Кері матрицаның элементар түрлендірулері. Элементар матрицалар

Анықтама 5.8. Матрицалық жолдардың элементар түрлендірулерікелесі түрлендірулер деп аталады:

1) матрицалық жолды нөл емес бірге көбейту нақты сан;

2) матрицаның бір жолына оның басқа жолын ерікті нақты санға көбейту.

Лемма 5.1.Матрицалық жолдардың элементар түрлендірулерінің көмегімен кез келген екі жолды ауыстыруға болады.

Дәлелдеу.

A= .

.

қадамдық матрица. Матрицалық дәреже

Анықтама 5.9. қадам бастыКелесі қасиеттерге ие матрицаны шақырамыз:

1) егер мен-ші жол нөлге тең болса, онда ( мен+ 1) ші жол да нөл,

2) егер бірінші нөлдік емес элементтер болса мен-ші және ( мен+ 1)-ші жолдар сандары бар бағандарға орналастырылады кжәне Р, сәйкесінше, содан кейін к < Р.

2-шарт) -дан өту кезінде сол жақтағы нөлдерді міндетті түрде арттыруды талап етеді мен- ші жолға дейін ( мен+ 1)-ші жол. Мысалы, матрицалар

А 1 = , А 2 = , А 3 =

сатылы және матрицалар

В 1 = , В 2 = , В 3 =

баспайды.

5.1 теорема.Кез келген матрицаны қарапайым жолды түрлендірулер арқылы қадамдық матрицаға келтіруге болады.

Бұл теореманы мысалмен түсіндірейік.

А=

.

Алынған матрица қадамдық матрица болып табылады.

Анықтама 5.10. Матрицалық дәрежебіз осы матрицаның сатылы түріндегі нөлдік емес жолдар санын атаймыз.

Мысалы, алдыңғы мысалдағы А матрицасының дәрежесі 3-ке тең.

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар

1. Матрица не деп аталады?

2. Матрицаларды қосу және азайту тәсілдері; матрицаны санға көбейту керек пе?

3. Матрицаны көбейтуге анықтама беріңіз.

4. Қандай матрица транспозицияланған деп аталады?

5. Матрицалық жолдардың қандай түрлендірулері элементар деп аталады?

6. Қадамдық матрицаны анықтаңыз.

7. Матрицаның рангі қалай аталады?

Детерминанттар

Детерминанттарды есептеу

Екінші ретті анықтауыштар

Екінші ретті шаршы матрицаны қарастырайық

Анықтама 6.1. екінші ретті анықтауыш,А матрицасына сәйкес формула бойынша есептелетін сан

│А│= = .

Элементтер а ij деп аталады анықтаушы элементтер│А│, элементтер а 11 , а 22 нысаны негізгі диагональ, және элементтері а 12 , а 21 – жағы.

Мысал. = –28 + 6 = –22.

Үшінші ретті анықтауыштар

Үшінші ретті шаршы матрицаны қарастырайық

А = .

Анықтама 6.2. үшінші ретті анықтауыш,матрицаға сәйкес келеді А, формула бойынша есептелетін сан

│А│= = .

Теңдіктің оң жағындағы өнімдердің қайсысын қосу белгісімен, ал қайсысын минус белгісімен алу керектігін есте сақтау үшін аталған ережені есте сақтау пайдалы. үшбұрыш ережесі:

Мысал.

1) = –4 + 0 + 4 – 0 + 2 + 6 = 8.

2) = 1, яғни │ Е 3 │= 1.

Үшінші ретті анықтауышты есептеудің басқа әдісін қарастырыңыз.

Анықтама 6.3. Кәмелетке толмаған М ijэлемент a ij анықтауыш - жою арқылы берілгеннен алынған анықтауыш мен-ші жол және j-ші баған. Алгебралық қосуA ijанықтауыштың a ij элементі оның миноры деп аталады M ij, (–1) белгісімен алынған i + j.

