Графическое представление ряда фурье. Представление периодической функции в виде ряда фурье

В прошлом веке Иван Бернулли, Леонард Эйлер, а затем и Жан-Батист Фурье впервые применили представление периодических функций тригонометрическими рядами. Это представление изучается достаточно подробно в других курсах, поэтому напомним только основные соотношения и определения.

Как уже отмечалось выше, всякую периодическую функцию u(t) , для которой выполняется равенство u(t)=u(t+T) , где T=1/F=2p/W , можно представить рядом Фурье:

Каждое слагаемое этого ряда можно разложить по формуле косинуса для разности двух углов и представить в виде двух слагаемых:

,

где: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , так что , а

Коэффициенты А n и В n определяются по формулам Эйлера:

;
.

При n=0 :

а B 0 =0.

Коэффициенты А n и В n , являются средними значениями произведе­ния функции u(t) и гармонического колебания с частотой nw на интервале длительностью Т . Мы уже знаем (раздел 2.5), что это функции взаимной корреляции, определяющие меру их связи. Следовательно, коэффициенты A n и B n показывают нам "сколько" синусоиды или косинусоиды с час­тотой nW содержится в данной функции u(t) , разлагаемой в ряд Фурье.

Таким образом, мы можем представить периодическую функцию u(t) в виде суммы гармонических колебаний, где числа C n являются амплитудами, а числа φ n - фазами. Обычно в литературе называется спектром амплитуд, а - спектром фаз. Часто рассматривается только спектр амплитуд, который изображается в виде линий, расположенных в точках nW на оси частот и имеющих высоту, соответствующую числу C n . Однако следует пом­нить, что для получения однозначного соответствия между времен­ной функцией u(t) и её спектром необходимо использовать и спектр амплитуд, и спектр фаз. Это видно из такого простого примера. У сигналов и будет одинаковый спектр амплитуд, но совершенно разный вид временных функций.

Дискретный спектр может иметь не только периодическая функция. Например, сигнал: не является периодическим, но имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий. Также не будет строго периодическим сигнал, состоящий из последовательности радиоимпульсов (импульсов с высокочастотным заполнением), у которых период следования постоянен, но начальная фаза высокочастотного заполнения меняется от импульса к импульсу по какому-либо закону. Такие сигналы называются почти периодическими. Как мы увидим в дальнейшем, они также имеют дискретный спектр. Исследование физической природы спектров таких сигналов, мы будем выполнять так же, как и периодических.

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.

Цифровые фильтры (Лекция)

По виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса:

· Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры, трансверсальные фильтры, нерекурсивные фильтры). Знаменатель передаточной функции таких фильтров - некая константа.

КИХ - фильтры характеризуются выражением:

· Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.

БИХ - фильтры характеризуются выражением:

Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтров выходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.

Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.

Е диничный сигнал

Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.

Задержанный е диничный сигнал определяется следующим образом:

Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.

Сигналы и спектры

Дуальность (двойственность) представления сигналов.

Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.

Причем, частотных плоскостей – несколько.

Временная плоскость.

Преобразования.

Частотная плоскость.

Для просмотра сигнала во временной плоскости существует прибор:

Представим, что здесь есть достаточно длинный синусоидальный сигнал (в 1 сек. 1000 раз повторилась синусоида):

Возьмем сигнал с частотой, в два раза больше:

Сложим эти сигналы. Получим не синусоиду, а искаженный сигнал:

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость производятся с помощью преобразований Фурье.

Для просмотра сигнала в частотной плоскости существует прибор:

Частота циклическая или круговая (f ).

Частотная плоскость покажет засечку:

Величина засечки пропорциональна амплитуде синусоиды, а частота:

Для второго сигнала частотная область покажет другую засечку:

Во временной области суммарного сигнала появится 2 засечки:

Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.

Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.

Три формы записи рядов Фурье.

Существует три формы записи рядов Фурье:

· Синус - косинусная форма.

· Вещественная форма.

· Комплексная форма.

1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:

Входящие в формулу кратные частоты kω 1 называются гармониками ; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k ; частота ωk = kω 1называется k -й гармоникой сигнала.

Это выражение говорит о следующем: что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:

T – период повторений этой функции;

ω - круговая частота.

, где

t – текущее время;

T – период.

При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некоторое количество гармоник.

Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.

Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:

; ;

Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т. к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.

Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.

Практически все функции являются четными или нечетными:

ЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ

НЕЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ

Характеризуется уравнением:

Например, функция Cos :

у которой: t = −t

Четная функция симметрична относительно

оси ординат.

Если функция четная, то все синусные коэффициенты bk косинусные слагаемые.

Характеризуется уравнением:

Например, функция Sin :

Нечетная функция симметрична относительно центра .

Если функция нечетная, то все косинусные коэффициенты ak будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только синусные слагаемые.

2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.

Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т. е. для каждой гармоники с частотой kω 1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

, где

;

Если S (t ) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π , а если S (t ) - функция нечетная, то возможные значения для фазы φ равны + π /2.

Если bk = 0, тогда tg φ = 0 и угол φ = 0

Если ak = 0, тогда tg φ – бесконечен и угол φ =

В этой формуле может быть и минус (смотря какое направление взято).

3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ejθ = Cosθ + jSinθ ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a 0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

Формула расчета коэффициентов Ck ряда Фурье:

Если S (t ) является четной функцией, коэффициенты ряда Ck будут чисто вещественными , а если S (t ) - функция нечетная , коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми .

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром , а совокупность их фаз – фазовым спектром .

Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов Ck ряда Фурье:

Re (Ck ) – спектр амплитуд.

Спектр прямоугольных сигналов.

Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A , длительностью τ и периодом повторения T . Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые ak , равные:

Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g: g =T /τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin(x)/x:

Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная τ /T .

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0 Sin(x )/x →1, то

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin(x )/x .

График функции Sin(x )/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (π k/ g ) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π /T . Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π /τ , т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Вывод : для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.

Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.

Задача в постановке:

Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):

COEFFS: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; определяем порты ввода.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; определяем порты вывода.

ORG P: 0 ; организация P-памяти.

RESET: JMP START ; безусловный переход на метку START.

P:100 ; программа начнется с сотой ячейки.

START: MOVE BUF_X, R0 ; начальный адрес X вводим в R0.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ;перех. к мод. ариф.(зап. число на 1мен.,чем поряд. этого буф.)

MOVE# COEFFS, R4 ; организация цикл. буфера для коэффиц. в Y-памяти.

MOVE# M0, M4 ; т. к.длина должна совпадать, то перес. из M0 в M4.

CLRA ; обнулим аккумулятор.

REP# ORDFIL ; повторить цепочечную операцию.

MOVE A, X: (R4) + ; испол. автоинкремент и все ячейки буф. обнуляем.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0) ;побайт. пересылка показаний(послед. умн. на b0 ).

REP# ORDFIL─1 ; повт. цепочечную операцию(39раз умн. без округления)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ;умн. X0наY0, рез. в ак; подг. сл. опер.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; побайтная пересылка содерж. аккумулятора.

JMP LOOP ; безусловный переход на метку LOOP.

Порядок проектирования цифровых фильтров.

Порядок проектирования цифровых фильтров прежде всего связан с типом фильтра по линии частотных характеристик. Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. Имеется четыре типа:

1.) Фильтры нижних частот (ФНЧ; английский термин – low-pass filter), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза ω 0.

2.) Фильтры верхних частот (ФВЧ; английский термин – high-pass filter), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза ω 0.

3.) Полосовые фильтры (ПФ; английский термин – band-pass filter), пропускающие частоты в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они могут также характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Режекторные фильтры (другие возможные названия – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр; английский термин – band-stop filter), пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они также могут характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 и шириной полосы пропускания Δ ω = ω 2 – ω 1).

Идеальная форма АЧХ фильтров этих четырех типов:

Однако, такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ.

Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа , представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с.

1.) Фильтр Баттерворта:

Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта (Butterworth filter) не имеет нулей, а её полюсы равномерно расположены на s -плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.

Для фильтра Баттерворта частота среза определяется по уровню 1/. Фильтр Баттерворта обеспечивает максимально плоскую вершину в полосе пропускания.

2.) Фильтр Чебышева первого рода:

Функция передачи фильтра Чебышева первого рода (Chebyshev type I filter) также не имеет нулей, а её полюсы расположены в левой половине эллипса на s -плоскости. Для фильтра Чебышева первого рода частота среза определяется по уровню пульсаций в полосе пропускания.

По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка, фильтр Чебышева обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания.

