші жолдың барлық элементтері 3-ке бөлінетінін ескеріңіз:
$$\сол| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \right|$$
3 саны екінші қатардағы барлық элементтердің ортақ көбейткіші болып табылады. Анықтауыш таңбадан үштік алайық:
$$ \left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \right|= 3\cdot \left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(массив) \right| $$
Белгілі бір жолдың (бағанның) барлық элементтері басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне ерікті санға көбейтілген қосылса, анықтауыш өзгермейді.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

$\left| мәнін қарастырыңыз \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Екінші жолдың элементтеріне үшінші жолдың 5-ке көбейтілген сәйкес элементтерін қосайық. Бұл әрекетті келесідей жазыңыз: $r_2+5\cdot(r_3)$. Екінші жол өзгереді, қалған жолдар өзгеріссіз қалады.
$$ \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right| \begin(массив) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(массив)= \left| \begin(массив) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (массив) \right|= \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|. $$
Егер анықтауыштағы белгілі бір жол (баған) басқа жолдардың (бағандардың) сызықтық комбинациясы болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

«Сызықтық комбинация» тіркесінің нені білдіретінін бірден түсіндіремін. Бізде s жолдар (немесе бағандар) болсын: $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Өрнек
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
мұндағы $k_i\ R$ ішіндегі $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ жолдардың (бағандардың) сызықтық комбинациясы деп аталады.

Мысалы, келесі анықтауышты қарастырыңыз:
$$ \left| \begin(массив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(массив)\оңға| $$
Бұл анықтауышта төртінші жолды сызықтық комбинация ретінде көрсетуге болады алғашқы үшсызықтар:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Демек, қарастырылып отырған анықтауыш нөлге тең.
Егер анықтауыштың белгілі бір k-ші жолының (k-бағанының) әрбір элементі екі мүшесінің қосындысына тең болса, онда мұндай анықтауыш біріншісі бар анықтауыштардың қосындысына тең болады. k-ші жол (k-ші баған) бірінші мүшелері бар, ал k-ші жолдағы (k-баған) екінші анықтауыштың екінші мүшелері бар. Бұл анықтауыштардың басқа элементтері бірдей.
Бұл сипатты пайдалану мысалы: show\hide

$\left| мәнін қарастырыңыз \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Екінші бағанның элементтерін былай жазайық: $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \right|$. Сонда мұндай анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең болады:
$$ \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|= \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \right|= \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(массив) \right|+ \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(массив) \right| $$
Бір ретті екі шаршы матрицаның көбейтіндісінің анықтауышы осы матрицалардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең, яғни. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Бұл ережеден келесі формуланы алуға болады: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Егер $A$ матрицасы жеке емес болса (яғни оның анықтауышы нөлге тең болмаса), $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Детерминанттарды есептеу формулалары

Екінші және үшінші ретті анықтауыштар үшін келесі формулалар дұрыс:

\begin(теңдеу) \Delta A=\left| \begin(массив) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(массив) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(теңдеу) \begin(теңдеу) \begin(тураланған) & \Delta A=\left| \бастау(массив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(массив) \оң|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \соңы(тураланған) \соңы(теңдеу)

(1) және (2) формулаларды қолдану мысалдары "Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу формулалары. Анықтауыштарды есептеу мысалдары" тақырыбында берілген.

$A_(n\times n)$ матрицасының анықтаушысы келесі формула арқылы i-ші қатарда кеңейтілуі мүмкін:

\begin(теңдеу)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(теңдеу)

Бұл формуланың аналогы бағандар үшін де бар. j-ші бағандағы анықтауышты кеңейту формуласы келесідей:

\begin(теңдеу)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(теңдеу)

(3) және (4) формулаларымен өрнектелген ережелер мысалдар арқылы егжей-тегжейлі суреттеледі және анықтауыштың ретін азайту тақырыбында түсіндіріледі. Анықтауыштың қатарға (бағанға) ыдырауы.

Жоғарғы үшбұрышты және төменгі үшбұрышты матрицалардың анықтауыштарын есептеудің тағы бір формуласын көрсетеміз (бұл терминдерге түсініктеме алу үшін «Матрицалар. Матрицалардың түрлері. Негізгі терминдер» тақырыбын қараңыз). Мұндай матрицаның анықтаушысы негізгі диагональдағы элементтердің көбейтіндісіне тең. Мысалдар:

\begin(тураланған) &\left| \begin(массив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(массив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(массив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(массив) \ оң|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \соңы(тураланған)

Матрицалық анықтауыш (матрицалық анықтауыш) сандар немесе математикалық белгілердің шаршы кестесі ( Δd).