Мысал.Кәмелетке толмағанды ​​есептеңіз М 23 және алгебралық толықтауыш А 23 элемент аматрицадағы 23

Кәмелетке толмағанды ​​есептеңіз М 23:

М 23 = = = –6 + 4 = –2.

Содан кейін А 23 = (–1) 2+3 М 23 = 2.

Теорема 6.1.Үшінші ретті анықтауыш кез келген жолдың (бағанның) элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Дәлелдеу.Анықтамасы бойынша

= . (6.1)

Мысалы, екінші қатарды таңдап, алгебралық толықтауыштарды табайық А 21 , А 22 , А 23:

А 21 = (–1) 2+1 = –() = ,

А 22 = (–1) 2+2 = ,

А 23 = (–1) 2+3 = –() = .

Енді (6.1) формуласын түрлендіреміз.

│А│= () + () + () =

= А 21 + А 22 + А 23.

Формула А│= А 21 + А 22 + А 23. шақырды анықтауыштың ыдырауы│А│ екінші жолдың элементтерінің үстінен. Сол сияқты, кеңейтуді басқа жолдардың және кез келген бағанның элементтері бойынша алуға болады

Мысал.

= (екінші бағанның элементтері бойынша) = 1 × (–1) 1+2 + 2 × (–1) 2+2 +

+ (–1)(–1) 3+2 = –(0 + 15) + 2(–2 +20) + (–6 +0) = –15 +36 – 6 = 15.

6.1.3 n-ші ретті анықтауыштар ( n Н)

Анықтама 6.4. анықтауыш nші тапсырыс,матрицаға сәйкес келеді n- ші бұйрық

A =

кез келген жолдың (бағанның) элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең сан деп аталады, яғни.

│А│= А i1 + А i2 + … + А= ішінде А 1j+ А 2j + … + А nj .

Оны қашан байқау қиын емес n= 2 екінші ретті анықтауышты есептеу формуласын аламыз. Егер n= 1, онда анықтамасы бойынша | деп қабылдаймыз А| = |а | = а .

Мысал. = (4-ші қатардың элементтері бойынша) = 3×(–1) 4+2 +

2×(–1) 4+4 = 3(–6 + 20 –2 –32) +2(– 6 +16 +60 +2) = 3(–20) +2×72 = –60 +144 = 84 .

Егер анықтауышта біреуден басқа кез келген жолдың (бағанның) барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауышты есептеу кезінде оны осы жолдың (бағанның) элементтеріне кеңейту ыңғайлы екенін ескеріңіз.

Мысал.

│Е н│= = 1 × │ E n - 1 │ = … = │Е 3 │= 1.

Анықтауыштардың қасиеті

Анықтама 6.5.матрицаны қарау

немесе

шақырамыз үшбұрышты матрица.

Мүлік 6.1.Үшбұрышты матрицаның анықтаушысы негізгі диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең, яғни.

= = .

Мүлік 6.2.Нөл жолы немесе нөл бағанасы бар матрицаның анықтаушысы нөлге тең.

Мүлік 6.3.Матрицаны ауыстыру кезінде анықтауыш өзгермейді, яғни.

│А│= │А т│.

Мүлік 6.4.Егер матрица Вматрицадан алынады Акейбір жолдың әрбір элементін санға көбейту к, содан кейін

│В│= к│А│.

Мүлік 6.5.

= + .

Мүлік 6.6.Егер матрица Вматрицадан алынады Аекі жолды ауыстыру, содан кейін В│= −│А│.

Мүлік 6.7.Пропорционал жолдары бар матрицаның анықтауышы нөлге тең, атап айтқанда, екі бірдей жолы бар матрицаның анықтаушысы нөлге тең.

Мүлік 6.8.Егер бір жолдың элементтері матрицаның басқа жолының элементтеріне қосылса, қандай да бір санға көбейтілсе, матрицаның анықтаушысы өзгермейді.

Пікір. 6.1. 6.3 қасиеті бойынша матрицаның анықтауышы транспозиция кезінде өзгермейтіндіктен, матрицаның жолдары туралы барлық қасиеттер бағандар үшін де дұрыс болады.

