Сандарды бөлу санау жүйесінің онлайн калькуляторы. Позициялық санау жүйелеріндегі сандармен арифметикалық амалдар
34 сияқты бүтін сандарды немесе 637.333 сияқты бөлшек сандарды енгізуге болады. Үшін бөлшек сандарүтірден кейін аударманың дәлдігі көрсетіледі.
Бұл калькулятормен келесілер де қолданылады:
Сандарды бейнелеу тәсілдері
Екілік (екілік) сандар – әрбір цифр бір биттің (0 немесе 1) мәнін білдіреді, ең маңызды бит әрқашан сол жақта жазылады, саннан кейін «b» әрпі қойылады. Қабылдауды жеңілдету үшін жазу кітапшаларын бос орындармен бөлуге болады. Мысалы, 1010 0101b.Оналтылық (он алтылық) сандар – әрбір тетрада бір таңбамен 0...9, A, B, ..., F беріледі.Мұндай бейнелеуді әртүрлі тәсілдермен белгілеуге болады, мұнда тек соңғыдан кейін «h» таңбасы қолданылады. он алтылық сан. Мысалы, A5h. Бағдарлама мәтіндерінде бірдей санды бағдарламалау тілінің синтаксисіне байланысты 0xA5 және 0A5h деп белгілеуге болады. Сандар мен символдық атауларды ажырату үшін әріппен ұсынылған ең маңызды он алтылық санның сол жағына маңызды емес нөл (0) қосылады.
Ондық бөлшектер (ондық) сандар – әрбір байт (сөз, қос сөз) жай санмен беріледі, ал ондық бөлшектің белгісі («d» әрпі) әдетте түсірілмейді. Алдыңғы мысалдардағы байттың ондық мәні 165. Екілік және он алтылық санаудан айырмашылығы, ондық әр биттің мәнін ойша анықтау қиын, оны кейде орындау керек.
Сегіздік (сегіздік) сандар – биттердің әрбір үштігі (бөлу ең аз маңыздыдан басталады) 0-7 саны ретінде жазылады, соңында «o» белгісі қойылады. Дәл сол сан 245o деп жазылады. Сегіздік жүйе ыңғайсыз, өйткені байтты тең бөлуге болмайды.
Сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіру алгоритмі
Бүтін ондық сандарды кез келген басқа санау жүйесіне түрлендіру санды негізге бөлу арқылы жүзеге асырылады. жаңа жүйеқалдығы жаңа санау жүйесінің негізінен кіші сан болып қалатынша нөмірлеу. Жаңа сан соңғыдан басталып, бөлімнің қалдығы ретінде жазылады.Дұрыс ондық бөлшекті басқа PSS-ге түрлендіру бөлшек бөлігінде барлық нөлдер қалғанша немесе аударманың көрсетілген дәлдігіне жеткенше жаңа санау жүйесінің негізіне санның бөлшек бөлігін ғана көбейту арқылы жүзеге асырылады. Әрбір көбейту амалының нәтижесінде жаңа санның ең үлкенінен бастап бір цифры қалыптасады.
Бұрыс бөлшекті аудару 1-ші және 2-ші ереже бойынша жүзеге асырылады. Бүтін және бөлшек бөліктері үтірмен бөлінген бірге жазылады.
№1 мысал. 
2-ден 8-ден 16-ға дейінгі санау жүйесін аудару.
Бұл жүйелер екі еселік болып табылады, сондықтан аударма сәйкестік кестесінің көмегімен жүзеге асырылады (төменде қараңыз).
Санды екілік санау жүйесінен сегіздік (он алтылық) санға түрлендіру үшін екілік санды үтірден оңға және солға қарай үш (оналтылық үшін төрт) цифрдан тұратын топтарға бөліп, шеткі топтарды нөлдермен толықтыру керек. қажет болса. Әрбір топ сәйкес сегіздік немесе он алтылық санмен ауыстырылады.
№2 мысал. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
мұнда 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Он алтылық санау жүйесіне түрлендіру кезінде бірдей ережелерді сақтай отырып, санды әрқайсысы төрт цифрдан тұратын бөліктерге бөлу керек.