3.) Фильтр Чебышева второго рода:

Функция передачи фильтра Чебышева второго рода (Chebyshev type II filter), в отличие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полюсы. Фильтры Чебышева второго рода называют ещё инверсными фильтрами Чебышева (inverse Chebyshev filter). Частотой среза фильтра Чебышева второго родасчитается не конец полосы пропускания, а начало полосы задерживания . Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен нулю при нечетном порядке фильтра и уровню пульсаций – при четном. При ω = 0 АЧХ фильтра Чебышева второго рода является максимально плоской.

4.) Эллиптические фильтры:

Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра; английские термины – elliptic filter, Cauer filter) в некотором смысле объединяют в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого удается обеспечить максимально возможную (при фиксированном порядке фильтра) крутизну ската АЧХ, т. е. переходной зоны между полосами пропускания и задержания.

Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае фильтра Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции передачи равно максимальному четному числу, не превосходящему порядка фильтра.

Функции MATLAB для расчета фильтров Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, а также эллиптических фильтров, позволяют рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры. Функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза.

Порядок фильтра зависит:

от допустимой неравномерности в полосе пропускания от величины зоны неопределенности. (Чем меньше зона неопределенности, тем круче спад частотной характеристики).

Для КИХ-фильтров порядок составляет несколько десятков или сотен, а для БИХ-фильтров порядок не превышает несколько единиц.

Пиктограммы дают возможность посмотреть все коэффициенты. Проектирование фильтра производится на одном окне.

Часто математическое описание даже несложных по структуре и форме детерминированных сигналов является трудной задачей. Поэтому используют оригинальный прием, при котором реальные сложные сигналы заменяют (представляют, аппроксимируют) набором (взвешенной суммой, т.е. рядом) математических моделей, описываемых элементарными функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения электрических сигналов через электронные цепи. Кроме того, представление сигнала может использоваться и как исходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить обратную задачу - синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций.

Спектральное представление периодических сигналов рядами Фурье

Обобщенный ряд Фурье.

Фундаментальная идея спектрального представления сигналов (функций) восходит к временам более чем 200-летней давности и принадлежит физику и математику Ж. Б. Фурье .

Рассмотрим системы элементарных ортогональных функций, каждая из которых получается из одной исходной - функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль «строительного блока», а искомая аппроксимация находится соответствующим комбинированием одинаковых блоков. Фурье показал, что любую сложную функцию можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда кратных гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в цепи. Солнечный луч, разложенный призмой на спектр цветов, представляет собой физический аналог математических преобразований Фурье (рис. 2.7).

Свет, выходящий из призмы, разделен в пространстве на отдельные чистые цвета, или частоты. В спектре имеется средняя амплитуда на каждой частоте. Таким образом, функция интенсивности от времени трансформировалась в функцию амплитуды в зависимости от частоты. Простой пример иллюстраций рассуждений Фурье показан на рис. 2.8. Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 2.8, а) - это сумма двух гармоник разных, но кратных частот: одинарной (рис. 2.8, б) и удвоенной (рис. 2.8, в).

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

а - сложное колебание; б,в- 1-й и 2-й аппроксимирующие сигналы

При помощи спектрального анализа Фурье сложная функция представляется суммой гармоник, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и начатьную фазу. Преобразование Фурье определяет функции, представляющие амплитуду и фазу гармонических составляющих, соответствующие конкретной частоте, а фаза - начальная точка синусоиды.

Преобразование можно получить двумя разными математическими методами, один из которых применяют, когда исходная функция непрерывна, а другой - когда она задается множеством отдельных дискретных значений.

Если исследуемая функция получена из значений с определенными дискретными интервалами, то ее можно разбить на последовательный ряд синусоидальных функций с дискретными частотами - от самой низкой, основной или главной частоты, и далее с частотами вдвое, втрое и т.д. выше основной. Такая сумма составляющих и называется рядом Фурье.

Ортогональные сигналы. Удобным способом спектрального описания сигнала по Фурье является его аналитическое представление с помощью системы ортогональных элементарных функций времени. Пусть имеется гильбертово пространство сигналов u 0 (t) y г/,(?), ..., u n (t) с конечной энергией, определенных на конечном или бесконечном интервале времени (t v 1 2). На этом отрезке зададим бесконечную систему (подмножество) взаимосвязанных элементарных функций времени и назовем ее базисной".

