Форма амплитудно-частотной характеристики есть не что иное как спектральное изображение затухающего синусоидального сигнала. Кроме того, как известно, подобную форму имеет амплитудно-частотная проходная характеристика одиночного электрического колебательного контура.

Зависимость между формой амплитудно-частотной характеристики тех или иных устройств и свойствами сигнала изучают в основах теоретической электротехники и теоретической радиотехники. Вкратце, то, что нас сейчас должно интересовать из этого, заключается в следующем.

Амплитудно-частотная характеристика колебательного контура по очертаниям совпадает с изображением частотного спектра сигнала, который возникает при ударном возбуждении этого колебательного контура. Для иллюстрации этого момента приведен рис.1-3, на котором изображена затухающая синусоида, которая возникает при ударном воздействии на колебательный контур. Этот сигнал приведен во временно м (а ) и спектральном (b ) изображении.

Рис. 1-3

Согласно разделу математики, называемому спектрально-времен-ными преобразованиями, спектральное и временное изображение одного и того же изменяющегося во времени процесса являются как бы синонимами, они эквивалентны и идентичны друг другу. Это можно сравнить с переводом одного и того же понятия с одного языка на другой. Любой человек, знакомый с этим разделом математики, скажет, что рисунки 1-3а и 1-3b эквивалентны друг другу. Кроме того, спектральное изображение этого сигнала, полученного при ударном возбуждении колебательной системы (колебательного контура) одновременно является геометрически подобным амплитудно-частотной характеристике этого самого контура.

Нетрудно заметить, что график (b ) на рис.1-3 геометрически подобен графику 3 на рис.1-1. То есть, увидев, что в результате измерений был получен график 3 , я сразу отнесся к нему не просто как к амплитудно-частотной характеристике затухания звука в породах кровли, но и как к свидетельству наличия в породной толще колебательной системы.

С одной стороны, наличие колебательных систем в горных породах, залегающих в кровле подземной выработки у меня не вызвало никаких вопросов, потому что другими способами получить синусоидальный (или, иначе говоря, гармонический) сигнал невозможно. С другой стороны, о наличии колебательных систем в земной толще я никогда раньше не слышал.

Для начала, напомним определение колебательной системы. Колебательная система - это объект, который на ударное (импульсное) воздействие реагирует затухающим гармоническим сигналом. Или, иначе говоря, это объект, обладающий механизмом преобразования импульса (удара) в синусоиду.

Параметры затухающего синусоидального сигнала - это частота f 0 и добротность Q , величина которой обратно пропорциональна коэффициенту затухания. Как видно из рис.1-3, оба эти параметра могут быть определены как из временного, так и из спектрального изображения этого сигнала.

Спектрально-временные преобразования - самостоятельный раздел математики, и один из выводов, который мы должны сделать из знания этого раздела, а также из формы амплитудно-частотной характеристики звукопроводности породного массива, изображенной на рис.1-1 (кривая 3), состоит в том, что по акустическим свойствам исследуемый породный массив проявил свойство колебательной системы.

Этот вывод является совершенно очевидным для любого, кто знаком со спектрально-временными преобразованиями, но категорически неприемлем для тех, кто профессионально занимается акустикой твердых сред, сейсморазведкой или вообще геофизикой. Так сложилось, что в курсе обучения студентов этих специальностей этот материал не дают.

Как известно, в сейсморазведке принято считать, что единственным механизмом, обуславливающим форму сейсмосигнала, является распространение поля упругих колебаний по законам геометрической оптики, отражение его от залегающих в земной толще границ и интерференция между отдельными составляющими сигнала. Считается, что форма сейсмосигналов обусловлена характером интерференции между множеством мелких эхо-сигналов, то есть отражений от множества мелких, залегающих в горном массиве границ. Кроме того, считается, что с помощью интерференции можно получить сигнал любой формы.

Да, это всё так, но в том-то и дело, что гармонический (в том числе, и гармонический затухающий) сигнал является исключением. Его интерференцией получить невозможно.

Синусоида - это элементарный информационный кирпичик, не подлежащий разложению на более простые составляющие, потому что проще, чем синусоида, сигнала в природе не существует. Именно поэтому, кстати, ряд Фурье - это совокупность именно синусоидальных членов. Будучи элементарным, неделимым информационным элементом, синусоида не может быть получена путем сложения (интерференции) каких бы то ни было других, еще более простых составляющих.

Получить гармонический сигнал можно одним-единственным путем - а именно, воздействием на колебательную систему. При ударном (импульсном) воздействии на колебательную систему возникает затухающая синусоида, а при периодическом или шумовом воздействии - незатухающая синусоида. А следовательно, увидев, что амплитудно-частотная характеристика некоего объекта геометрически подобна спектральному изображению гармонического затухающего сигнала, уже нельзя относиться к этому объекту иначе, как к колебательной системе.

Перед тем как проводить первые свои измерения в шахте, я, как и все остальные люди, функционирующие в области акустики твердых сред и сейсморазведки, был убежден, что никаких колебательных систем в породном массиве нет и быть не может. Однако обнаружив такую амплитудно-частотную характеристику затухания, я уже просто не имел права оставаться при этом мнении.