№3 мысал. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
мұнда 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
2, 8 және 16 сандарын ондық жүйеге айналдыру санды бөлек сандарға бөлу және оны жүйенің негізіне (сан аударылған) оның реттік санына сәйкес дәрежеге дейін көбейту арқылы жүзеге асырылады. аударылған нөмірде. Бұл жағдайда сандар ондық бөлшектің сол жағында (бірінші санда 0 саны бар) өсумен және оң жағында кемумен (яғни теріс таңбамен) нөмірленеді. Алынған нәтижелер қосылады.
№4 мысал.
Екілік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Он алтылық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Тағы да біз сандарды бір санау жүйесінен басқа PSS жүйесіне аудару алгоритмін қайталаймыз
- Ондық санау жүйесінен:
- санды аударылатын санау жүйесінің негізіне бөлу;
- санның бүтін бөлігін бөлгеннен кейінгі қалдықты табу;
- бөлудің барлық қалдықтарын кері ретпен жазу;
- Екілік жүйеден
- Ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін 2-базаның сәйкес разряд дәрежесі бойынша көбейтінділерінің қосындысын табу керек;
- Санды сегіздікке айналдыру үшін оны үштікке бөлу керек.
Мысалы, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Санды екілік жүйеден он алтылық жүйеге ауыстыру үшін санды 4 цифрдан тұратын топтарға бөлу керек.
Мысалы, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Санау жүйелерінің сәйкестік кестесі:
| Екілік SS | Оналтылық SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | А |
| 1011 | Б |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | Е |
| 1111 | Ф |
Сегіздік санау жүйесіне көшіру кестесі
№2 мысал. 100,12 санын ондық жүйеден сегіздікке және керісінше ауыстырыңыз. Айырмашылықтардың себептерін түсіндіріңіз.
Шешім.
1-кезең. .
Бөлудің қалған бөлігі кері тәртіпте жазылады. 8-ші санау жүйесіндегі санды аламыз: 144
100 = 144 8
Санның бөлшек бөлігін аудару үшін бөлшек бөлігін 8 негізіне дәйекті түрде көбейтеміз. Нәтижесінде көбейтіндінің бүтін бөлігін жазған сайын жазамыз.
0,12*8 = 0,96 (бүкіл бөлік 0
)
0,96*8 = 7,68 (бүкіл бөлік 7
)
0,68*8 = 5,44 (бүкіл бөлік 5
)
0,44*8 = 3,52 (бүкіл бөлік 3
)
8-ші санау жүйесіндегі санды аламыз: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2-кезең. Санды ондық жүйеден сегіздікке түрлендіру.
Сегіздіктен ондық санау жүйесіне кері түрлендіру.
Бүтін бөлікті аудару үшін санның цифрын разрядтың сәйкес дәрежесіне көбейту керек.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Бөлшек бөлігін аудару үшін санның цифрын разрядтың сәйкес дәрежесіне бөлу керек.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
0,0001 (100,12 - 100,1199) айырмашылығы сегіздікке түрлендіру кезіндегі дөңгелектеу қатесіне байланысты. Сандардың көп санын алсақ, бұл қатені азайтуға болады (мысалы, 4 емес, 8).
Бұл калькулятормен келесілер де қолданылады:
Сандарды екілік, он алтылық, ондық, сегіздік санау жүйелеріне түрлендіру
Екілік сандарды көбейту
Жылжымалы нүкте пішімі
№1 мысал. 133,54 санын жылжымалы нүкте түрінде көрсетіңіз.
Шешім. 133,54 санын нормаланған экспоненциалды түрде көрсетейік:
1,3354*10 2 = 1,3354*мыс 10 2
1,3354*exp 10 2 саны екі бөліктен тұрады: мантисса M=1,3354 және экспонент 10 =2
Егер мантисса 1 ≤ M диапазонында болса Санды нормадан тыс экспоненциалды түрде көрсету.