Мүлік 6.9.Егер Ажәне В – шаршы матрицалартапсырыс n, содан кейін │ AB│=│А││В│.

кері матрица

Анықтама 6.6.шаршы матрица Атапсырыс nшақырды қайтымдыматрица болса Всолай AB \u003d BA \u003d E n. Бұл жағдайда матрица Вшақырды кері матрицаАжәне белгіленеді А –1 .

Теорема 6.2.Келесі мәлімдемелер дұрыс:

1) егер матрица Аинверсиялы болса, онда оған бір кері матрица бар;

2) инверсияланбайтын матрицаның нөлдік емес анықтауышы бар;

3) егер Ажәне В – ретті инверсиялық матрицалар n, содан кейін матрица ABқайтымды және ( AB) –1 = В–1× А –1 .

Дәлелдеу.

1. рұқсат етіңіз Вжәне МЕНматрицаға кері матрицалар болып табылады А, яғни. AB \u003d BA \u003d E nжәне AC \u003d CA \u003d E n. Содан кейін B = BE n = B(AC) = (В.А)C \u003d E n C \u003d C.

2. Матрица болсын Ақайтымды. Сонда матрица болады А–1 , оның кері, және

А.А –1 = Е н.

Анықтауыштың 6.9 қасиеті бойынша │ А.А –1 │=│А││А –1 │. Содан кейін │ А││А –1 │=│Е н│, қайдан │ А││А–1 │= 1. Демек, │ А│¹ 0.

3. Шынында да,

(AB)(В –1 А –1) = (А(BB –1))А –1 = (AE n)А –1 = А.А –1 = Е н .

(В –1 А –1)(AB) = (В –1 (А-1 A 21 \u003d -1, А 22 = 2. Содан кейін А –1 = .

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар

1. Анықтауыш не деп аталады?

2. Оның негізгі қасиеттері қандай?

3. Минор және алгебралық толықтауыш деп нені атайды?

4. Анықтауыштарды есептеудің қандай тәсілдері бар (екінші, үшінші және nтапсырыстар)?

5. Қандай матрица квадрат деп аталады?

Ұқсас ақпарат.

Матрица, матрицалардың түрлері, матрицаларға әрекеттер.

Матрицалардың түрлері:

1. Тікбұрышты: мжәне n- ерікті натурал сандар

2. Шаршы: m=n

3. матрицалық жол: m=1. Мысалы, (1 3 5 7) - көптеген практикалық есептерде мұндай матрицаны вектор деп атайды.

4. Матрицалық баған: n=1. мысалы

5. Диагональды матрица: m=nжәне a ij =0, егер i≠j. мысалы

6. Сәйкестік матрицасы: m=nжәне

7. Нөлдік матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. үшбұрышты матрица: негізгі диагональдан төмен барлық элементтер 0-ге тең.

9. Симметриялық матрица:m=nжәне aij=aji(яғни, негізгі диагональға қатысты симметриялы жерлерде тең элементтер бар), сондықтан A"=A

Мысалы,

10. Қисық матрица: m=nжәне a ij =-a ji(яғни, қарама-қарсы элементтер негізгі диагональға қатысты симметриялы жерлерде орналасқан). Сондықтан негізгі диагоналда нөлдер бар (өйткені i=jБізде бар a ii =-a ii)

Матрицалардағы әрекеттер:

1. Қосу

2. Алуматрицалар - элементтік операция

3. Жұмысматрицаларды санға - элементтік операция

4. Көбейту A*Bережеге сәйкес матрицалар бағанға жол(А матрицасының бағандарының саны В матрицасының жолдарының санына тең болуы керек)

A mk *B kn =C mnжәне әрбір элемент ij барматрицалар CmnА матрицасының i-ші қатары элементтерінің B матрицасының j-ші бағанының сәйкес элементтеріне көбейтінділерінің қосындысына тең, яғни.