Проведение измерений, аналогичных описанным выше, весьма трудоемко, и обработка результатов этих измерений занимает много времени. Поэтому, увидев, что по характеру звукопроводности породный массив является колебательной системой, я понял, что следует использовать другую схему измерений, которую применяют при исследовании колебательных систем, и которую мы используем и по сей день. По этой схеме, источником зондирующего сигнала служит импульсное (ударное) воздействие на горный массив, а приемником - сейсмоприемник, специально предназначенный для проведения спектрально-сейсморазведочных измерений. Схема индикации и обработки сейсмосигнала позволяет наблюдать его как во временном, так и в спектральном виде.

Применив эту схему измерений в той же точке подземной выработки, что и при первом нашем измерении, мы убедились в том, что при ударном воздействии на породный массив кровли, сигнал, возникающий при этом, действительно имеет вид затухающей синусоиды, подобный показанному на рис.1-3a , а спектральное изображение ее подобно графику, показанному на рис.1-3b .

Чаще всего бывает, что сейсмосигнал содержит не одну, а несколько гармонических составляющих. Однако сколько бы ни было гармонических составляющих, они все возникают исключительно вследствие наличия соответствующего количества колебательных систем.

Многократные исследования сейсмосигналов, полученных в самых различных условиях - и в подземных выработках, и на земной поверхности, и в условиях осадочного чехла, и при исследовании пород кристаллического фундамента - показали, что во всех возможных случаях сигналов, полученных не в результате наличия колебательных систем, а в результате интерференционных процессов, не существует.

1. Строго говоря, форма спектра затухающего гармонического сигнала не совсем колоколообразная, но для нас сейчас эта неточность не имеет значения.

Методические указания к лабораторной работе

Дисциплина « Элементы общей теории сигналов »

СОГЛАСОВАНО РАЗРАБОТАЛИ

Инженер по охране труда Доцент кафедры ЭАПП

Г.В. Мангуткина ________ А.С. Хисматуллин

2014 _____________2014

студент гр. БАТ-11-21

Е.И.Буланкин

Методические указания предназначены для студентов направления подготовки 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», профиль «Автоматизация технологических процессов и производств в нефтехимии и нефтепереработке»

Обсуждено на заседании кафедры ЭАПП

Протокол № ______ от ___________________2014

ã Филиал ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Салавате, 2014

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВ

Цель работы : изучение характеристик детерминированных сигналов
в программе «Mathcad».

Краткие теоретические сведения

Спектральные характеристики периодических сигналов

Условие периодичности – x (t ) = x (t+mT ), где T – период, m – натуральное число, m = 1, 2, .... Любой периодический сигнал x (t ) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье.

x (t ) = a 0 + ∑ (a k coskw 1 t + b k sinkw 1 t ) = a 0 + ∑ A k cos(kw 1 t + φ k ), (1.1)

где ω 1 = 2π/T – угловая частота 1-й или основной гармоники; a 0 , а k , и b к коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

a 0 = a k = b k =

где A k – амплитуда k-й гармоники; φ k – фаза k-й гармоники; a 0 – среднее значение сигнала (постоянная составляющая); k ω 1 = ω k – угловая частота k -й гармоники; t н – момент времени, соответствующий началу периода.

Зависимости A k и φ k от частоты ω k – это спектры амплитуд и фаз соответственно.

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

(1.2)

Коэффициенты ряда (1.2) вычисляются по формуле

(1.3)

Формулы (1.2) и (1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность действительных величин в зависимости от частоты – спектр амплитуд. Совокупность величин φ k в зависимости от частоты – спектр фаз.

Ряд (1.2) удобно представлять в форме

(1.4)

(1.5)

Пример 1.1

Построить спектры амплитуд и фаз сигнала x(t), аналитическое выражение которого при исходных данных V m:= 4volt∙sec -1 ,T:= 2 sec и t 0:= 2 sec имеет вид

.

График сигнала при диапазоне изменения времени t:=-1.5∙T, представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График сигнала

Решение

Так как данный сигнал – периодическая функция времени, то для его спектрального представления нужно использовать или тригонометрический или комплексный ряд Фурье. Найдем спектры амплитуд и фаз на основе тригонометрического ряда Фурье.

Определим коэффициенты разложения сигнала на интервале t:= 0..T при угловой частоте основной гармоники ω 1:= и числе гармоник k:= 1..5.

1) Постоянная составляющая

2) Косинусоидальный коэффициент

Подстановка численных значений V m , T и ω 1 дает

В результате интегрирования получим

Например, a 1 = 0 volt; a 2 = 0 volt; a 3 = 0 volt; a 4 = 0 volt.

Более удобна другая форма определения коэффициентов разложения.

то выражая t 0 и ω 1 через T, имеем

Отсюда следует, что при k>0 коэффициенты a k равны нулю.

3) Cинусоидальный коэффициент

Выражая t 0 и ω 1 через T, можно получить

Отсюда после упрощений следует

Амплитуда k-й гармоники

при k>1 будет

Таким образом, с учетом постоянной составляющей амплитудный спектр

Фазовый спектр

Так как коэффициенты a k =0 и b k <0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

Графики данных спектров в виде столбчатых диаграмм приведены на рисунке 2.

Спектральные характеристики непериодических сигналов

Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция x (t ) – непериодическая, т.е. T →∞. В этом случае применяется интегральное преобразование Фурье

Здесь Ф и Ф -1 – обозначения прямого и обратного оператора Фурье.