Егер мантисса 0,1 ≤ M диапазонында болса, санды нормадан тыс экспоненциалды түрде көрсетейік: 0,13354*exp 10 3
№2 мысал. 101.10 2 екілік санын нормаланған түрде көрсетіңіз, 32-разрядты IEEE754 стандартында жазыңыз.
ақиқат кестесі
Лимитті есептеу
Екілік жүйедегі арифметика
Арифметикалық амалдар екілік жүйеондық бөлшекпен бірдей орындалады. Бірақ, ондық санау жүйесінде аудару және несиелеу он бірлікпен жүзеге асырылса, екілік жүйеде - екі бірлік. Кестеде екілік жүйеде қосу және азайту ережелері көрсетілген.- Екілік санау жүйесінде екі бірлікті қосқанда бұл бит 0 болады және біреуін ең жоғары битке көшіру болады.
- Бірді нөлден шегергенде, біреуі ең жоғары реттен алынады, мұнда 1 бар. Осы жерде орналасқан бірлік әрекет есептелетін жерде екі бірлік, сонымен қатар барлық аралық орындарда бір бірлік береді.
Машинадағы белгілерін ескере отырып сандарды қосу келесі әрекеттер тізбегі болып табылады:
- бастапқы сандарды көрсетілген кодқа түрлендіру;
- кодтарды биттік қосу;
- нәтижені талдау.
Қосымша (өзгертілген қосымша) кодта операцияны орындау кезінде, егер қосу нәтижесінде таңба разрядында тасымалдау бірлігі орын алса, ол жойылады.
Компьютерде азайту амалы қосу арқылы орындалады: X-Y=X+(-Y). Әрі қарайғы әрекеттер қосу амалындағыдай орындалады.
№1 мысал.
Берілген: x=0,110001; y= -0,001001, кері өзгертілген кодты қосыңыз.
Берілген: x=0,101001; y= -0,001101, қосымша өзгертілген кодты қосыңыз. 
№2 мысал. Екілік азайту мысалдарын 1-ді толықтыру және орау әдісі арқылы шешу.
а) 11 - 10.
Шешім.
11 2 және -10 2 сандарын кері кодта көрсетейік.
0000011 екілік саны бар қайтару коды 0,0000011
00000011 және 11111101 сандарын қосайық
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
2-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан 0 жазамыз, ал 1-ді 3-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нәтижесінде біз аламыз:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Белгі битінен тасымалдау болды. Алынған санға оны (яғни 1) қосамыз (осылайша циклдік тасымалдау процедурасын орындаймыз).
Нәтижесінде біз аламыз:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Қосу нәтижесі: 00000001. Ондық санға түрлендіру. Бүтін бөлікті аудару үшін санның цифрын разрядтың сәйкес дәрежесіне көбейту керек.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Қосу нәтижесі (ондық санауда): 1
ә) 111-010 111 2 және -010 2 сандарын кері кодта көрсетейік.
Оң санның кері коды тікелей кодпен бірдей. Теріс сан үшін санның барлық цифрлары қарама-қарсы сандармен ауыстырылады (1-ден 0-ге дейін, 0-ден 1-ге дейін), ал таңба битіне біреуі енгізіледі.
0000111 екілік санында 0,0000111 қайтару коды бар
0000010 екілік санында 1.1111101 қайтару коды бар
00000111 және 11111101 сандарын қосайық
0-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан 0 жазамыз, ал 1-ді 1-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
1-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан 0 жазамыз, ал 1-ді 2-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
2-битте толып кету орын алды (1 + 1 + 1 = 11). Сондықтан 1-ді жазып, 1-ді 3-ші цифрға көшіреміз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
3-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан біз 0 жазамыз, ал 1-ді 4-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
4-ші битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан біз 0 жазамыз, ал 1-ді 5-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
5-ші битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан біз 0 жазамыз, ал 1-ді 6-шы битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
6-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан біз 0 жазамыз, ал 1-ді 7-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
7-битте толып кету орын алды (1 + 1 = 10). Сондықтан біз 0 жазамыз, ал 1-ді 8-ші битке тасымалдаймыз.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Нәтижесінде біз аламыз:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Белгі битінен тасымалдау болды. Алынған санға оны (яғни 1) қосамыз (осылайша циклдік тасымалдау процедурасын орындаймыз).