где г = 1, 2, 3,....

Функции u(t) и v(t) ортогональны на интервале (?, ? 2), если их скалярное произведение при условии что ни одна из этих функций нс равна тождественно нулю.

В математике так задают в гильбертовом пространстве сигналов ортогональный координатный базис , т.е. систему ортогональных базисных функций.

Свойство ортогональности функций (сигналов) связано с интервалом их определения (рис. 2.9). Например, два гармонических сигнала м,(?) = = sin(2nr/7’ 0) и u.,(t) = sin(4nt/T Q) (т.е. с частотами/ 0 = 1/7’ 0 и 2/ 0 соответственно) ортогональны на любом интервале времени, длительность которого равна целому числу полупериодов Т 0 (рис. 2.9, а). Следовательно, в первом периоде сигналы и { (1) и u 2 (t) ортогональны на интервале (0, 7" 0 /2); но на интервале (О, ЗГ 0 /4) они неортогональны. Па рис. 2.9, б сигналы ортогональны из-за разновременности их появления.

Рис. 2.9.

а - на интервале; б - из-за разновременности появления Представление сигнала u(t) элементарными моделями существенно упрощается, если выбрана система базисных функций vff), обладающих свойством ортонормированности. Из математики известно, если для любой пары функций из ортогональной системы (2.7) выполняется условие

то система функций (2.7) ортонормированна.

В математике такую систему базисных функций вида (2.7) называют ор- тонормированным базисом.

Пусть на заданном интервале времени |г, t 2 | действует произвольный сигнал u(t) и для его представления используется ортонормированная система функций (2.7). Проектирование произвольного сигнала u(t) на оси координатного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье. Это разложение имеет вид

где с, - некоторые постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов с к обобщенного ряда Фурье выберем одну из базисных функций (2.7) v k (t) с произвольным номером к. Умножим обе части разложения (2.9) на эту функцию и проинтегрируем результат по времени:

Вследствие ортонормированности базиса выбранных функций в правой части этого равенства все члены суммы при i ^ к обратятся в нуль. Ненулевым останется только единственный член суммы с номером i = к, поэтому

Произведение вида c k v k (t), входящее в обобщенный ряд Фурье (2.9), представляет собой спектральную составляющую сигнала u(t), а совокупность коэффициентов (проекций векторов сигнала на оси координат) {с 0 , с,..., с к, ..., с„} полностью определяет анализируемый сигнал ii(t) и называется его спектром (от лат. spectrum - образ).

Суть спектрального представлениия (анализа ) сигнала состоит в определении коэффициентов с я в соответствии с формулой (2.19).

Выбор рациональной ортогональной системы координатного базиса функций зависит от цели исследований и определяется стремлением максимального упрощения математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и др. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармонических функций: комплексных экспоненциальных exp(J 2лft) и вещественных тригонометрических синусно-косинусных функций, связанных формулой Эйлера е >х = cosx + y"sinx. Это объясняется тем, что гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет свою форму при прохождении через линейные цепи с постоянными параметрами, а изменяются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Также широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Операцию представления детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной составляющей (constant component) и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято называть спектральным разложением. Достаточно распространенное использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано также с его очень важным свойством: при выбранной ортонормированной системе функций v k (t) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.9) он обеспечивает наилучшее представление заданного сигнала u(t). Это свойство рядов Фурье широко известно.

При спектральном представлении сигналов наибольшее применение получили ортонормированные базисы тригонометрических функций. Это обусловлено следующим: гармонические колебания наиболее просто генерировать; гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями.

Оценим временное и спектральное представления аналогового сигнала (рис. 2.10). На рис. 2.10, а показана временная диаграмма сложного по форме непрерывного сигнала, а на рис. 2.10, б - его спектральное разложение.

Рассмотрим спектральное представление периодических сигналов в виде суммы либо гармонических функций, либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Периодическим называют сигнал и„(?). повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.11):

где Г - период повторения или следования импульсов; п = 0,1, 2,....

Рис. 2.11. Периодический сигнал

Если Т является периодом сигнала u(t), то периодами будут и кратные ему значения: 2Г, 3Т и т.д. Периодическая последовательность импульсов (их называют видеоимпульсами ) описывается выражнением

Рис. 2.10.