Формулы (1.6) и (1.7) – пара интегральных преобразований Фурье. Функция F (j ω) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Спектральную функцию можно представить в виде

где – спектр амплитуд,

– спектр фаз.

Пример 1.2

Найти спектр функции x(t), заданной на интервале -τ/2

Аналитическое выражение функции

Рисунок 3 – Периодичность повторения

Решение

Поскольку функция представляет собой непериодическую функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безразмерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характеризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексных гармонических колебаний . Она имеет для сигнала в виде напряжения размерность вольт × секунда. Угловая частота ω имеет размерность радиан/секунда.

С помощью спектральных характеристик оценивают внутренний состав (спектр) сигнала. Для этого сигнал x(t) представляют в форме обобщенного ряда Фурье, раскладывая его по системе базисных функций Т k (t)

где С к - постоянные коэффициенты, отражающие вклад функции Ч^(?) в формирование значений сигнала на рассматриваемом промежутке времени.

Возможность представления сложного сигнала x(t) в виде суммы простых сигналов "РДО оказывается особенно важной для линейных динамических систем. В таких системах выполняется принцип суперпозиции , т.е. их реакция на сумму воздействий (сигналов) равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому, зная реакцию линейной системы на простой сигнал, можно, суммируя результаты, определить ее реакцию на любой другой сложный сигнал.

Выбор функций У k (t) подчиняют требованиям максимальной точности приближения сигнала х(t) рядом (7.21) при минимальном числе членов этого ряда и, по возможности, снижению вычислительных трудностей, возникающих при определении коэффициентов ряда С к.

В качестве базисных функций наиболее широкое применение получили вещественные тригонометрические функции

и комплексные экспоненциальные функции

На них строится классический спектральный анализ сигналов. Вместе с тем возможно применение других систем базисных функций (функций Тейлора, Уолша, Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева, Котельникова и др. 121), что в ряде случаев позволяет, учитывая специфику приближаемой функции x(t), сократить число членов ряда (7.21) при сохранении заданной погрешности приближения.

В последние годы появилась новая, весьма перспективная система базисных функций, называемых вейвлетами. В отличие от гармонических функций, они способны, изменяя свою форму и свойства, адаптироваться к локальным особенностям приближаемого сигнала. В результате становится возможным простое представление сложных сигналов (в том числе с локальными скачками и разрывами) наборами вейвлетов того или иного типа .

При использовании тригонометрических базисных функций (7.22), ряд (7.21) приобретает форму классического тригонометрического ряда Фурье

где Q = 2п/Т - частота основной гармоники ряда (Г - период сигнала); к = 1, 2, 3,... - целое число; ak, bk - действительные числа (коэффициенты Фурье), вычисляемые но формулам

В этих формулах, как и прежде (см. (7.20)), t 0 - произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления интегралов (7.25), так как значения этих интегралов от величины t 0 не зависят; x T (t) - базовый импульс сигнала (см. рис. 7.3, в).

Коэффициент а 0 определяет удвоенное среднее (за период) значение сигнала, остальные коэффициенты a k > b k {k = 1, 2, 3, ...) - вклад к -й гармоники ряда Фурье (7.24) в формирование мгновенных значений сигнала х(?).

Тригонометрический ряд Фурье (7.24) можно записать в двух других формах: в форме разложения по синусам

и в форме разложения по косинусам

где Л 0 /2 = а 0 /2 - постоянная составляющая сигнала; A k - амплитуда k-и гармоники ряда, вычисляемая по формуле

Начальные фазы этих гармоник вычисляются из соотношений

Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала {А к }°? ={ называется амплитудным спектром этого сигнала. Совокупность начальных фаз этих составляющих {ф/^}^ =1 - фазовым спектром сигнала.

Используя 5-функцию Дирака 8(?), оба спектра можно представить решетчатыми функциями частоты

т.с. амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными спектрами. Это отличает периодический сигнал от других сигналов, обладающих сплошными спектрами.

Таким образом, периодический сигнал можно представить в виде суммы гармоник (7.24). При этом частота каждой гармонической составляющей ряда Фурье кратна частоте основной гармоники?2, зависящей от периода сигнала Т.

Чем больше таких гармоник, тем меньше погрешность приближения функции x(t) конечной суммой ряда Фурье (7.24). Исключением являются точки разрыва непрерывности функции x(i). В окрестности таких точек проявляется так называемое явление Гиббса |2|. Согласно этому явлению в окрестностях точек разрыва конечные суммы ряда Фурье

образуют осциллирующие «хвосты», высота которых не уменьшается с ростом числа учитываемых гармоник ряда Фурье N - она составляет примерно 9% от величины скачка функции x{t) в точке разрыва.

Для вычисления амплитуды и начальной фазы &-й гармоники периодического сигнала можно вместо формул (7.28) и (7.29) использовать формулы

где Х т = Х т (р) = L{x T (t)} индекс Т переменной х - изображение по Лапласу базового импульса сигнала, определяемое по формуле (см. приложение 2)

i - мнимая единица; & = 0,1,2,... - положительное целое число. Использование этих формул исключает необходимость вычисления интегралов (7.25), что значительно упрощает расчеты. Покажем пример такого расчета.