Нәтижесінде біз аламыз:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Қосымша нәтиже: 00000101
Біз 00000101 санын алдық. Бүтін бөлігін аудару үшін санның цифрын оған сәйкес цифрдың дәрежесіне көбейту керек.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Қосу нәтижесі (ондық санауда): 5
Екілік өзгермелі нүктелі нақты сандарды қосу
Компьютерде кез келген санды жылжымалы нүкте пішімінде көрсетуге болады. Жылжымалы нүкте пішімі суретте көрсетілген:
Мысалы, өзгермелі нүкте пішіміндегі 10101 санын келесідей жазуға болады:
Компьютерлер белгілеудің нормаланған түрін пайдаланады, онда үтірдің орны әрқашан мантиссаның маңызды цифрының алдында беріледі, яғни. шарт орындалады:
b -1 ≤|M| Нормаланған сан - бұл ондық бөлшектен кейін маңызды цифры бар сан (яғни екілік санау жүйесінде 1). Нормалау мысалы:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Жылжымалы нүкте сандарын қосқанда, тапсырыстарды туралау жоғарырақ ретке қарай орындалады: 
Жылжымалы нүктелерді қосу алгоритмі:
- Тапсырыстарды теңестіру;
- Қосымша өзгертілген кодта мантыларды қосу;
- Нәтижені нормалау.
№4 мысал.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Бұйрықтарды теңестіру;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Қосымша өзгертілген кодта мантыларды қосу;
MA қосу мод. =00.01011
МБ қосымша мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нәтижені нормалау.
A+B=0,1101*2 10
№3 мысал. Ондық санды екілік-ондық жүйеде жазыңыз және екілік жүйеде екі санды қосыңыз.
Негізгі арифметикалық амалдарды қарастырайық: қосу, алу, көбейту және бөлу.Ондық жүйеде бұл операцияларды орындау ережелері жақсы белгілі - бұл қосу, алу, бағанға көбейту және бұрышқа бөлу. Бұл ережелер барлық басқа позициялық санау жүйелеріне қолданылады. Әр жүйе үшін арнайы қосу және көбейту кестелерін қолдану жеткілікті.
1. Қосымша
Қосу кестелерін санау ережелері арқылы жасау оңай.
Қосу кезінде сандар цифрлармен жинақталады, ал егер артық болса, солға ауыстырылады.
1-мысал Әртүрлі санау жүйелеріндегі 15 және 6 сандарын қосайық.
2-мысал 15, 7 және 3 сандарын қосайық.
|
Оналтылық : F 16 +7 16 +3 16
|
15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Емтихан: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25. |
3-мысал 141,5 және 59,75 сандарын қосайық.
Жауабы: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = С9,4 16
Емтихан. Алынған шамаларды ондық түрге ауыстырайық:
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25
2. Алу
|
Екілік жүйеде азайту
қарыз |
Он алтылық санау жүйесіндегі азайту
Аға буынды қарызға алу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сегіздік санау жүйесіндегі азайту
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Қарызжоғары ретті бірлік
4-мысал 10 санынан бірді азайт 2 , 10 8 және 10 16
5-мысал 100 санынан бірді азайт 2 , 100 8 және 100 16 .
6-мысал 201,25 санынан 59,75 санын азайт.
Жауабы: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8Д,8 16.
Емтихан. Алынған айырмашылықтарды ондық түрге түрлендірейік:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;
8D,8 16 = 8 . 16 1+D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.
Ондық санау жүйесінде қалай қосамыз?
Сандарды біз үйреніп қалған жолмен, ондық жүйеде қалай қосатынымызды еске түсірейік.
Ең бастысы, қатарларды түсіну. Әрбір SS алфавитін есте сақтаңыз, сонда ол сізге оңайырақ болады.