а - временная диаграмма; б - амплитудный спектр

Здесь u Q (t) - форма одиночного импульса, характеризующаяся амплитудой (высотой) h = Е, длительностью т„, периодом следования Т= 1/F(F - частота), положением импульсов во времени относительно тактовых точек, например t = 0.

При спектральном анализе периодических сигналов удобна ортогональная система (2.7) в виде гармонических функций с кратными частотами:

где со, = 2п/Т- частота следования импульсов.

Вычисляя интегралы, по формуле (2.8) легко убедиться в ортогональности этих функций на интервале [-Г/2, Г/2|. Любая функция удовлетворяет условию периодичности (2.11), поскольку частоты их кратны. Если систему (2.12) записать как

то получим ортонормированный базис гармонических функций.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье:

Из курса математики известно, что разложение (2.11) существует, т.е. ряд сходится, если функция (в данном случае сигнал) u(t) на интервале [-7/2, 7/2] удовлетворяет условиям Дирихле (в отличие от теоремы Дирихле их часто трактуют упрощенно):

• не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями);
• функция ограничена и имеет конечное число разрывов 1-го рода (скачков);
• функция имеет конечное число экстремумов (т.е. максимумов и минимумов).

В формуле (2.13) имеются следующие компоненты анализируемого сигнала:

Постоянная составляющая

Амплитуды косинусоидальных составляющих

Амплитуды синусоидальных составляющих

Спектральную составляющую с частотой со, в теории связи называют первой (основной ) гармоникой , а составляющие с частотами исо, (п > 1) - высшими гармониками периодического сигнала. Шаг по частоте Асо между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называют частотным разрешением спектра.

Если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t ), то в тригонометрической записи ряда Фурье (2.13) отсутствуют синусоидальные коэффициенты Ь п, так как в соответствии с формулой (2.16) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (2.15) нулю равны косинусоидальные коэффициенты а п (постоянная составляющая а 0 также отсутствует), и ряд содержит составляющие Ь п.

Пределы интегрирования (от -7/2 до 7/2) не обязательно должны быть такими, как в формулах (2.14)-(2.16). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной 7 - результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от О до 7 или от -7 до 0 и т.д.

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией времени u(t ) и спектральными коэффициентами а п, Ь п, называют гармоническим анализом вследствие связи функции u(t) с синусоидальными и косинусоидальными членами этой суммы. Далее спектральный анализ в основном ограничен рамками гармонического анализа, находящего исключительное применение.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования п (т.е. для каждой гармоники с частотой mOj) в формуле (2.13) фигурируют два слагаемых - косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме/.

где А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь - амплитуда; п-й гармоники сигнала. Иногда в соотношении (2.17) перед ср Л ставят знак «плюс», тогда начальную фазу гармоник записывают как ср и = -arctg (b n fa n).

В теории сигналов широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент по формуле Эйлера:

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (2.17), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать в формуле (2.19) экспоненты при частоте со, со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А 0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье

Комплексная амплитуда п -й гармоники.

Значения С п по положительным и отрицательным номерам п являются комплексно-сопряженными.

Отметим, что ряд Фурье (2.20) представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn(o { t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Определим связь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье. Очевидно, что

Можно также показать, что коэффициенты а п = 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f .

Если u(t) является четной функцией, коэффициенты ряда С, будут вещественными, а если u(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда станут мнимыми.

Спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье (2.20) содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Но отрицательные частоты в природе не существуют, и это математическая абстракция (физический смысл отрицательной частоты - вращение в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное). Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой. При переходе от комплексной формы записи (2.20) к вещественной (2.17) отрицательная частота пропадает.

Наглядно о спектре сигнала судят но его графическому изображению - спектральной диаграмме (рис. 2.12). Различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармоник А п (рис. 2.12, а) называют амплитудным спектром , их фаз (рис. 2.12, б) ср я - фазовым спектром. Совокупность С п = |С п является комплексным амплитудным спектром (рис. 2.12, в). На спектральных диаграммах но оси абсцисс откладывают текущую частоту, а но оси ординат - либо вещественную, либо комплексную амплитуду или фазу соответствующих гармонических составляющих анализируемого сигнала.

Рис. 2.12.