Анықтама. матрицалық анықтауыш n×nбұл сан:

қайда ( α 1 , α 2 ,...,α n) - бастап сандарды ауыстыру 1 бұрын n, N (α 1 ,α 2 ,...,α n)- алмастырудағы инверсиялар саны, жинақтау реттің барлық мүмкін ауыстыруларында орын алады n.

Матрицалық анықтауыш Анегізінен деп аталады de t(A), |A|, немесе ?(A).

Параметрлер, олардың көмегімен алгебралық матрицалардың барлық түрлерінің шешімі табылады.

Кімге матрицалық анықтауышты табыңызматрицаны шешу кезінде матрицалардың негізгі қасиеттерін және әрекеттер ретін білу қажет.

Реттік матрицалар үшін n=2анықтауыш формула арқылы табылады: Δ= a11*22-а 12 *а 21
Реттік матрицалар үшін n=3анықтауыш алгебралық қосулар арқылы немесе Саррус әдісі арқылы табылады.
Өлшемі >3 матрица алгебралық қосындыларға ыдырайды, олар үшін анықтауыштары (кіші) табылды. Мысалы, 4-ші ретті матрицаның анықтаушысы жолдар немесе бағандардағы кеңейту арқылы есептеледі.

Үшін матрицалық анықтауышты табуматрицадағы функцияларды қамтитын , пайдаланылады стандартты әдістер. Мысалы, үшінші ретті матрицаның анықтауышын табу үшін:

Бірінші жолдағы кеңейтуді қолданайық:

Δ = sin(x) × + 1× = 2sin(x) cos(x) - 2cos(x) = sin(2x) - 2cos(x)

Матрицаның анықтауышын есептеңіз.

Матрицалық анықтауышты есептеңізТөменде келтірілген бірнеше әдістер бар.

Матрицаның анықтаушысын есептеудің ең танымал әдісі - алгебралық қосындыларды таңдау әдісі. Бұл әдістің қарапайым нұсқасы бар – Саррус ережесі арқылы анықтауыштың есебі. Бұл әдістер қарапайым шағын матрицаның анықтаушысын есептеу кезінде әртүрлі, ал егер үлкен өлшемді матрицаны есептеу қажет болса, онда мұндай матрицалық анықтауыштарды есептеу әдістері:

анықтауышты реттік азайту әдісімен есептеу,
анықтауышты Гаусс әдісімен есептеу (матрицаны үшбұрышты түрге келтіру арқылы),
ыдырау әдісімен анықтауышты есептеу.

Excel бағдарламасында анықтауышты есептеу үшін = MOPRED (ұяшықтар ауқымы) функциясы қолданылады.

Мәселенің тұжырымы

Тапсырма пайдаланушының анықтауыш және кері матрица сияқты сандық әдістердің негізгі ұғымдарымен таныс екенін болжайды. әртүрлі жолдаролардың есептеулері. Бұл теориялық баяндамада қарапайым және қолжетімді тілде алдымен негізгі ұғымдар мен анықтамалар енгізіліп, соның негізінде әрі қарай зерттеу жұмыстары жүргізіледі. Қолданушының сандық әдістер мен сызықтық алгебра саласында арнайы білімі болмауы мүмкін, бірақ бұл жұмыстың нәтижелерін оңай пайдалана алады. Түсінікті болу үшін С++ программалау тілінде жазылған матрицалық анықтауышты бірнеше әдістермен есептеу бағдарламасы берілген. Бағдарлама есептің иллюстрацияларын жасау үшін зертханалық стенд ретінде пайдаланылады. Сонымен қатар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін зерттеу жүргізілуде. Кері матрицаны есептеудің пайдасыздығы дәлелденді, сондықтан қағаз теңдеулерді есептемей шешудің оңтайлы әдістерін ұсынады. Неліктен анықтауыштар мен кері матрицаларды есептеудің әртүрлі әдістерінің көп екендігі түсіндіріліп, олардың кемшіліктері талданады. Анықтаушыны есептеудегі қателер де қарастырылып, қол жеткізілген дәлдік бағаланады. Жұмыста кітапханалардан сандық процедураларды қандай атаулармен іздеу керектігін және олардың параметрлері нені білдіретінін түсіну үшін орыс тіліндегі терминдерден басқа олардың ағылшын тіліндегі баламалары да қолданылады.