Мысал арқылы матрицаны көбейту операциясын көрсетейік

5. А матрицасының транспозициясы. Транспозицияланған матрица A T немесе A деп белгіленеді.

,Мысалға

Жолдар мен бағандар ауыстырылады

Матрицаларға амалдардың қасиеттері:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар (негізгі түсініктер, қасиеттер, есептеулер)

Мүлік 1.Транспозиция кезінде анықтауыш өзгермейді, яғни.

Дәлелдеу.

Пікір. Келесі квалификациялық сипаттар тек жолдар үшін тұжырымдалады. 1-қасиеттен бағандар да бірдей қасиеттерге ие болатыны шығады.

Мүлік 2. Анықтауыш жолының элементтерін белгілі бір санға көбейткенде, бүкіл анықтауыш осы санға көбейтіледі, яғни.

.

Дәлелдеу.

Мүлік 3.Нөлдік жолы бар анықтауыш 0-ге тең.

Бұл қасиеттің дәлелі k = 0 үшін 2-қасиеттен шығады.

Мүлік 4.Екі бірдей жолы бар анықтауыш 0-ге тең.

Дәлелдеу.

Мүлік 5. Екі жолы пропорционал болатын анықтауыш 0-ге тең.

Дәлелдеу 2 және 4 қасиеттерден туындайды.

Мүлік 6. Анықтауыштың екі қатарын ауыстырғанда, ол -1-ге көбейтіледі.

Дәлелдеу.

Мүлік 7.

Бұл сипатты дәлелдеу 1.5 анықтамасы арқылы табылған теңдіктің сол және оң жақтарының мәндерін салыстыру арқылы дербес жүзеге асырылуы мүмкін.

мүлік 8.Егер бір жолдың элементтері басқа жолдың сәйкес элементтеріне қосылып, сол санға көбейтілсе, анықтауыштың мәні өзгермейді.

Кәмелетке толмаған. Алгебралық қосу. Лаплас теоремасы.

Үшбұрышты пішінге келтіру әдісіоның диагональдарының бірінің бір жағында жатқан барлық элементтері нөлге тең болғанда, берілген анықтауыштың осылай түрленуінен тұрады.

8-мысалАнықтаушыны есептеу

үшбұрышты пішінге келтіру.

Шешім.Анықтауыштың бірінші жолын оның қалған жолдарынан алып тастаңыз. Сосын аламыз

.

Бұл анықтауыш бас диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең. Осылайша, бізде

Пікір.Жоғарыда қарастырылғандардың барлығын n-ші ретті анықтауыштар үшін жалпылауға болады.

Матрицаны сатылы түрге келтіру. Жолдар мен бағандардың элементар түрлендірулері.

Элементар матрицалық түрлендірулеркелесі түрлендірулер деп аталады:

I. Матрицаның екі бағанының (жолының) орнын ауыстыру.

II. Матрицаның бір бағанының (жолының) барлық элементтерін бірдей нөлдік емес санға көбейту.

III. Бір бағанның (жолдың) элементтеріне басқа бағанның (жолдың) сәйкес элементтерін сол санға көбейту.

Түпнұсқа матрицадан соңғы санды элементар түрлендіру арқылы алынған матрица деп аталады эквивалент . Бұл көрсетілген.

Элементар түрлендірулер матрицаларды жеңілдету үшін қолданылады, олар болашақта әртүрлі есептерді шешу үшін қолданылады.

Матрицаны сатылы пішінге келтіру үшін (1.4-сурет) келесі әрекеттерді орындау керек.

1. Бірінші бағанда нөлден басқа элементті таңдаңыз ( жетекші элемент ). Жетекші элементі бар жол ( жетекші сызық ), егер ол бірінші болмаса, оны бірінші жолдың орнына ауыстырыңыз (I түрлендіру). Егер бірінші бағанда жетекші элемент болмаса (барлық элементтер нөлге тең), онда біз бұл бағанды ​​алып тастаймыз және матрицаның қалған бөлігінде жетекші элементті іздеуді жалғастырамыз. Барлық бағандар алынып тасталса немесе матрицаның қалған бөлігіндегі барлық элементтер нөлге тең болса, түрлендірулер аяқталады.