Пример 7.1

Определить амплитудный спектр периодического сигнала Решение

На рис. 7.3, а , показан график такого сигнала. Видно, что сигнал имеет период Т = я. Следовательно, частота основной гармоники соответствующего ряда Фурье (7.24) равна Q = 2п/Т = 2 с -1 . Принимая t 0 = 0, x T (t) = sin? (для 0 t

Рис. 73.

а - форма сигнала; б - амплитудный спектр сигнала

Следовательно, А 0 /2 = 2/п, A k = 4/я(4& 2 - 1), щ = л, где k = 1,2, 3,т.е. разложение функции |sin(?)| в тригонометрический ряд Фурье имеет вид

Примечание: здесь принято ф/, = л (а нс у к = 0) из-за использования знака «минус» перед суммой гармоник ряда.

На рис. 7.3, б показан амплитудный спектр рассматриваемого сигнала. Значение амплитуды?-й гармоники ряда А к представлено вертикальным отрезком соответствующей длины, в основании которого указан номер гармоники.

Следует иметь в виду, что амплитуды А к некоторых гармоник ряда Фурье могут быть равны нулю. Кроме того, необязательным является монотонное уменьшение амплитуд этих гармоник с ростом номера гармоники, как это имеет место на рис. 7.3, б.

Однако во всех случаях должно выполняться условие lim А к = 0, вытекающее из тре-

бования сходимости ряда Фурье.

Решим задачу с использованием формул (7.32). Для этого сначала найдем изображение по Лапласу базового импульса сигнала x T (t )

Подставляя сюда p = ikQ = 2ik (где i - мнимая единица, k = 1, 2, 3,...), получим что совпадает с прежними результатами.

В технических приложениях часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье

В этом случае в качестве базисных функций используются комплексные экспоненциальные функции (7.23). Поэтому коэффициенты С п ряда (7.36) становятся комплексными . Они вычисляются по формуле

где, как и в формуле (7.6), индексная переменная п может быть как положительным, так и отрицательным целым числом.

При использовании комплексной формы ряда Фурье (7.36) спектром амплитуд периодического сигнала x(t) называют множество абсолютных величин комплексных коэффициентов Фурье С п

а спектром фаз - множество главных аргументов этих коэффициентов

Множество величин {С% }^ > = _ называется спектром мощности периодического сигнала, а множество комплексных чисел {С п - спектральной последовательностью периодического сигнала. Именно эти три характеристики (спектр амплитуд, спектр фаз и спектр мощности) относятся к основным спектральным характеристикам периодического сигнала.

В отличие от амплитудного и фазового спектров периодического сигнала, представленного в форме тригонометрического ряда Фурье (7.24), спектры того же сигнала, построенные с использованием комплексных коэффициентов Фурье (7.37), оказываются двухсторонними. Это является следствием наличия в (7.36) «отрицательных частот» пО. (для отрицательных значений п). Последние, разумеется, не существуют в реальности. Они только отражают используемое при формировании комплексного ряда Фурье представление экспоненциальной гармонической функции е~ т в виде единичного вектора, вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью со.

Если существует изображение по Лапласу базового импульса периодического сигнала Х Т (р) = L{x T (t)}, то спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала можно вычислять по формулам

Известны и успешно применяются на практике алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье , благодаря которым удается настолько снизить время вычисления коэффициентов Фурье, что спектры сигналов при их обработке получают практически в режиме реального времени .

В заключение отметим три наиболее важных свойства спектральных характеристик периодического сигнала.

• 1. Если x(t) - четная функция, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Im{C w } равны нулю и, напротив, если эта функция нечетная, то вещественные составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Re{C„} равны нулю.
• 2. В точке разрыва первого рода t = t r функции x(t) сумма ряда Фурье S(t) равна полусумме предельных значений функции при приближении аргумента к точке разрыва t = t r слева и справа, т.е.

Примечание : если значения функции х{€) на концах +Г) базового импульса x T (t) не равны между собой, то при периодическом продолжении импульса эти точки становятся точками разрыва первого рода.

3. Мощности периодического сигнала во временной и частотной областях равны между собой, т.е.

Это соотношение выражает теорему Парсеваля.

Наличие в формуле (7.36) «отрицательных частот» nQ. (для гг

1.2 Спектральные характеристики сигналов

Сигналы, используемые в радиотехнике, имеют достаточно сложную структуру. Математическое описание таких сигналов является трудной задачей. Поэтому для упрощения процедуры анализа сигналов и прохождения их через радиотехнические цепи используют прием, предусматривающий разложение сложных сигналов на совокупность идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.

Гармонический спектральных анализ периодических сигналов предполагает разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которые сохраняют свою форму в процессе преобразования линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фазы), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.

Ряд Фурье можно представить в виде

Практическое применение имеет другая форма записи ряда Фурье

где – амплитудный спектр;

– фазовый спектр.

Комплексная форма ряда Фурье

Представленные выше формулы используются для получение спектральной характеристики периодического сигнала. Для получения спектра непериодического сигнала используются преобразования Фурье.

Прямое преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье

Выражения (1.5), (1.6) являются основными соотношениями для получения спектральных характеристик.