Негізгі анықтамалар және қарапайым қасиеттер

Анықтаушы

Кез келген ретті квадрат матрицаның анықтауышының анықтамасын енгізейік. Бұл анықтама болады қайталанатын, яғни реттік матрицаның анықтаушысы не екенін анықтау үшін реттік матрицаның анықтауышы не екенін білу керек. Сондай-ақ анықтауыш тек шаршы матрицалар үшін бар екенін ескеріңіз.

Квадрат матрицаның анықтаушысы немесе det арқылы белгіленеді.

Анықтама 1. анықтауышшаршы матрица екінші реттік нөмір шақырылады .

анықтауыш ретті квадрат матрицасы сан деп аталады

мұндағы бірінші жолды және нөмірі бар бағанды өшіру арқылы матрицадан алынған реттік матрицаның анықтаушысы.

Түсінікті болу үшін төртінші ретті матрицаның анықтауышын қалай есептеуге болатынын жазамыз:

Түсініктеме.Анықтама негізінде үшінші реттен жоғары матрицалар үшін анықтауыштардың нақты есебі ерекше жағдайларда қолданылады. Әдетте, есептеу кейінірек талқыланатын және аз есептеу жұмысын қажет ететін басқа алгоритмдер бойынша жүзеге асырылады.

Түсініктеме. 1-анықтамада анықтаушы квадрат ретті матрицалар жиынында анықталған және сандар жиынында мәндерді қабылдайтын функция деп айту дұрысырақ болар еді.

Түсініктеме.Әдебиеттерде «анықтауыш» терминінің орнына «анықтауыш» термині де қолданылады, оның мағынасы бірдей. «Анықтауыш» сөзінен дет белгісі пайда болды.

Бекіту түрінде тұжырымдайтын анықтауыштардың кейбір қасиеттерін қарастырайық.

Мәлімдеме 1.Матрицаны ауыстырған кезде анықтауыш өзгермейді, яғни .

Мәлімдеме 2.Квадрат матрицалардың көбейтіндісінің анықтаушысы факторлардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең, яғни .

Мәлімдеме 3.Егер матрицаның екі жолы ауыстырылса, оның анықтауышы таңбасын өзгертеді.

Мәлімдеме 4.Егер матрицаның екі бірдей жолы болса, онда оның анықтаушысы нөлге тең болады.

Болашақта жолдарды қосып, жолды санға көбейту керек болады. Бұл амалдарды жолдардағы (бағандардағы) жол матрицаларымен (бағандық матрицалармен), яғни элемент бойынша элементтермен бірдей орындаймыз. Нәтиже, әдетте, бастапқы матрицаның жолдарына сәйкес келмейтін жол (баған) болады. Жолдарды (бағандарды) қосу және оларды санға көбейту операциялары болған жағдайда жолдардың (бағандардың) сызықтық комбинациялары, яғни сандық коэффициенттері бар қосындылар туралы да айтуға болады.

Мәлімдеме 5.Егер матрицаның жолы санға көбейтілсе, оның анықтаушысы сол санға көбейтіледі.

Мәлімдеме 6.Егер матрицада нөлдік жол болса, оның анықтауышы нөлге тең болады.

Мәлімдеме 7.Егер матрицаның бір жолы екіншісіне көбейтілген санға тең болса (жолдар пропорционал), онда матрицаның анықтаушысы нөлге тең болады.

Мәлімдеме 8.Матрицадағы i-ші жол келесідей болсын. Содан кейін, мұнда матрицадан i-ші жолды жолға ауыстыру арқылы матрица алынады, ал i-ші жолды жолға ауыстыру арқылы матрица алынады.

Мәлімдеме 9.Егер матрицаның бір жолы екіншісіне қосылса, санға көбейтілсе, матрицаның анықтаушысы өзгермейді.

Мәлімдеме 10.Егер матрицаның бір жолы оның басқа жолдарының сызықтық комбинациясы болса, онда матрицаның анықтаушысы нөлге тең болады.

Анықтама 2. Алгебралық қосуматрица элементіне тең сан деп аталады, мұндағы матрицадан i-ші жолды және j-ші бағанды жою арқылы алынған матрицаның анықтаушысы. Матрица элементінің алгебралық толықтауышы арқылы белгіленеді.