2. Бастауыш жолдың барлық элементтерін жетекші элементке бөліңіз (II түрдегі түрлендіру). Егер жетекші жол соңғы болса, онда түрлендіру сонда аяқталуы керек.

3. Алдыңғы жолдың астындағы әрбір жолға алдыңғы қатардың астындағы элементтер нөлге тең болатындай санға көбейтілген алдыңғы жолды қосыңыз (III түр түрлендіру).

4. Қиылысында жетекші элемент тұрған жол мен бағанды ​​қараудан алып тастап, барлық сипатталған әрекеттер матрицаның қалған бөлігіне қолданылатын 1-қадамға өтіңіз.

1.29-мысал.Қадамдық матрицаға түрлендіру

Трансформация матрицасы нысанды түрлендіру кезінде оның жаңа координаталарын есептеу үшін қолданылады. Түрлендіру матрицасының элементтерінің мәндерін өзгерту арқылы кез келген түрлендірулерді объектілерге қолдануға болады (мысалы: масштабтау, айнадағы шағылысу, айналдыру, жылжыту және т.б.). Кез келген түрлендіру объектінің сызықтарының параллельділігін сақтайды.

PDF форматындағы координаттар екі өлшемді кеңістікте көрсетілген. Кеңістіктегі нүктені (х, у) векторлық түрде өрнектеуге болады . Бұл вектордың (1) тұрақты үшінші элементі төменде сипатталған есептеулерде 3x3 матрицалары бар векторды пайдалану үшін қажет.

Екі координаталық жүйе арасындағы түрлендіру 3х3 матрица түрінде бейнеленеді және келесідей жазылады:

Координаталық түрлендірулер матрицалық көбейту түрінде өрнектеледі:

Соңғы баған есептеу нәтижелеріне әсер етпейтіндіктен, ол есептеулерге қатыспайды. Трансформация координаталары келесі формулалар арқылы есептеледі:

Сәйкестік матрицасы

Сәйкестік матрицасы - бұл матрицаның мәндері болатын матрица ажәне гтең 1 , ал қалғандары тең 0 . Мұндай матрица әдепкі бойынша пайдаланылады, өйткені ол түрлендіруге әкелмейді. Сондықтан сәйкестік матрицасы негіз ретінде пайдаланылады.

Масштабтау

Нысанның өлшемін көлденең/тігінен үлкейту немесе азайту үшін мәнді өзгертіңіз анемесе гсәйкесінше және қалғанын сәйкестік матрицасынан қолданыңыз.

Мысалы:Объектінің өлшемін көлденеңінен екі есе ұлғайту үшін a мәнін 2-ге тең қабылдау керек, ал қалғанын сәйкестік матрицасында қалдыру керек.

Рефлексия

Нысанның айна бейнесін көлденеңінен алу үшін мәнді орнатыңыз a = -1, тігінен d=-1. Екі мәнді өзгерту бір уақытта көлденең және тігінен көрсету үшін қолданылады.

Көлбеу

Нысанның тігінен/көлденеңінен еңкейуі мәндерді өзгерту арқылы қамтамасыз етіледі бжәне втиісінше. Мәнді өзгерту б/-б- жоғары/төмен еңкейту, c/-c- оң сол.

Мысалы:Нысанды тігінен жоғары еңкейту үшін мәнді орнатыңыз b = 1

Объектінің жаңа координаталарын есептейміз:

Нәтижесінде тек координат объектінің еңісіне әкеледі ж, ол мәнге артады x.

Бұрылыс

Айналдыру - масштабтау мен қисаюдың тіркесімі, бірақ нысанның бастапқы пропорцияларын сақтау үшін түрлендірулер синустар мен косинустарды пайдалана отырып, дәл есептеулермен орындалуы керек.

Айналудың өзі сағат тіліне қарсы, α айналу бұрышын градуспен белгілейді.