Екілік жүйеде қосу ондық жүйеде қосудан еш айырмашылығы жоқ. Ең бастысы, әліпбиде тек екі сан бар: 0 және 1. Сондықтан 1 + 1 қосқанда 0 шығады, ал санды тағы 1 цифрға көбейтеміз. Жоғарыдағы мысалды қараңыз:
- Бұрынғыдай оңнан солға қарай бүктей бастаймыз. 0 + 0 = 0, сондықтан біз 0 жазамыз. Келесі битке өтіңіз.
- Біз 1 + 1 қосып, 2 аламыз, бірақ 2 екілік санау жүйесінде жоқ, яғни біз 0 жазамыз және келесі битке 1 қосамыз.
- Бұл санатта біз үш бірлік аламыз, біз 1 + 1 + 1 = 3 қосамыз, бұл сан да болуы мүмкін емес. Сонымен 3 - 2 = 1. Ал келесі цифрға 1 қосылады.
- Біз қайтадан 1 + 1 = 2 аламыз. Біз 2 болуы мүмкін емес екенін бұрыннан білеміз, сондықтан 0 деп жазып, келесі битке 1 қосамыз.
- Қосымша ештеңе жоқ, сондықтан жауапта біз: 10100 аламыз.
Біз бір мысалды талдадық, екіншісін өзіңіз шешіңіз:
Кез келген басқа санау жүйелеріндегі сияқты, сіз әліпбиді есте сақтауыңыз керек. Өрнекті қосып көрейік.
- Барлығы әдеттегідей, біз оңнан солға қарай бүктей бастаймыз. 4 + 3 = 7.
- 5 + 4 = 9. Тоғыз болуы мүмкін емес, сондықтан 9-дан 8-ді азайтамыз, біз 1 аламыз. Ал келесі цифрға тағы 1 қосамыз.
- 3 + 7 + 1 = 11. 11-ден 8-ді азайтсақ, біз 3 аламыз. Ал келесі цифрға бірді қосамыз.
- 6 + 1 = 7.
- Қосымша ештеңе жоқ. Жауабы: 7317.
Енді қосуды өзіңіз жасаңыз:
- Біз бұрыннан таныс әрекеттерді орындаймыз және әліпбиді ұмытпаймыз. 2 + 1 = 3.
- 5 + 9 = 14. Әліпбиді есте сақта: 14 = Е.
- C \u003d 12. 12 + 8 \u003d 20. Жиырма он алтылық санау жүйесінде емес. Сонымен 20-дан 16-ны азайтып, 4 шығады. Ал келесі цифрға бірді қосамыз.
- 1 + 1 = 2.
- Қосымша ештеңе жоқ. Жауабы: 24E3.
Санау жүйелеріндегі азайту
Оны ондық санау жүйесінде қалай жасайтынымызды еске түсірейік.
- Біз солдан оңға қарай, ең кіші санаттан ең үлкенге қарай бастаймыз. 2 - 1 = 1.
- 1 – 0 = 1.
- 3 – 9 = ? Үш тоғызға жетпейді, сондықтан жоғарыдан бірді алайық. 13 - 9 = 4.
- Соңғы саннан біз алдыңғы әрекет үшін бірлік алдық, сондықтан 4 - 1 = 3.
- Жауабы: 3411.
- Біз әдеттегідей бастаймыз. 1 - 1 = 0.
- 1 – 0 = 1.
- 0-ден біреуін шеге алмайсыз. Сондықтан ақсақалдан бір санат аламыз. 2 - 1 = 1.
- Жауабы: 110.
Енді өзіңіз шешіңіз:
- Жаңа ештеңе жоқ, ең бастысы әліпбиді есте сақтау. 4 - 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- Біз 3-тен 7-ні бірден алып тастай алмаймыз, ол үшін жоғарырақ тәртіптен бірлік алуымыз керек. 11 - 7 = 4.
- Есіңізде болсын, біз бұрын біреуді қарызға алғанбыз, 6 - 1 = 5.
- Жауабы: 5451.