Мысал.Болсын . Содан кейін

Түсініктеме.Алгебралық қосуларды пайдаланып 1 анықтауыштың анықтамасын былай жазуға болады:

Мәлімдеме 11. Анықтауыштың ерікті жолда ыдырауы.

Матрицалық анықтауыш формуланы қанағаттандырады

Мысал.Есептеу .

Шешім.Үшінші жолдағы кеңейтуді қолданайық, бұл тиімдірек, өйткені үшінші жолда үш санның екі саны нөлге тең. Алу

Мәлімдеме 12.Кезекті квадрат матрицасы үшін бізде қатынас бар .

Мәлімдеме 13.Жолдар үшін тұжырымдалған анықтауыштың барлық қасиеттері (1 - 11 мәлімдемелер) бағандар үшін де жарамды, атап айтқанда j-ші бағандағы анықтауыштың кеңеюі жарамды және теңдік кезінде.

Мәлімдеме 14.Үшбұрышты матрицаның анықтаушысы оның негізгі диагоналінің элементтерінің көбейтіндісіне тең.

Салдары.Сәйкестік матрицасының анықтауышы біреуге тең, .

Қорытынды.Жоғарыда аталған қасиеттер салыстырмалы түрде аз мөлшердегі есептеулермен жеткілікті жоғары ретті матрицалардың анықтауыштарын табуға мүмкіндік береді. Есептеу алгоритмі келесідей.

Бағандағы нөлдерді құру алгоритмі.Тапсырыс анықтаушысын есептеу қажет болсын . Егер болса, бірінші жолды және бірінші элемент нөлге тең емес кез келген басқа жолды ауыстырыңыз. Нәтижесінде , анықтауышы қарама-қарсы таңбасы бар жаңа матрицаның анықтауышына тең болады. Егер әрбір жолдың бірінші элементі нөлге тең болса, онда матрицаның нөлдік бағаны болады және 1, 13 мәлімдемелері бойынша оның анықтаушысы нөлге тең.

Сонымен, біз оны бастапқы матрицада қарастырамыз. Бірінші жолды өзгеріссіз қалдырыңыз. санына көбейтілген бірінші жолды екінші жолға қосайық. Сонда екінші жолдың бірінші элементі тең болады .

Жаңа екінші жолдың қалған элементтері , арқылы белгіленеді. 9 мәлімдемеге сәйкес жаңа матрицаның анықтауышы мынаған тең. Бірінші жолды санға көбейтіп, үшіншіге қосыңыз. Жаңа үшінші жолдың бірінші элементі тең болады

Жаңа үшінші жолдың қалған элементтері , арқылы белгіленеді. 9 мәлімдемеге сәйкес жаңа матрицаның анықтауышы мынаған тең.

Жолдардың бірінші элементтерінің орнына нөлдерді алу процесін жалғастырамыз. Соңында біз бірінші жолды санға көбейтеміз және оны соңғы жолға қосамыз. Нәтиже - арқылы белгіленген, пішіні бар матрица

және . Матрицаның анықтаушысын есептеу үшін бірінші бағандағы кеңейтуді қолданамыз

Сол уақыттан бері

Реттік матрицаның детерминанты оң жағында. Біз оған бірдей алгоритмді қолданамыз, ал матрицаның анықтаушысының есебі реттік матрицаның анықтауышының есебіне дейін қысқарады. Процесс анықтама бойынша есептелетін екінші ретті анықтауышқа жеткенше қайталанады.

Егер матрицаның қандай да бір нақты қасиеттері болмаса, онда ұсынылған алгоритммен салыстырғанда есептеулер көлемін айтарлықтай азайту мүмкін емес. Бұл алгоритмнің тағы бір жақсы жағы - үлкен ретті матрицалардың детерминанттарын есептеу үшін компьютерге бағдарлама жазу оңай. В стандартты бағдарламалардетерминанттарды есептеу үшін бұл алгоритм компьютерлік есептеулерде дөңгелектеу қателерінің және енгізу деректерінің қателерінің әсерін азайтуға байланысты іргелі емес өзгерістермен қолданылады.

Мысал.Матрицалық анықтауышты есептеу .