1.3 Свойства преобразования Фурье

Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(jω) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(jω) определить сигнал s(t). Для обозначения этого соответствия между сигналом и его спектром применяется символ s(t)↔ S(jω).

С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.

Основные свойства:

1. Линейность

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s n (t)↔ S n (jω)

_____________________

Воспользуемся прямым преобразованием Фурье

Окончательный результат

Вывод: прямое преобразование Фурье, является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.

2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени

s(t±t 0)↔ S c (jω)

Окончательный результат

Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t 0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину ±ωt 0 . Амплитудный спектр не изменяется.

3. Изменение масштаба во времени

s(αt)↔ S м (jω)

Окончательный результат

Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

4. Спектр производной

ds(t)/dt↔ S п (jω).

Для определения спектра производной сигнала возьмем производную по времени от правой и левой части обратного преобразования Фурье:

Окончательный результат

Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω>0 и равная -π/2 при ω

5. Спектр интеграла

Возьмем интеграл от правой и левой части обратного преобразования Фурье

Сравнивая результат с обратным преобразованием Фурье, получаем

Окончательный результат

Вывод: спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на jω. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовом характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2 при ω 0.

6. Спектр произведения двух сигналов

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s 2 (t)↔ S 2 (jω)

s 1 (t) s 2 (t)↔ S пр (jω).

Найдем спектр произведения двух сигналов с помощью обратного преобразования Фурье

Окончательный результат

Вывод: Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1/(2π).

В ходе расчета спектров сигнала будут использованы свойства линейности и интеграла сигнала.

1 .4 Классификация и свойства радиотехнических цепей

В теоретических основах радиотехники большое место занимают методы анализа и синтеза различных радиотехнических цепей. При этом под радиотехнической цепью понимают совокупность соединенных определенным образом пассивных и активных элементов, обеспечивающих прохождение и функциональное преобразование сигналов. Пассивные элементы – это резисторы, емкости, катушки индуктивности и средства их соединения. Активные элементы – это транзисторы, электронные лампы, источники питания и другие элементы, способные вырабатывать энергию, увеличивать мощность сигнала. Если возникает потребность подчеркнуть функциональное назначение цепи, то вместо термина цепь используется термин устройство. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде

где T – оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора T и двух множеств X = {}, Y = {} сигналов на входе и выходе цепи так, что

По виду преобразования входных сигналов в выходные, т.е. по виду оператора T, производят классификацию радиотехнических цепей.

1. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор T таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности.

Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, т.е. линейное преобразование не приводит к обогащению спектра сигнала.

2. Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор T не обеспечивает выполнения условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией входного сигнала или его производных. Нелинейные цепи не удовлетворяют принципу суперпозиции. При анализе прохождения сигналов через нелинейную цепь результат определяется как отклик на сигнал как таковой. Его нельзя разлагать на более простые сигналы. В то же время нелинейные цепи обладают очень важным свойством – обогащать спектр сигнала. Это значит, что при нелинейных преобразованиях в спектре выходного сигнала появляются гармонические составляющие с частотами, которых не было в спектре входного сигнала. Возможно появление также составляющих с частотами, равными комбинации частот гармонических составляющих спектра входного сигнала. Это свойство нелинейных цепей обусловило их применение для решения широкого класса задач, связанных с генерацией и преобразованием сигналов. Структурно линейные цепи содержат только линейные элементы, к числу которых относятся и нелинейные элементы, работающие в линейном режиме (на линейных участках своих характеристик). Линейные цепи – это усилители, работающие в линейном режиме, фильтры, длинные линии, линии задержки и др. Нелинейные цепи содержат один или несколько нелинейных элементов. К числу нелинейных цепей относятся генераторы, детекторы, модуляторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители и др.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

НАПРАВЛЕНИЕ

«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»

Методы определения

спектральных характеристик

электрических сигналов

Санкт-Петербург

Введение........................................................................................................................................ 3

Вещественная форма ряда Фурье................................................................................................ 3

Комплексная форма ряда Фурье.................................................................................................. 4

Спектр периодической функции................................................................................................. 5

Преобразование Фурье................................................................................................................. 6

Свойства преобразования Фурье................................................................................................. 7

Спектр дискретного сигнала....................................................................................................... 9

Дискретное преобразование Фурье........................................................................................... 12

Растекание спектра..................................................................................................................... 14

Лабораторная установка и выполнение измерений................................................................ 15

Задания......................................................................................................................................... 17

Приложение 1. Отрезок синусоиды.......................................................................................... 18

Литература................................................................................................................................... 19

Данная работа является первой в цикле лабораторных работ в учебной лаборатории «Методов обработки и передачи информации» (МОПИ) физического факультета СПбГУ. Лаборатория выполняется на втором курсе и поддерживает курс лекций "Физические основы методов обработки и передачи информации". К этому времени курс уже прослушан студентами, лаборатория предназначена для закрепления и расширения знаний в этой области.

Представление о спектре сигнала необходимо для разработки устройств передачи информации, оно находит применение для косвенного измерения других физических величин, и просто расчёта электрической цепи. Знание спектра сигнала позволяет лучше понять его природу и не случайно цикл лабораторных работ начинается именно с этой работы.