Алдыңғы мысалды алайық және нәтиже он алтылық жүйеде қандай болатынын көрейік. Бірдей немесе басқаша ма?
- 4 – 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- Біз 3-тен 7-ні бірден алып тастай алмаймыз, ол үшін жоғарырақ тәртіптен бірлік алуымыз керек. 19 - 7 \u003d 12. Он алтылық жүйеде, 12 \u003d C.
- Есіңізде болсын, біз бұрын біреуді қарызға алғанбыз, 6 - 1 = 5
- Жауабы: 5S51
Өзін-өзі шешуге мысал:
Санау жүйелеріндегі көбейту
Кез келген санау жүйесінде біреуге көбейту әрқашан бірдей санды беретінін біржолата есте сақтайық.
- Біз әрбір цифрды әдеттегідей оңнан солға қарай бір-бірге көбейтеміз және біз 6748 санын аламыз;
- 6748-ді 8-ге көбейтіп, 53984 санын аламыз;
- 6748-ді 3-ке көбейту амалын орындаймыз.20244 санын аламыз;
- Ережеге сәйкес барлық 3 санды қосамыз. Біз 2570988 аламыз;
- Жауабы: 2570988.
Екілік жүйеде көбейту өте оңай. Біз әрқашан не 0-ге, не біреуге көбейтеміз. Ең бастысы - мұқият бүктеу. Тырысайық.
- 1101 біз әдеттегідей оңнан солға қарай бір көбейтеміз және біз 1101 санын аламыз;
- Бұл операцияны тағы 2 рет орындаймыз;
- Біз барлық 3 санды мұқият қосамыз, баспалдақты ұмытпай, әліпбиді есте сақтаймыз;
- Жауабы: 1011011.
Өзін-өзі шешуге мысал:
- 5 x 4 \u003d 20. Ал 20 \u003d 2 x 8 + 4. Бөлудің қалған бөлігін санға жазамыз - ол 4 болады және біз 2-ні есте сақтаймыз. Біз бұл процедураны оңнан солға қарай орындаймыз және 40234 санын аламыз;
- 0-ге көбейткенде төрт 0 шығады;
- 7-ге көбейткенде 55164 санын аламыз;
- Енді сандарды қосып, аламыз - 5556634;
- Жауабы: 5556634.
Өзін-өзі шешуге мысал:
Барлығы әдеттегідей, ең бастысы әліпбиді есте сақтау. Ыңғайлы болу үшін алфавиттік сандарды өзіңізге таныс санау жүйесіне аударыңыз, көбейту кезінде әліпбилік мәнге қайта аударыңыз.
Түсінікті болу үшін 20А4 санының 5-ке көбейтіндісін талдап көрейік.
- 5 x 4 \u003d 20. Ал 20 \u003d 16 + 4. Бөлудің қалған бөлігін санға жазамыз - ол 4 болады және біз 1-ді есте сақтаймыз.
- Ал x 5 + 1 \u003d 10 x 5 + 1 \u003d 51. 51 \u003d 16 x 3 + 3. Бөлудің қалған бөлігін санға жазамыз - ол 3 болады және біз 3-ті есте сақтаймыз.
- 0-ге көбейткенде, біз 0 + 3 = 3 аламыз;
- 2 x 5 = 10 = A; Нәтижесінде біз A334 аламыз; Біз бұл процедураны басқа екі санмен орындаймыз;
- 1-ге көбейту ережесін есте сақтаңыз;
- В-ға көбейткенде 1670С санын аламыз;
- Енді біз сандарды қосып, аламыз - 169B974;
- Жауабы: 169В974.
Тәуелсіз шешімге мысал.
Бұл онлайн калькулятор арқылы бүтін және бөлшек сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіруге болады. Түсініктемелері бар егжей-тегжейлі шешім берілген. Аудару үшін бастапқы санды енгізіңіз, бастапқы санның санау жүйесінің негізін орнатыңыз, санды түрлендіргіңіз келетін санау жүйесінің негізін орнатыңыз және «Аудару» түймесін басыңыз. Төмендегі теориялық бөлімді және сандық мысалдарды қараңыз.