Шешім.Бірінші жол өзгеріссіз қалдырылады. Екінші жолға біз біріншіні қосамыз, санға көбейтеміз:

Анықтаушы өзгермейді. Үшінші жолға бірінші санды қосамыз:

Анықтаушы өзгермейді. Төртінші жолға бірінші санды қосамыз:

Анықтаушы өзгермейді. Нәтижесінде біз аламыз

Сол алгоритмді пайдаланып, оң жақта орналасқан 3 ретті матрицаның анықтауышын есептейміз. Бірінші жолды өзгеріссіз қалдырамыз, екінші жолға біріншіні қосамыз, санға көбейтеміз :

Үшінші жолға біріншіні қосамыз, санға көбейтеміз :

Нәтижесінде біз аламыз

Жауап. .

Түсініктеме.Есептерде бөлшек сандар қолданылғанымен, нәтиже бүтін сан болды. Шынында да, анықтауыштардың қасиеттерін және бастапқы сандар бүтін сандар екенін пайдалана отырып, бөлшектермен операцияларды болдырмауға болады. Бірақ инженерлік тәжірибеде сандар өте сирек бүтін сандар болып табылады. Сондықтан, әдетте, анықтауыштың элементтері ондық бөлшектер болады және есептеулерді жеңілдету үшін қандай да бір трюктерді қолдану ұсынылмайды.

кері матрица

Анықтама 3.матрица деп аталады кері матрицашаршы матрица үшін, егер.

Анықтамадан кері матрица матрицамен бірдей ретті шаршы матрица болатыны шығады (әйтпесе туындылардың бірі немесе анықталмайды).

кері матрицаматрица үшін арқылы белгіленеді. Осылайша, егер бар болса, онда .

Кері матрицаның анықтамасынан матрица матрицаға кері матрица екені шығады, яғни . Матрицалар және бір-біріне кері немесе өзара кері деп айтуға болады.

Егер матрицаның анықтауышы нөлге тең болса, онда оның кері мәні болмайды.

Кері матрицаны табу үшін матрицаның анықтауышының нөлге тең немесе тең еместігі маңызды болғандықтан, біз келесі анықтамаларды енгіземіз.

Анықтама 4.Квадрат матрицаны шақырайық азғындаунемесе арнайы матрица, егер дегенерацияланбағаннемесе сингулярлы емес матрица, егер .

Мәлімдеме.Егер кері матрица бар болса, онда ол бірегей.

Мәлімдеме.Егер квадрат матрица жойылмаған болса, онда оның кері матрица бар және (1) мұндағы элементтерге алгебралық қосулар .

Теорема.Квадрат матрица үшін кері матрица бар, егер матрица дара емес болса, кері матрица бірегей болса және формула (1) жарамды болса.

Түсініктеме.Кері матрицалық формулада алгебралық толықтырулар алатын орындарға ерекше назар аудару керек: бірінші индекс санды көрсетеді баған, ал екіншісі - сан сызықтар, онда есептелген алгебралық толықтауыш жазылуы керек.

Мысал. .

Шешім.Анықтауышты табу

Өйткені, матрица жойылмаған және оған кері мән бар. Алгебралық қосындыларды табу:

Табылған алгебралық қосындыларды бірінші көрсеткіш бағанға, ал екіншісі жолға сәйкес келетіндей етіп орналастыру арқылы кері матрицаны құрастырамыз: (2)

Алынған матрица (2) есептің жауабы болып табылады.

Түсініктеме.Алдыңғы мысалда жауапты былай жазған дұрысырақ болар еді:
(3)

Дегенмен (2) белгілеу ықшамырақ және онымен, егер бар болса, одан әрі есептеулерді жүргізу ыңғайлы. Сондықтан матрицалардың элементтері бүтін сандар болса, жауапты (2) түрінде жазған дұрыс. Ал керісінше матрицаның элементтері ондық бөлшектер болса, онда кері матрицаны алдына көбейткішсіз жазған дұрыс.

Түсініктеме.Кері матрицаны табу кезінде сіз өте көп есептеулер мен соңғы матрицадағы алгебралық қосуларды реттеудің әдеттен тыс ережесін орындауыңыз керек. Сондықтан қателесу мүмкіндігі жоғары. Қателерді болдырмау үшін сіз тексеруді орындауыңыз керек: бастапқы матрицаның көбейтіндісін бір немесе басқа ретпен соңғысы бойынша есептеңіз. Егер нәтиже сәйкестік матрицасы болса, онда кері матрица дұрыс табылды. Әйтпесе, қатені іздеу керек.

Мысал.Матрицаның кері мәнін табыңыз .