қозғалады

Қозғалыс мәндерді өзгерту арқылы жүзеге асырылады e(көлденең) және f(тігінен). Мәндер пикселдермен белгіленеді.

Мысалы:Матрицаны пайдаланып жылжыту сирек қолданылады, себебі бұл операцияны басқа әдістермен орындауға болады, мысалы, қойындыдағы нысанның орнын өзгерту.

Трансформация матрицасында өзгертуге болатын алты ғана элемент болғандықтан, ол PDF форматында көрнекі түрде көрсетіледі . Мұндай матрица бір координат жүйесінен екіншісіне кез келген сызықтық түрлендіруді көрсете алады. Трансформация матрицалары келесідей құрылады:

• Қозғалыс ретінде белгіленеді , қайда txжәне т жсәйкесінше координаталар жүйесінің осінен көлденең және тік қашықтықтар болып табылады.
• Масштабтау ретінде көрсетілген . Бұл координаталарды жаңа координаталар жүйесіндегі көлденең және тік өлшемдердегі 1 бірлік өлшемімен бірдей болатындай етіп масштабтайды. s xжәне с жсәйкесінше ескі координаталар жүйесіндегі бірліктер.
• Айналымдар матрица арқылы жасалады бойынша координаталар жүйесінің осьтерінің айналуына сәйкес келеді θ градус сағат тіліне қарсы.
• Еңіс ретінде көрсетілген , ол осьтің еңісіне сәйкес келеді xбұрышта α және осьтер жбұрышта β .

Төмендегі суретте түрлендіру мысалдары көрсетілген. Суретте көрсетілген қозғалыс бағыттары, айналу бұрышы және көлбеу матрица элементтерінің оң мәндеріне сәйкес келеді.

Матрицаны көбейту коммутативті емес — матрицаларды көбейту реті.

Төмендегі кестеде жарамды түрлендірулер мен матрица мәндері берілген.

түпнұсқа сызба	Трансформацияланған сызба	Матрица	Сипаттама
		1 0 0 2 0 0	Тігінен масштабтау. Егер матрица мәні 1-ден үлкен болса, нысан кеңейеді, 1-ден аз болса, ол қысқарады.
		2 0 0 1 0 0	Көлденеңінен масштабтау. Егер матрица мәні 1-ден үлкен болса, нысан кеңейеді, 1-ден аз болса, ол қысқарады.
		-1 0 0 1 0 0	Көлденең рефлексия.
		1 0 0 -1 0 0	Тігінен шағылыстыру.
		1 1 0 1 0 0	Тігінен жоғары еңкейтіңіз.
		1 -1 0 1 0 0	Тігінен төмен еңкейтіңіз.
		1 0 1 1 0 0	Көлденең оңға қарай еңкейтіңіз.
		1 0 -1 1 0 0

Элементар матрицалық түрлендірулерәртүрлі математикалық есептерде кеңінен қолданылады. Мысалы, олар сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге арналған белгілі Гаусс әдісінің (белгісіздерді жою әдісі) негізін құрайды.

Элементар түрлендірулер:

1) екі жолды (бағандарды) ауыстыру;

2) матрица жолының (бағанының) барлық элементтерін нөлге тең емес қандай да бір санға көбейту;

3) бірдей нөлдік емес санға көбейтілген матрицаның екі жолын (бағандарын) қосу.

Екі матрица деп аталады эквивалент, егер олардың біреуі екіншісінен элементар түрлендірулердің шектеулі санынан кейін алынса. Жалпы алғанда, эквивалентті матрицалар тең емес, бірақ бірдей дәрежеге ие.