а - амплитудный; б - фазовый; в - амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Спектр периодического сигнала называют линейчатым или дискретным , так как он состоит из отдельных линий с высотой, равной амплитуде А п гармоник. Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку он позволяет оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала. В теории сигналов доказано, что амплитудный спектр есть четная функция частоты , а фазовый - нечетная.

Отметим эквидистантность (равноудаленность от начала координат) комплексного спектра периодических сигналов: симметричные (положительные и отрицательные) частоты, на которых расположены спектральные коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, образуют эквидистантную последовательность (..., -жo v ..., -2со р -со р 0, v 2со, ..., nco v ...), содержащую частоту со = 0 и имеющую шаг co t = 2л/7’. Коэффициенты могут принимать любые значения.

Пример 2.1

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой?, длительностью т и и периодом повторения Т. Сигнал - функция четная (рис. 2.13).

Рис. 2.13.

Решение

Известно, что идеальный прямоугольный видеоимпульс описывается следующим уравнением:

т.е. он формируется как разность двух единичных функций а(?) (функций включения), сдвинутых во времени на т н.

Последовательность прямоугольных импульсов представляет собой известную сумму одиночных импульсов:

Поскольку заданный сигнал является четной функцией времени и в течение одного периода действует только на интервале [т и /2, т и /2], то согласно формуле (2.14)

где q = Т/ т„.

Анализируя полученную формулу, можно заметить, что период следования и длительность импульсов входят в нее в виде отношения. Этот параметр q - отношение периода к длительности импульсов - называют скважностью периодической последовательности импульсов (в зарубежной литературе вместо скважности используют обратную величину - коэффициент заполнения , от англ, duty cycle , равный т и /7); при q = 2 последовательность прямоугольных импульсов, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными, называют меандром (от греч. paiav5poq - узор, геометрический орнамент).

В силу четности функции, описывающей анализируемый сигнал, в ряде Фурье наряду с постоянной составляющей будут присутствовать только косинусоидальные составляющие (2.15):

В правой части формулы (2.22) второй сомножитель имеет вид элементарной функции (sinx)/x. В математике эту функцию обозначают как sinc(x), причем только при значении х = 0 она равна единице (lim (sinx/x) =1), проходит

через нуль в точках х = ±л, ±2л,... и затухает с ростом аргумента х (рис. 2.14). Окончательно тригонометрический ряд Фурье (2.13), который аппроксимирует заданный сигнал, записывают в форме

Рис. 2.14. График функции sinx/x

Функция sine имеет лепестковый характер. Говоря о ширине лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси - в номерах гармоник и частотах. Например, на рис. 2.14 градуировка оси ординат соответствует частотам. Ширина лепестков, измеренная в числе гармоник, равна скважности последовательности. Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности. При скважности импульсов, равной трем, исчезает каждая третья гармоника. Если бы скважность была бы равна двум, то в спектре остались бы лишь нечетные гармоники основной частоты.

Из формулы (2.22) и рис. 2.14 следует, что коэффициенты ряда высших гармоник сигнала имеют отрицательный знак. Это связано с тем, что начальная фаза этих гармоник равна п. Поэтому формулу (2.22) принято представлять в измененном виде:

При такой записи ряда Фурье значения амплитуд всех высших гармонических составляющих на графике спектральной диаграммы положительны (рис. 2.15, а).

Амплитудный спектр сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения Т и длительности импульса т и, т.е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов со 1 = 2л/Т. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2я/т н, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса т и с увеличением не-

Рис. 2.15.

а - амплитудный; б - фазовый

риода их повторения Т основная частота со, уменьшается и спектр становится плотнее.

Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса т и при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’, чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы ср п = arctg(b n /a n). Так как здесь коэффициенты Ь„ = 0, то

где m = 0, 1, 2,....

Соотношение (2.24) показывает, что при вычислениях фаз спектральных составляющих имеем дело с математической неопределенностью. Для ее раскрытия обратимся к формуле (2.22), согласно которой амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(nco 1 x 1I /2). Изменение знака в формуле (2.22) эквивалентно сдвигу фазы этой функции на п. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники (р и = 2тп, а когда отрицательна - = (2т + 1 )к (рис. 2.15, б). Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2.15, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Ряды Фурье произвольных периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. При расчетах спектров таких сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности и не всегда требуется, поэтому ограничиваются суммированием конечного количества слагаемых (ряд «усекают»).