Шешім. - бар.

Жауап: .

Қорытынды.(1) формула бойынша кері матрицаны табу тым көп есептеулерді қажет етеді. Төртінші ретті және одан жоғары матрицалар үшін бұл қабылданбайды. Кері матрицаны табудың нақты алгоритмі кейінірек беріледі.

Гаусс әдісі арқылы анықтауыш пен кері матрицаны есептеу

Анықтаушы және кері матрицаны табу үшін Гаусс әдісін қолдануға болады.

Атап айтқанда, матрицалық анықтауыш det -ке тең.

Кері матрицаны Гауссты жою әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу арқылы табады:

Мұндағы сәйкестік матрицаның j-ші бағанасы , қажетті вектор.

Алынған шешім векторлары - матрицаның бағандарын құрайды, өйткені .

Анықтаушының формулалары

1. Егер матрица дара емес болса, онда және (жетекші элементтердің туындысы).

АНЫҚТАУШЫ
немесе анықтауыш, - математикада квадрат кесте түріндегі сандарды жазу, оған сәйкес басқа сан (анықтауыштың «мәні») қойылады. Көбінесе «анықтауыш» термині анықтауыштың мағынасын да, оның жазылу формасын да білдіреді. Анықтауыштар, мысалы, аналитикалық геометрияда және математикалық талдауда сызықтық теңдеулерді шешу кезінде туындайтын күрделі өрнектерді ыңғайлы жазуға мүмкіндік береді. Анықтауыштардың ашылуы жапон математигі С.Коваға (1683) және дербес Г.Лейбницке (1693) жатады. Қазіргі теория 19 ғасырдың басындағы Дж.Бине, О.Коши және К.Якоби еңбектерінен бастау алады. Ең қарапайым анықтауыш 2 жол және 2 бағанға орналасқан элементтер деп аталатын 4 саннан тұрады. Мұндай анықтауыш 2-ші ретті деп аталады. Мысалы, бұл анықтаушы

Оның мәні 2*5 - 3*1 (яғни 10 - 3 немесе 7). Жалпы жағдайда 2-ші ретті анықтауыш әдетте түрінде жазылады

Ал оның мәні a1b2 - a2b1, мұндағы a және b сандар немесе функциялар. 3-ші ретті анықтауыш 3 қатарда және 3 бағанда орналасқан 9 элементтен тұрады. Жалпы алғанда, n-ші ретті анықтауыш n2 элементтерден тұрады және әдетте былай жазылады

Әрбір элементтің бірінші индексі жол нөмірін, екіншісі - баған нөмірін көрсетеді, оның қиылысында осы элемент орналасқан, сондықтан aij - i-ші элементжол және j-ші баған. Көбінесе мұндай анықтауыш |aij| түрінде жазылады. Детерминантты есептеу әдістерінің бірі, әрқашан дерлік жоғары дәрежелі анықтауыштарды есептеуде қолданылады, «кәмелетке толмағандарда» кеңейту. Анықтауыштың кез келген элементіне сәйкес келетін минор - бұл элемент қиылысында орналасқан жол мен бағанды жою арқылы бастапқыдан алынған 1-ден кіші ретті анықтауыш. Мысалы, анықтауыштан а2 элементіне сәйкес минор

Элементтің «алгебралық толықтауышы» оның миноры болып табылады, егер элемент қиылысында тұрған жол мен баған нөмірлерінің қосындысы жұп болса, қосу белгісімен, ал тақ болса, минус белгісімен алынады. Жоғарыдағы мысалда a2 элементі 1-бағанда және 2-жолда; қосындысы (1 + 2) тақ, сондықтан a2 элементінің алгебралық толықтауышы оның минорына тең, минус таңбасымен алынған, яғни.

Анықтауыштың мәні кез келген жолдың (немесе кез келген бағанның) элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Мысалы, анықтауыш

бірінші бағанға кеңейтілген пішін бар

және оның екінші қатардағы кеңеюі пішінге ие

Әрбір минорды есептеп, оны коэффициентке көбейту арқылы екі өрнектің де бірдей екенін тексеру оңай. Анықтаушының мәні. Анықтаушының мәні астында

n элементтің барлық туындыларының қосындысын түсіну әдеттегідей, яғни.