Элементар түрлендірулер арқылы анықтауыштарды есептеу

Элементар түрлендірулерді қолдана отырып, матрицалық анықтауышты оңай есептеуге болады. Мысалы, матрицалық анықтауышты есептеу қажет:

Содан кейін көбейткішті шығаруға болады:

енді элементтерден шегеру jші бағандағы бірінші бағанның сәйкес элементтерін көбейткенде анықтауыш аламыз:

ол: қайда

Содан кейін біз бірдей қадамдарды қайталаймыз және егер барлық элементтер болса, біз ақырында аламыз:

Егер кейбір аралық анықтауыш үшін оның жоғарғы сол элементі болып шықса, онда жаңа жоғарғы сол элемент нөлге тең болмайтындай жолдарды немесе бағандарды қайта реттеу керек. Егер ∆ ≠ 0 болса, оны әрқашан жасауға болады. Бұл жағдайда анықтауыштың таңбасы қай элемент негізгі болып табылатынына байланысты өзгеретінін ескеру керек (яғни матрицаны түрлендіру кезінде ). Сонда сәйкес анықтауыштың таңбасы болады.

МЫСАЛ Элементар түрлендірулерді пайдаланып, матрицаны келтіріңіз

үшбұрышты пішінге.

Шешуі: Алдымен матрицаның бірінші жолын 4-ке, екінші жолын (-1) көбейтіп, екіншісіне бірінші жолды қосыңыз:

Енді бірінші жолды 6-ға, үшінші жолды (-1) көбейтіп, бірінші жолды үшіншіге қосыңыз:

Соңында, 2-ші жолды 2-ге және 3-ші жолды (-9) көбейтіп, екінші жолды үшіншіге қосыңыз:

Нәтиже – жоғарғы үшбұрышты матрица

Мысал. Матрицалық аппараттың көмегімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешім.Жазып алайық бұл жүйеМатрицалық түрдегі сызықтық теңдеулер:

Бұл сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицалық түрдегі шешімі келесі түрде болады:

мұндағы матрица матрицаға кері А.

Коэффицент матрицасын анықтаушы Атең:

демек матрица Акері матрицасы бар.

2. Мальцев А.И. Сызықтық алгебраның негіздері. – М.: Наука, 1975. – 400 б.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Жоғары оқу орындарының инженерлері мен студенттеріне арналған математикалық анықтамалық. – М.: Наука, 1986. – 544 б.

Элементар түрлендірулер А матрицасының жолдары мен бағандарындағы келесі амалдар болып табылады:

1) матрицаның екі жолын немесе бағандарын ауыстыру;

2) матрицаның жолын немесе бағанын нөлден басқа санға көбейту;

3) басқа жолдың (бағанның) бір жолына (бағанына) қосу.

Теорема.Элементар түрлендірулер матрицаның рангін өзгертпейді, яғни В матрицасы А матрицасынан элементар түрлендірулер арқылы алынса, онда.

Дәлелдеу.бір). Матрицаның екі бағанын ауыстырған кезде сызықтық тәуелсіз бағандардың максималды саны өзгермейді, яғни оның дәрежесі де өзгермейді.

2). В матрицасы А матрицасынан i-ші қатарды t0 және r(A) =k санына көбейту арқылы алынсын. Әлбетте, В матрицасының i-ші жолын қамтымайтын кез келген миноры А матрицасының сәйкес минорына, ал i-ші жолды қамтитын В матрицасының кез келген миноры А матрицасының сәйкес минорына көбейтілгенге тең болатыны анық. саны t. Демек, А матрицасының базистік минорына сәйкес келетін В матрицасының к ретті миноры нөлден өзгеше болады және В матрицасының барлық k+1 ретті минорлары, сондай-ақ А матрицасының барлық k+1 ретті минорлары, нөлге тең болады. Ал бұл r(B)=k=r(A) дегенді білдіреді.

3). B матрицасы А матрицасынан j-ші жолға i-ші жолды және r(A) =k қосу арқылы алынсын. j-ші жолды қамтымайтын В матрицасының k + 1 ретті минорлары А матрицасының сәйкес минорларына тең болады, демек нөлге тең болады. І және j-ші жолдарды қамтитын B матрицасының k+1 ретті минорлары екі нөлдік анықтауыштың қосындысына тең болады. Осы анықтауыштардың бірінде екі бірдей жол бар (j-ші қатарда i-ші жолдың элементтері бар), ал екінші анықтауыш А матрицасының k+1 ретті миноры болып табылады, сондықтан нөлге тең. В матрицасының k+1 ретті минорлары j-ші жолды қамтитын, бірақ i-ші жолды қамтымайтын минорлар А матрицасының k+1 ретті екі минорларының қосындысына тең болады, сондықтан да нөлге тең болады. Демек, В-ның барлық k+1 ретті минорлары 0 және r(B)k=r(A) болады.