Точность аппроксимации сигнала зависит от числа суммируемых составляющих. Рассмотрим это на примере аппроксимации суммой из восьми первых гармоник последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.16). Сигнал имеет вид однополярного меандра с периодом повторения Т у амплитудой Е = 1 и длительностью импульсов т и = Т /2 (заданный сигнал - функция четная - рис. 2.16, а ; скважность q = 2). Аппроксимация показана на рис. 2.16, б, причем на графиках показано число суммируемых гармоник. В проводимой аппроксимации заданного периодического сигнала (см. рис. 2.13) тригонометрическим рядом (2.13) суммирование первой и высших гармоник будет осуществляться только по нечетным коэффициентам Пу так как при четных их значениях и длительности импульса т и = Т /2 = = тт/со, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) обращается в нуль.

Тригонометрическая форма ряда Фурье (2.23) для заданного сигнала имеет вид

Рис. 2.16.

а - заданный сигнал; 6 - промежуточные стадии суммирования

Для удобства представления ряд Фурье (2.25) можно записать упрощенно:

Из формулы (2.26) очевидно, что гармоники, аппроксимирующие меандр, нечетны, имеют чередующиеся знаки, а их амплитуды обратно пропорциональны номерам. Отметим, что последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для представления рядом Фурье - аппроксимация содержит пульсации и скачки, а сумма любого числа гармонических составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной функцией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет особый интерес. Из графиков рис. 2.16, б нетрудно заметить, как с увеличением числа суммируемых гармоник результирующая функция все точнее приближается к форме исходного сигнала u{t) везде, кроме точек ее разрыва. В окрестности точек разрыва суммирование ряда Фурье дает наклонный участок, причем крутизна наклона результирующей функции возрастает с увеличением числа суммируемых гармоник. В самой точке разрыва (обозначим ее как t = t 0) ряд Фурье u(t 0) сходится к полусумме правого и левого пределов:

На примыкающих к разрыву участках аппроксимируемой кривой сумма ряда дает заметные пульсации, причем на рис. 2.16 видно, что амплитуда основного выброса этих пульсаций не уменьшается с ростом числа суммируемых гармоник - он лишь сжимается по горизонтали, приближаясь к точке разрыва.

При п -? в точках разрыва амплитуда выброса остается постоянной,

а его ширина будет бесконечно узкой. Не изменяются и относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка), и относительное затухание; изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник. Это связано со сходимостью ряда Фурье. Обратимся к классическому примеру: достигнете ли вы когда-нибудь стены, если с каждым шагом будете проходить половину оставшегося расстояния? Первый шаг приведет к отметке половины пути, второй - к отметке на трех его четвертях, а после пятого шага пройдете уже почти 97% пути. Вы почти дошли до цели, однако сколько бы вы еще шагов вперед ни сделали, никогда не достигнете ее в строгом математическом смысле. Можно лишь доказать математически, что в конце концов вы сможете приблизиться на любое заданное сколь угодно малое расстояние. Данное доказательство будет эквивалентно демонстрации того, что сумма чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 и т.д. стремится к единице. Это явление, присущее всем рядам Фурье для сигналов с разрывами 1-го рода (например, скачками, как на фронтах прямоугольных импульсов), называют эффектом Гиббса *. При этом значение первого (самого большого) выброса амплитуды в аппроксимируемой кривой составляет около 9% уровня скачка (см. рис. 2.16, п = 4).

Эффект Гиббса приводит к неустранимой погрешности аппроксимации периодических импульсных сигналов с разрывами 1-го рода. Эффект имеет место при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности. Для ряда практических приложений эффект Гиббса вызывает определенные проблемы. Например, в звуковоспроизводящих системах это явление называют «звоном» или «дребезгом». При этом каждый резкий согласный или другой внезапный звук может сопровождаться коротким неприятным для слуха звуком.

Ряд Фурье может быть применен не только для периодических сигналов, но и для сигналов конечной длительности. При этом оговаривается времен-

ной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Отметим, что и природа (например, слух человека) использует принцип гармонического анализа сигналов. Виртуальное преобразование Фурье человек производит всякий раз, когда слышит звук: ухо автоматически выполняет это, представляя звук в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг человека превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Гармонический синтез. В теории сигналов наряду с гармоническим анализом сигналов широко используют гармонический синтез - получение заданных колебаний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу выше был проведен синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов суммой из ряда гармоник. На практике эти операции выполняют на компьютере, как это показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батист Жозеф Фурье (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французский математик и физик.
• Джозайя Гиббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американский физик и математик, один из основоположников химической термодинамики и статистической физики.