Бұл формулада қосындылау 1, 2, ј, n сандарының j1, ј, jn барлық алмастырулары бойынша жүзеге асырылады және егер ауыстыру жұп болса, терминнің алдына қосу белгісі және бұл ауыстыру тақ болса, минус таңбасы қойылады. . Мұндай қосынды дәл n құрайды! мүшелері, оның жартысы қосу белгісімен, жартысы - минус белгісімен алынады. Әрбір қосынды мүшесі анықтауыштың әрбір бағанынан және әрбір жолынан бір мүшені қамтиды. Бұл қосынды кәмелетке толмағандардағы анықтауышты кеңейту арқылы алынған өрнекпен сәйкес келетінін дәлелдеуге болады.
Анықтауыш қасиеттері.Анықтауыштың маңызды қасиеттерінің ішінде біз мыналарды атап өтеміз. (i) Кез келген жолдың (немесе кез келген бағанның) барлық элементтері нөлге тең болса, анықтауыштың мәні де нөлге тең болады:

(ii) Егер екі жолдың (немесе екі бағанның) элементтері тең немесе пропорционал болса, анықтауыштың мәні нөлге тең болады:

(iii) анықтауыштың мәні оның барлық жолдары мен бағандары ауыстырылса, өзгермейді, яғни. бірінші жолды бірінші баған, екінші жолды екінші баған деп жазыңыз және т.б. (бұл операция транспозиция деп аталады). Мысалы,

(iv) Егер бір жолдың (немесе бағанның) элементтеріне басқа жолдың (немесе бағанның) сәйкес элементтерін ерікті коэффициентке көбейтсек, анықтауыштың мәні өзгермейді. Келесі мысал екінші жолдың элементтерін -2-ге көбейтеді және оларды бірінші жолдың элементтеріне қосады:

(v) Егер екі жол (немесе екі баған) ауыстырылса, анықтауыш таңбаны өзгертеді:

(vi) Егер бір жолдың (немесе бір бағанның) барлық элементтері ортақ факторды қамтыса, онда бұл факторды анықтауыштың белгісінен шығаруға болады:

Мысал. Келесі 4-ші ретті анықтауыштың мәнін есептеңіз:

1-ші жолға 4-ші жолды қосамыз:

4-бағаннан 1-бағанды алып тастаңыз:

3-ші бағанды 3-ке көбейтіп, 4-ші бағаннан шегеріңіз:

Қаласаңыз, жолдар мен бағандарды ауыстыра аласыз:

Анықтауышты төртінші қатардың элементтері бойынша кеңейтейік. Бұл жолдың үш элементі нөлге тең, нөлдік емес элемент үшінші бағанда, ал қосындысы (3 + 4) тақ болғандықтан, оның алгебралық толықтауышы минус таңбасына ие. Нәтижесінде біз аламыз:

Минорды үшінші жолдың элементтеріне бөлуге болады: оның екі элементі нөлге тең, ал нөлдік емес элемент үшінші бағанда; қосындысы (3+3) жұп, сондықтан алдыңғы теңдікті жалғастыруға болады:

Қолданбалар. Теңдеулер жүйесін шешу

бірінші теңдеуді b2-ге, екіншісін b1-ге көбейтіп, содан кейін бір теңдеуді екіншісінен алып тастау арқылы алуға болады. Осы операцияларды орындау арқылы біз аламыз

Немесе егер

содан кейін

Анықтауыштардың көмегімен шешімнің мұндай жазылуы n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесін шешу жағдайына жалпылауға мүмкіндік береді; әрбір анықтауыш n-ші ретті болады. Сызықтық теңдеулер жүйесінің анықтаушысы

ерік

Егер D = 0 болса, онда теңдеулер не сәйкес емес, не тәуелсіз емес екенін ескеріңіз. Сондықтан D анықтауышының алдын ала есептеуі сызықтық теңдеулер жүйесінің шешілетіндігін тексеруге мүмкіндік береді.
Аналитикалық геометриядағы анықтауыштар.Конустық қиманың жалпы теңдеуін келесідей көрсетуге болады

Анықтаушы

дискриминант деп аталады. Егер D = 0 болса, онда қисық жұп параллель немесе қиылысатын түзулерге немесе нүктеге айналады (сонымен қатар КОНИКАЛЫҚ БӨЛІМДЕР бөлімін қараңыз). Тағы бір мысал: төбелері нүктелерінде (айнап өту - сағат тіліне қарсы) (x1, y1), (x2, y2) және (x3, y3) нүктелері бар А үшбұрышының ауданы мына түрде берілген:

Анықтауыштардың матрицалармен байланысы.Матрица – тікбұрышты кесте түріндегі сандар массивінің жазбасы. Анықтауыштар квадрат матрицалармен байланысты; мысалы, матрицалық анықтауыш

Егер A, B және С шаршы матрицалар болса, онда |A|*|B| = |C|.
да қараңызАЛГЕБРА АБСТРАКТТЫ.
Якобиандық.Егер x = f (u, v), y = g (u, v) координаталық түрлендіру болса, онда анықтауыш

Бұл түрлендірудің якоби немесе якоби анықтаушысы деп аталады. Егер J белгілі бір нүктеде 0-ге тең болмаса, онда оның маңайында түрлендіру теңдеулерін x пен у функциялары ретінде көрсете отырып, u және v қатысты бірегей түрде шешуге болады.
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ бөлімін қараңыз.

Collier энциклопедиясы. - Ашық қоғам. 2000 .

Синонимдер:

Басқа сөздіктерде «ДЕТЕРМИНАНТ» деген не екенін қараңыз:

АНЫҚТАУШЫ, анықтауыш, ер. (кітап). 1. Бір нәрсені анықтайтын, білдіретін. 2. Бір нәрсені анықтауда анықтамалық қызмет атқаратын кітап (ғылыми). Өсімдіктерді анықтау. Саңырауқұлақтарға арналған нұсқаулық. 3. ... ... арқылы жасалған өрнек. СөздікУшаков

- (анықтауыш) 1-дәрежелі алгебралық теңдеулер жүйесін шешуде және зерттеуде қолданылатын n2 санынан белгілі бір ереже бойынша құрастырылған математикалық өрнек. n саны анықтауыштың реті деп аталады. Сонымен, 2-ші ретті анықтауыш ... Үлкен энциклопедиялық сөздік

Идентификатор, гессиан, минор, детерминант Орыс синонимдерінің сөздігі. зат есім анықтауыш, синонимдер саны: 10 автоанықтауыш (1) … Синонимдік сөздік

АНЫҚТАУШЫ- (анықтауыш) 1-дәрежелі алгебралық теңдеулер жүйесін шешуде және зерттеуде қолданылатын n2 санынан белгілі бір ереже бойынша құрастырылған математикалық өрнек. n саны анықтауыштың реті деп аталады. Сонымен, 2-ші ретті анықтауыш ... Үлкен политехникалық энциклопедия

АНЫҚТАУШЫ, мен, күйеу. 1. Қандай n анықтауға арналған құрылғы, сондай-ақ жалпы, оның көмегімен n. дәл анықтау. Қоңырау шалушы идентификаторы бар телефон. О. ырғақ. 2. Қандай n анықтау кезінде анықтамалық кітап. (маман.). O. өсімдіктер ... Ожеговтың түсіндірме сөздігі

- квадрат матрицасының (анықтауышы) A = ||aij|| n ретті, detA көпмүшелігі ... Физикалық энциклопедия

анықтауыш- - Телекоммуникация тақырыптары, негізгі түсініктер EN детерминант ... Техникалық аудармашының анықтамалығы

Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Детерминант (мағыналарын) қараңыз. Анықтауыш (немесе анықтауыш) сызықтық алгебраның негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Матрицаны анықтаушы квадрат матрицаның элементтеріндегі көпмүше болып табылады (яғни, у ... Уикипедия

анықтауыш- 3.4.6 квалификатор (көмекші): УДК көмекші сынып коды. Дереккөз… Нормативтік-техникалық құжаттама терминдерінің сөздік-анықтамалығы

МЕН; м 1. Кітап. Не анықталады, немен анықталады l. Дыбыс жылдамдықты анықтаушы болуы мүмкін. Уақыттың негізгі анықтаушысы – Күннің ғарыш кеңістігіндегі қозғалысы. 2. Спец. Нені анықтауға арналған нұсқаулық (кітап немесе кесте) ... ... энциклопедиялық сөздік

Кітаптар

Жемістер мен тұқымдар бойынша ағаш өсімдіктерінің ангиоспермдерінің кілті, Синицын Евгений Михайлович. Анықтауыш екі бөліктен тұрады. Бірінші бөлімде тектерді анықтауға арналған кесте, ал екіншісінде ағаш өсімдіктерінің ангиоспермдерінің түрлерін ... арқылы анықтауға арналған кестелер кіреді.