Нәтиже қазірдің өзінде алынды!
Бүтін және бөлшек сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне аудару – теория, мысалдар және шешімдер
Позициялық және позициялық емес санау жүйелері бар. Біз күнделікті өмірде қолданатын араб санау жүйесі позициялық, ал римдікі емес. Позициялық санау жүйелерінде санның орны санның шамасын бірегей түрде анықтайды. Бұны ондық санау жүйесіндегі 6372 санының мысалы арқылы қарастырайық. Бұл санды нөлден бастап оңнан солға қарай нөмірлейміз:
Сонда 6372 санын келесідей көрсетуге болады:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
10 саны санау жүйесін анықтайды (бұл жағдайда ол 10). Берілген санның орнының мәндері градус ретінде қабылданады.
1287,923 нақты ондық санын қарастырайық. Оны санның нөлдік орнынан бастап ондық бөлшектен солға және оңға қарай нөмірлейміз:
Сонда 1287.923 санын келесідей көрсетуге болады:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Жалпы, формуланы келесідей көрсетуге болады:
C n с n + C n-1 с n-1 +...+C 1 с 1 + C 0 s 0 + D -1 с -1 + D -2 с -2 + ... + D -k s -k
мұндағы C n – позициядағы бүтін сан n, D -k - (-k) позициясындағы бөлшек сан, с- санау жүйесі.
Санау жүйелері туралы бірер сөз.Ондық санау жүйесіндегі сан цифрлар жиынынан (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), сегіздік санау жүйесінде: сандар жиыны (0,1, 2,3,4,5,6,7), екілік жүйеде – цифрлар жиынынан (0,1), он алтылық санау жүйесінде – цифрлар жиынынан ( 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), мұнда A,B,C,D,E,F 10 сандарына сәйкес келеді, 11,12,13,14,15.1-кестеде сандар әртүрлі санау жүйелерінде берілген.
| 1-кесте | |||
|---|---|---|---|
| Белгілеу | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | Б |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | Е | 15 | 1111 | 17 | Ф |
Сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіру
Сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне аударудың ең оңай жолы - алдымен санды ондық санау жүйесіне түрлендіру, содан кейін ондық санау жүйесінен оны қажетті санау жүйесіне аудару.
Сандарды кез келген санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру
(1) формуланы пайдаланып сандарды кез келген санау жүйесінен ондық санау жүйесіне түрлендіруге болады.
Мысал 1. 1011101.001 санын екілік санау жүйесінен (СС) ондық санау жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Мысал2. 1011101.001 санын сегіздік санау жүйесінен (СС) ондық СС жүйесіне ауыстырыңыз. Шешімі:
Мысал 3 . AB572.CDF санын он алтылықтан ондық SS жүйесіне түрлендіру. Шешімі:
Мұнда А-10 санына ауыстырылды, Б- 11-де, C- 12-де, Ф- 15-те.
Сандарды ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру
Сандарды ондық санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру үшін санның бүтін бөлігін және санның бөлшек бөлігін бөлек аудару керек.
Санның бүтін бөлігі ондық СС-тен басқа санау жүйесіне аударылады - санның бүтін бөлігін санау жүйесінің негізіне ретімен бөлу (екілік СС үшін - 2-ге, 8-таңбалы SS үшін - 8-ге бөлу) , 16-разряд үшін - 16-ға және т.б. ) SS негізінен кіші бүтін қалдықты алу үшін.
Мысал 4 . 159 санын ондық СС-тен екілік SS-ге аударайық:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Суреттен көрініп тұрғандай. 1, 159 саны, 2-ге бөлінгенде, 79 бөлімін береді, ал қалдық 1 болады. Әрі қарай, 79 саны 2-ге бөлінгенде, 39 бөлімін береді, ал қалдық 1 болады және т.б. Нәтижесінде бөлудің қалған бөлігінен (оңнан солға қарай) санды құрастыру арқылы екілік SS жүйесіндегі санды аламыз: 10011111 . Сондықтан біз жаза аламыз:
159 10 =10011111 2 .