Периодический сигнал любой формы с периодом Т может быть представлен в виде суммы

гармонических колебаний с разными амплитудами и начальными фазами, частоты которых кратны основной частоте . Гармонику этой частоты называют основной или первой, остальные – высшими гармониками.

Тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуды косинусоидальных составляющих;

- амплитуды синусоидальных составляющих.

Четный сигнал (
) имеет только косинусоидальные, а нечетный (
- только синусоидальные слагаемые.

Более удобной является эквивалентная тригонометрическая форма ряда Фурье:

,

где
- постоянная составляющая;

- амплитуда n-ой гармоники сигнала. Совокупность амплитуд гармонических составляющих носит название спектра амплитуд;

- начальная фаза n-ой гармоники сигнала. Совокупность фаз гармонических составляющих носит название спектра фаз.

1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Зависимость спектра от периода следования импульсов и их длительности. Ширина спектра. Разложение в ряд Фурье пппи

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры ПППИ, имеющих амплитуду
, длительность , период следования и расположенных симметрично относительно начала координат (сигнал – четная функция).

Рисунок 5.1 – Временная диаграмма ПППИ.

Сигнал на интервале одного периода можно записать:

Вычисления:

,

Ряд Фурье для ПППИ имеет вид:.

Рисунок 5.2 – Амплитудная спектральная диаграмма ПППИ.

Рисунок 5.3 – Фазовая спектральная диаграмма ПППИ.

Спектр ПППИ линейчатый (дискретный) (представляется набором отдельных спектральных линий), гармонический (спектральные линии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга ω 1), убывающий (амплитуды гармоник убывают с ростом их номера), имеет лепестковую структуру (ширина каждого лепестка равна 2π/τ), неограниченный (интервал частот, в котором располагаются спектральные линии, бесконечен);

При целочисленных скважностях частотные составляющие с частотами, кратными скважности в спектре отсутствуют (их частоты совпадают с нулями огибающей спектра амплитуд);

С увеличением скважности амплитуды всех гармонических составляющих уменьшаются. При этом если оно связано с увеличением периода повторения Т, то спектр становится плотнее (ω 1 уменьшается), с уменьшением длительности импульса τ – становится больше ширина каждого лепестка;

За ширину спектра ПППИ принят интервал частот, содержащий 95% энергии сигнала, (равен ширине двух первых лепестков огибающей):

или
;

Все гармоники, находящиеся в одном лепестке огибающей, имеют одинаковые фазы, равные либо 0 либо π.

1. Использование преобразования Фурье для анализа спектра непериодических сигналов. Спектр одиночного прямоугольного импульса. Интегральные преобразования Фурье

Сигналы связи всегда ограничены во времени и поэтому не являются периодическими. Среди непериодических сигналов наибольший интерес представляют одиночные импульсы (ОИ). ОИ можно рассматривать как предельный случай периодической последовательности импульсов (ППИ) длительностью при бесконечно большом периоде их повторения
.

Рисунок 6.1 – ППИ и ОИ.

Непериодический сигнал может быть представлен суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с исчезающе малыми амплитудами. Спектр ОИ является непрерывным и вводится интегралами Фурье:

-
(1) - прямое преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать спектральную функцию по заданной форме сигнала;

-
(2) - обратное преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать форму по заданной спектральной функции сигнала.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье (2) дает двустороннее спектральное представление (имеющее отрицательные частоты) непериодического сигнала
в виде суммы гармонических колебаний
с бесконечно малыми комплексными амплитудами
, частоты которых непрерывно заполняют всю ось частот.

Комплексная спектральная плотность сигнала – комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных гармоник.

Модуль спектральной плотности называется спектральной плотностью амплитуд. Его можно рассматривать как АЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Аргумент спектральной плотности
называется спектральной плотностью фаз. Его можно рассматривать как ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Преобразуем формулу (2):

Тригонометрическая форма интегрального преобразования Фурье дает одностороннее спектральное представление (не имеющее отрицательных частот) непериодического сигнала:

.