Работа будет иметь и расчетный, и экспериментальный характер. Экспериментальная часть работы содержит важный инновационный элемент – применение цифровой обработки сигнала, оцифрованного с помощью системы сбора данных. Кроме того, вся расчетная часть работы, а также обработка результатов экспериментов выполняется на базе современного математического пакета МАТЛАБ и его дополнительной библиотеки – Signal Processing Toolbox. Используются заложенные в них возможности математического моделирования разнообразных типов сигналов, обработки данных.

Предполагается, что читатель знаком с основными приемами работы в этом пакете. Программы расчетов и различные дополнения будут отнесены в Приложения к работе.

Вещественная форма ряда Фурье

Рассмотрим периодическую функцию с периодом, равным : , где – любое целое число. При выполнении определенных условий эта функция может быть представлена в виде суммы, конечной или бесконечной, гармонических функций вида , период которых совпадает с периодом исходной функции , где https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> – константа..gif" width="15" height="17 src=">. Таким образом, мы будем решать задачу о разложении периодической функции в тригонометрический ряд:

(1)

Отдельное слагаемое этой суммы https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Наша задача заключается в том, чтобы подобрать такие коэффициенты и , при которых ряд (1) будет сходиться к заданной функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)

где новые коэффициенты выражаются как https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height="117"> (3)

Можно доказать, что тригонометрический ряд будет сходиться равномерно к функции https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif" width="28" height="23 src="> может быть приближена с определённой точностью тригонометрическим полиномом порядка N , то есть конечным числом слагаемых.

Комплексная форма ряда Фурье

Другая, комплексная форма тригонометрического ряда, получается, если записать синусы и косинусы в (2) через комплексные экспоненты:

(4)

Коэффициенты вещественной и комплексной формы связаны между собой соотношениями:

(5)

Используя формулы (5), из (3) получим выражения для коэффициентов комплексной формы тригонометрического ряда. Эти коэффициенты могут быть записаны для любого номера k следующим образом

(6)

Тригонометрический ряд в комплексной форме равномерно сходится к функции , если сходятся ряды и . Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Спектр периодической функции

Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты и , или комплексные коэффициенты несут полную информацию о периодической с известным периодом https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> и называется вещественным спектром сигнала..gif" width="69" height="41 src=">). Поэтому набор называется амплитудным спектром..gif" width="20" height="24">. В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник..gif" width="61 height=29" height="29">. Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.

Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде

Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как и . Тогда останется только сумма с положительными номерами

После суммирования экспонент с одинаковыми номерами https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)

Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: и .

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> – непрерывно дифференцируемая абсолютно интегрируемая на всей оси функция: . Непериодический сигнал может быть рассмотрен как периодический, но с бесконечно большим периодом. Сделав предельный переход от конечного к бесконечно большому периоду сигнала в формулах (6) и (4), получим формулы для прямого преобразования Фурье:

(10)

и обратного:

(11)

Функцию https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Таким образом, спектр непериодического сигнала – сплошной (в отличие от линейчатого спектра периодического сигнала), он определен на всей оси частот.

Свойства преобразования Фурье

Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.

Линейность . Рассмотрим функции и , имеющие спектры и :

Тогда спектр их линейной комбинации будет:

Задержка во времени ..gif" width="28" height="23 src=">

(14)

Рассчитаем спектр сигнала, сдвинутого во времени: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, тогда и

Получили, что задержка сигнала на время https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.

Изменение масштаба. Считаем, что известен спектр https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height="23">. Вводим новую переменную , делаем замену переменной интегрирования https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)

Умножение на https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> сигнала . Найдем спектр этого сигнала, умноженного на .

Таким образом, умножение сигнала на https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.

Спектр производной. В данном случае ключевым моментом является абсолютная интегрируемость функции. Из того, что интеграл от модуля функции должен быть ограничен, следует, что на бесконечности функция должна стремиться к нулю. Интеграл от производной функции берётся по частям, получившиеся внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как на бесконечности функция стремится к нулю.

(18)

Спектр интеграла. Найдем спектр сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, то есть у сигнала отсутствует постоянная составляющая. Это требование необходимо, чтобы внеинтегральные слагаемые были равны нулю, когда интеграл берётся по частям.

(19)

Теорема о свёртке. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> через и . Для этого в интеграле Фурье от свёртки у одной из функций выполним замену переменой , тогда в показателе экспоненты можно сделать замену https://pandia.ru/text/78/330/images/image072_1.gif" width="449" height="181"> (20)

Преобразование Фурье свёртки двух сигналов даёт произведение спектров этих сигналов.

Произведение сигналов. Известно, что https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> – спектры функций и https://pandia.ru/text/78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> через спектры и ..gif" width="409" height="123"> (21)

Спектр произведения сигналов есть свёртка спектров этих сигналов.

Спектр дискретного сигнала

Особое внимание стоит уделить дискретным сигналам, так как именно такие сигналы используются в цифровой обработке. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного является последовательностью чисел, соответствующих значениям непрерывного сигнала в определённые моменты времени. Условно дискретный сигнал можно рассматривать как непрерывный сигнал, который в определённые моменты времени принимает какие-то значения, а в остальное время равен нулю..gif" width="28" height="23"> на последовательность периодически повторяющихся прямоугольных импульсов – тактирующих импульсов (рис.1).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)

Прямоугольные импульсы имеют длительность https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:

(23)

Амплитуда импульса выбрана таким образом, чтобы интеграл импульса по периоду равнялся . При этом тактирующие импульсы безразмерны. Разложим последовательность таких импульсов в тригонометрический ряд:

(24)

Чтобы получить мгновенные отсчёты сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. Такой тактирующий сигнал назовём идеальным. При этом коэффициенты разложения в ряд Фурье все будут равны 1.