Мысал 5 . 615 санын ондық СС-тен сегіздік СС-ке ауыстырайық.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Санды ондық СС-тен сегіздік SS санау жүйесіне түрлендіру кезінде 8-ден кіші бүтін қалдық алынғанша, санды 8-ге ретімен бөлу керек. Нәтижесінде, бөлімнің қалған бөлігінен (оңнан солға қарай) санды құрастырамыз сегіздік SS санды алыңыз: 1147 (2-суретті қараңыз). Сондықтан біз жаза аламыз:
615 10 =1147 8 .
Мысал 6 . 19673 санын ондық санау жүйесінен он алтылық SS жүйесіне аударайық.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
3-суреттен көріп отырғанымыздай, 19673 санын 16-ға ретімен бөлу арқылы 4, 12, 13, 9 қалдығы шықты. Он алтылық санау жүйесінде 12 саны С, 13 саны - D. Сондықтан, біздің он алтылық санымыз 4 CD9.
Дұрыс ондық бөлшектерді (бүтін нөл бөлігі бар нақты санды) негізі s болатын санау жүйесіне айналдыру үшін бөлшек бөлігі таза нөлге тең болғанша бұл санды s-ке дәйекті түрде көбейту керек немесе қажетті цифрлар санын аламыз. Егер көбейту нәтижесінде бүтін бөлігі нөлден басқа сан шыққан болса, онда бұл бүтін бөлік есепке алынбайды (олар нәтижеге ретімен енгізіледі).
Жоғарыдағыларды мысалдармен қарастырайық.
Мысал 7 . 0,214 санын ондық санау жүйесінен екілік SS жүйесіне аударайық.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
4-суреттен көрініп тұрғандай, 0,214 саны 2-ге дәйекті түрде көбейтіледі. Егер көбейтудің нәтижесі бүтін бөлігі нөлден басқа сан болса, онда бүтін бөлігі бөлек жазылады (санның сол жағында), және сан нөлдік бүтін бөлігімен жазылады. Егер көбейткенде нөлдік бүтін бөлігі бар сан алынса, оның сол жағына нөл жазылады. Көбейту процесі бөлшек бөлігінде таза нөл алынғанша немесе цифрлардың қажетті саны алынғанша жалғасады. Қалың сандарды (4-сурет) жоғарыдан төмен қарай жаза отырып, екілік жүйеде қажетті санды аламыз: 0. 0011011 .
Сондықтан біз жаза аламыз:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Мысал 8 . 0,125 санын ондық санау жүйесінен екілік SS жүйесіне аударайық.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
0,125 санын ондық SS жүйесінен екілік санау жүйесіне көшіру үшін бұл санды ретімен 2-ге көбейтеді.Үшінші кезеңде 0 алынды.Сондықтан келесі нәтиже алынды:
0.125 10 =0.001 2 .
Мысал 9 . 0,214 санын ондық санау жүйесінен он алтылық SS жүйесіне аударайық.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
4 және 5 мысалдарынан кейін біз 3, 6, 12, 8, 11, 4 сандарын аламыз. Бірақ он алтылық SS жүйесінде С және В сандары 12 және 11 сандарына сәйкес келеді. Сондықтан бізде:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Мысал 10 . 0,512 санын ондық санау жүйесінен сегіздік СС жүйесіне аударайық.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Алынған:
0.512 10 =0.406111 8 .
Мысал 11 . 159,125 санын ондық санау жүйесінен екілік SS жүйесіне аударайық. Ол үшін санның бүтін бөлігін (4-мысал) және санның бөлшек бөлігін (8-мысал) бөлек аударамыз. Осы нәтижелерді біріктіре отырып, біз аламыз:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Мысал 12 . 19673.214 санын ондық санау жүйесінен он алтылық SS жүйесіне аударайық. Ол үшін санның бүтін бөлігін (6-мысал) және санның бөлшек бөлігін (9-мысал) бөлек аударамыз. Осы нәтижелерді біріктіре отырып, біз аламыз.