В матрицасынан i-ші қатарды (-1) көбейту арқылы С матрицасы алынсын. Сонда А матрицасы С матрицасынан j-ші жолға i-ші жолды қосып, i-ші жолды (-1) көбейту арқылы алынады. Демек, жоғарыда дәлелденгендей, ол r(A)r(C) =r(B) болады. Сонымен, r(B)r(A) және r(A)r(B) теңсіздіктері бір уақытта орындалады, осыдан r(A) =r(B) шығады.

Элементар түрлендірулердің бұл қасиеті тәжірибеде матрицаның рангін есептеу үшін қолданылады. Ол үшін элементар түрлендірулердің көмегімен берілген (нөлдік емес) А матрицасы трапеция тәрізді түрге, яғни пішінге келтіріледі.

B= ,

мұндағы барлық элементтер үшін i = 1,2,...,k; барлық i > j үшін элементтер және

i > k. Әлбетте, r(B) = k, яғни В матрицасының рангі нөлдік емес жолдар санына тең. Бұл бірінші k жолдар мен бағандардың қиылысында орналасқан В матрицасының k ретті миноры диагональды анықтауыш болып табылады және оған тең; және В матрицасының k + 1 ретті кез келген минорында нөлдік жол бар, сондықтан 0-ге тең (немесе k = n болса, мұндай минорлар мүлде жоқ).

Теорема.Кез келген mn өлшемді нөлдік емес А матрицасын элементар түрлендірулер арқылы трапеция тәрізді түрге келтіруге болады.

Дәлелдеу. A0 болғандықтан, матрицаның элементі бар
. Бірінші және i-ші жолдарды, бірінші және j-ші бағандарды қайта реттей отырып, біз элементті жылжытамыз матрицаның сол жақ жоғарғы бұрышына және белгілеңіз
. Содан кейін алынған матрицаның i-ші жолына (i= 2,3, …,m) бірінші қатарды санға көбейтеміз. . Осы элементар түрлендірулердің нәтижесінде матрицаны аламыз

А
.

Барлық элементтер болса
А матрицалары нөлге тең болса, онда теорема дәлелденеді. Егер элемент болса
, содан кейін А матрицасының екінші және i-ші жолдарын, екінші және j-ші бағандарын ауыстыру арқылы элементті жылжытамыз элементтің орнына және белгілеңіз
(егер
, содан кейін бірден белгілейміз
). Содан кейін алынған матрицаның i-ші жолына (i= 3, …,m) санға көбейтілген екінші жолды қосамыз. . Нәтижесінде біз матрицаны аламыз

.

Осы процесті жалғастыра отырып, соңғы қадамдармен В матрицасын аламыз, яғни А матрицасын трапеция тәрізді түрге келтіреміз.

Мысал.Матрицаның дәрежесін есептеңіз



. Көрсеткілер келесі элементар түрлендірулерді көрсетеді: 1) бірінші және екінші жолдар ауыстырылды; 2) төртінші жол үштен бір бөлігімен толықтырылды; 3) үшінші қатарға біріншісі қосылды, -2-ге көбейтілді, төртінші жол 3-ке бөлінеді; 4) үшінші жолды 5-ке бөліп, үшінші және төртінші жолдарды ауыстырды; 5) үшінші жолға -3-ке көбейтілген, екінші жол және төртінші жолға үшінші жол қосылды. Көрсетілген элементар түрлендірулер арқылы А матрицасынан алынған матрица үш нөлдік емес қатарлары бар трапеция тәрізді пішінге ие екенін көруге болады. Демек, r(A) = 3.