(25)

Точно такой же вид имеет разложение в ряд Фурье функции:

(26)

Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд тактирующего сигнала :

(27)

Тогда дискретный сигнал будет иметь вид:

При вычислении преобразования Фурье дискретного сигнала меняем местами операцию суммировании и интегрирования, а потом используем свойство δ -функции:

Спектр дискретного сигнала является периодической функцией. Рассмотрим экспоненту в отельном слагаемом как функцию частоты..gif" width="45" height="19">, и это, соответственно, будет периодом повторения всего спектра. То есть спектр дискретного сигнала имеет период повторения, равный частоте квантования .

Получим ещё одно представление . В силу того, что является произведением функций и , спектр дискретного сигнала вычисляется как свёртка спектров непрерывного сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif" width="37" height="23">.

(30)

Вычислим , используя (25). Так как периодическая функция, её спектр дискретный.

Таким образом, свёртка (30)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.

Сам факт того, что в результате дискретизации в спектре сигнала происходят качественные изменения, говорит о том, что исходный сигнал может быть искажён, так как он полностью определяется своим спектром. Однако с другой стороны периодическое повторение одного и того же спектра само по себе не вносит ничего нового в спектр, поэтому при определённых условиях, зная значения сигнала в отдельные моменты времени, можно найти какое значение этот сигнал принимал в любой другой момент времени, то есть получить исходный непрерывный сигнал. В этом состоит смысл теоремы Котельникова, которая накладывает условие на выбор частоты квантования в соответствии с максимальной частотой в спектре сигнала.

Если это условие нарушено, то после оцифровки сигнала произойдёт наложение периодически повторяющегося спектра (рис. 2). Получившийся в результате наложения спектр будет соответствовать другому сигналу.

Рис. 2. Перекрывание спектров.

Дискретное преобразование Фурье

В предыдущем разделе было сказано, что при выполнении условия теоремы Котельникова отсчёты дискретного сигнала хранят всю информацию об исходном непрерывном сигнале, а значит и о его спектре. Поэтому спектр сигнала может быть найден и по его дискретным отсчётам, что даёт широкие возможности для анализа сигналов в цифровой обработке. Ранее было показано, что спектр периодического сигнала дискретный, то есть сигнал может быть разложен по определённым гармоникам. Дискретный сигнал имеет периодический спектр. Дискретный периодический сигнал будет иметь дискретный периодический спектр . Дискретный сигнал представляется в виде последовательности значений сигнала в фиксированные моменты времени ..gif" width="19" height="19 src=">, то есть для любого выполняется . Обычно дискретное преобразование Фурье сигнала, заданного отсчётами в виде вектора из элементов, вычисляется по формуле:

(33)

Обратное преобразование Фурье по формуле:

(34)

Сравнивая (33) с (4) получаем, что комплексная амплитуда гармоники с номером https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> и соответствует частоте или, что тоже самое , где частота квантования в герцах: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> – период квантования, период считается равным длительности записанного фрагмента сигнала.

В MATLAB дискретное преобразование Фурье выполняется с помощью команды fft (Fast Fourier Transform), которая производит вычисления по специальному алгоритму быстрого преобразования. Синтаксис команды:

y = fft(x, n, dim)

x – вектор с отсчётами сигнала;

y – вектор с результатом преобразования ;

n – необязательный параметр, определяющий количество отсчётов сигнала, используемое для выполнения преобразования. В этом случае вектор y будет состоять из n элементов;

dim – необязательный параметр, определяющий номер размерности, по которой выполняется преобразование. Используется, когда в переменной x содержится несколько сигналов, каждый в столбце или строке, на что указывает переменная dim.

Аналогичный интерфейс имеет команда, с помощью которой выполняется обратное преобразование:

x = ifft(н, n, dim)

Команда fft возвращает массив, в котором амплитуды гармоник соответствуют частотам гармоник в диапазоне https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=">, более привычным для восприятия. Вообще, если все значения вектора x вещественны, что характерно для любой измеряемой физической величины, то, как было показано выше (9), значение имеют только гармоники в диапазоне частот https://pandia.ru/text/78/330/images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.

Например, регистрировался синусоидальный сигнал с периодом , а длительность записи равна , причём , где – целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">

Рис. 5. Лабораторная установка.

Рассмотри каждый блок этой схемы подробнее.

1. Источником аналоговых модельных сигналов является Генератор модельных сигналов. В качестве него могут использоваться следующие приборы (по выбору преподавателя):

· Стандартный лабораторный генератор сигналов различной формы (синусоидальные и прямоугольные импульсы);

· Цифровой генератор, собранный на цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) устройства L-Card;

· С помощью MATLAB сигналы могут быть воспроизведены на звуковой карте компьютера.

С использованием MATLAB стало возможно воспроизводить сигналы практически любой формы, спектр которых находится в звуковом диапазоне, возможности ограничены лишь характеристиками звуковой карты, а именно частотой квантования, частотной характеристикой и максимально возможным значением напряжения. Звуковые карты, предназначенные в первую очередь для воспроизведения звука, имеют частотную характеристику, позволяющую воспроизводить сигнал в диапазоне частот приблизительно от 100Гц до 20кГц. Эти границы определяются внутренним устройством звуковой карты, обычно, там используются фильтры, ограничивающие спектр сигнала в этом диапазоне. Другая особенность звуковой карты состоит в том, что большинство из них могут работать только с определёнными частотами квантования: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц и 44100Гц. Выходное напряжение для разных звуковых карт может отличаться, но, обычно, максимально возможное значение около 1В. Преимущество звуковой карты:

Они есть практически в любом компьютере;

Поддерживаются многими программами, в том числе MATLAB и Simulink.

Недостатки:

Для разных плат характеристики могут сильно отличаться;

Как измерительный прибор они не имеют класса точности;

Отсутствие внутренних схем защиты (гальванических или оптических развязок), что может привести к выходу из строя.

2. Аналоговые сигналы, снимаемые с выхода какого-нибудь из перечисленных выше генераторов, визуально контролируются на экране электронно-лучевого осциллографа. Такой контроль необходим чтобы пронаблюдать форму генерируемых сигналов и установить их параметры – амплитуду, длительность, период повторения и т. д.

3. Следующим элементом экспериментальной установки является фильтр нижних частот (ФНЧ). Это аналоговое устройство, которое обычно используется в таких схемах. Его назначение – ограничить спектр исследуемых сигналов сверху, чтобы удовлетворить условиям теоремы Котельникова. Максимальная частота квантования L-Card составляет 125 кГц, тогда, из теоремы Котельникова для восстановления сигнала без искажений спектр сигнала не должен превосходить f гр :

По указанию преподавателя, следует спаять простейший фильтр нижних частот. Его схема приведена на рис. 6.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)

4. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) – устройство для превращения аналоговых сигналов в цифровые реализации, доступные обработке на компьютере. В нашей лаборатории используются АЦП фирмы L-Card типа L-761 и L-783, размещенной непосредственно в системном блоке компьютера.

Задания

1. Аналитически рассчитать спектральные функции заданных преподавателем периодических сигналов простой формы (прямоугольный видеоимпульс, треугольный импульс, экспоненциальный импульс и др.). Построить графики амплитудного и фазового спектра этих сигналов.

2. Выполнить Фурье–анализ перечисленных сигналов в MATLAB, используя быстрое преобразование Фурье (FFT). Построить соответствующие графики амплитудных и фазовых спектров в области положительных и отрицательных частот (используя функции fft, fftshift, stem, предварительно посмотрев их в документации). Амплитуды гармоник и их частоты на графиках должны соответствовать их значениям в заданном сигнале. Особое внимание обратить на влияние соотношения длительности импульсов и времени записи сигнала на спектр сигнала, объяснить результат. Для каждого типа сигнала в одних и тех же координатах построить графики амплитудных спектров, найденных аналитически (задание 1) и численно рассчитанных.

3. С помощью команды FFT найти и сравнить спектры отрезков синусоиды, состоящих из целого и не целого числа периодов.

4. Провести спектральный анализ отрезка синусоиды, состоящего из нескольких периодов. Проследить, как меняется спектр в зависимости от числа периодов.

5. С помощью цифрового осциллографа L-Graph пронаблюдать искажение сигнала в результате нарушения теоремы Котельникова. Для этого подключить аналоговый генератор гармонического сигнала к L-Card, задать частоту квантования, например, 20кГц, и, плавно меняя частоту генератора в диапазоне от 1кГц до 20кГц, наблюдать за частотой оцифрованного сигнала, объяснить наблюдаемые эффекты.

6. Установить частоту квантования 100кГц, частоту генератора гармонического сигнала 10кГц, амплитуду 1В. Записать отрезок гармонического сигнала длительностью 0,01с и построить в MATLAB его амплитудный спектр. При этом частоты и амплитуды на графике должны соответствовать тем, которые есть на самом деле.

7. Используя результаты, полученные в первом задании, аппроксимировать прямоугольный импульс конечным числом слагаемых тригонометрического ряда. Сравнить на одном графике исходный импульс и аппроксимированный двумя первыми гармониками, десятью первыми гармониками.

Приложение 1. Отрезок синусоиды

Для выполнения одного из заданий потребуется написать программу для вычисления спектра синусоиды, ниже приведён пример такой программы. В начале программы определяются параметры, задающие длительность сигнала в периодах и количество периодов. Меняя эти параметры можно получить различные варианты отрезка синусоиды.

clear, clc, close all

f0 = 1000; % частота синуса

N1 = 20; % длительность всего трезка в периодах

N2 = 10; % количество отсчётов на период

N3 = 2; % количество периодов

N = N1*N2; % количество отсчётов во всей записи

fs = f0*N2; % частота квантования

% создаём сигнал

t = (0:(N-1))/fs; % время

x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);

% вычисляем спетр

X = fftshift(abs(fft(x))/N);

f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;

subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, с"), ylabel("x(t)")

subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Гц"), ylabel("|X|")

1. Будылин и интегралы Фурье. СПбГУ. 2002.

2. , Ромаданов преобразования в MATLAB. СПб. 2007

3. Смирнов высшей математики (том