ЕКІЛІК АРИФМЕТИКА

Екілік сандарға арифметикалық амалдарды орындау ережелері екілік қосу, алу және көбейту кестелері арқылы берілген:

Екілік амалдар

Барлық позициялық жүйелердегі арифметика ережелері ұқсас. Әрбір цифрды қосу кезінде екілік қосу кестесіне сәйкес, екі мүшенің цифры немесе осы цифрлардың екеуі және көршілес төменгі реттік разрядтан тасымалдау болса, 1 қосылады. Нәтиже - қосындының сәйкес цифрының цифры және, мүмкін, сонымен қатар 1 ең маңызды цифрға апарады. Мұнда екі екілік сандарды қосу мысалы келтірілген:

Оң жақта ондық бөлшекпен берілген бірдей сандарды қосу көрсетілген.

Берілген цифрдағы екілік сандарды шегергенде, қажет болған жағдайда келесі маңызды цифрдан 1 алынады. Бұл алған 1 берілген биттің екі 1-іне тең. Несие шегерім санындағы цифр минуендтің сол санындағы цифрдан үлкен болған сайын жасалады. Мұны мысалмен түсіндірейік:

Екілік көптаңбалы сандарды көбейту ішінара көбейтінділерді құру және олардың кейінгі қосындысын жасау арқылы орындалады. Кестеге сәйкес екілік көбейтуәрбір ішінара көбейтіндісі көбейткіштің сәйкес цифры 0 болса, 0-ге тең немесе көбейткіштің цифры 1 болса, солға сәйкес цифрлар санына жылжыған көбейткішке тең. Осылайша, көбейтіндіні көбейту операциясы -разрядты екілік сандарды ауыстыру және қосу амалдарына келтіріледі. Үтірдің орны ондық сандарды көбейту кезіндегідей анықталады. Бұл мысалмен көрсетілген:

1011,1 x 101,01 = 111100,011

x 10101

00000 + 10111 00000 10111____

Екілік сандарды бөлуді орындау ерекшеліктері келесі мысалда көрсетілген:

1100,011:10,01 = ? 1100011|10010 -10010 101,1

11011 -10010 10010 -10010 00000

Екілік қосу, алу және көбейту ережелерінің қарапайымдылығына байланысты компьютерде екілік санау жүйесін қолдану арифметикалық амалдарды орындайтын құрылғылардың схемаларын жеңілдетуге мүмкіндік береді.

КОМПЬЮТЕРДЕГІ САНДАРДЫ ӨКІЛДІРУ Пішіндері

Кез келген ақпарат (сандар, командалар, әріптік-цифрлық жазбалар және т.б.) тұрақты немесе айнымалы ұзындықтағы екілік кодтар (екілік сөздер) түрінде компьютерде көрсетіледі. Жеке элементтер 0 немесе 1 мәні бар екілік код сандар немесе бит деп аталады. Компьютерде сөздер көбінесе байт деп аталатын бірліктерге бөлінеді. Қазіргі компьютерлерде 8 биттен тұратын байт кеңінен қолданылады.

Екілік цифр компьютерде кейбіреулерімен көрсетіледі техникалық құрылғы, мысалы, екі түрлі күйіне 0 және 1 мәндері тағайындалған триггер. Мұндай құрылғылардың сәйкес санының жиыны көпразрядты екілік санды (сөзді) көрсету үшін қызмет етеді.

Компьютерде сандарды бейнелеудің екі түрі қолданылады: тұрақты нүкте (нүкте) және жылжымалы нүкте (нүкте). Бұл формаларды сәйкесінше натурал және жартылай логарифмдік формалар деп те атайды.

Тұрақты үтірмен сандарды көрсету кезінде үтірдің орны санның цифрларына қатысты белгілі бір орында бекітіледі. Әдетте үтір ең маңызды санның алдында немесе ең аз маңызды саннан кейін қойылады деп түсініледі. Бірінші жағдайда абсолютті мәнде 1-ден кіші сандар ғана, екіншісінде тек бүтін сандар ұсынылуы мүмкін.

< 2 байта, 16 разрядов >

< 4 байта, 32 разрядa >

Бекітілген нүктесі (нүкте) бар екілік сандарды көрсетуге арналған деректер пішімдері

Суретте. 1.1 бекітілген нүктелі екілік сандарды және сәйкес бит торларын көрсетуге арналған деректер пішімдерінің мысалдарын көрсетеді. Басымдыққа сәйкес Информатикадәстүрлер бойынша әмбебап машиналарда (ES компьютерлер) разрядтық тордағы разрядтарды (разрядтарды) нөмірлеу солдан оңға қарай, ал шағын компьютерлерде, микрокомпьютерлерде және микропроцессорларда оңнан солға қарай жүргізіледі. Биттердің салмағы бит торында көрсетілген.

Қол қойылған сан көрсетілгенде, белгі коды үшін «белгі» биті (әдетте сол жақтағы) бөлінеді. Бұл битте 0 плюсқа, ал 1-ге минус сәйкес келеді.

Суретте. 1.1, a ең маңызды санның алдында үтір қойылған сандар пішімін көрсетеді. Бұл пішім 2–(n-1) аралығындағы сандарды (тиісті бөлшектер) көрсете алады.

2 –(n-1) |x| 1 - 2 - (n-1)

Алғашқы компьютерлер санның ең маңызды цифрының алдында үтір қойылған тұрақты нүктелі машиналар болды. Қазіргі уақытта, әдетте, бүтін сандарды көрсету үшін бекітілген нүктелі пішін қолданылады (үтір ең аз мәнді цифрдан кейін белгіленеді).

Бүтін сандарды көрсетудің екі жолы бар: таңбалы және таңбасыз. Соңғы жағдайда разрядтық тордың барлық цифрлары санның модулін көрсету үшін қызмет етеді.

Бекітілген нүктелік сандарды ұсыну негізгі және жалғыз ретінде пайдаланылады, олардың есептеу мүмкіндіктері бойынша салыстырмалы түрде шағын машиналар басқару үшін деректерді беру жүйелерінде қолданылады. технологиялық процестержәне нақты уақыт режимінде өлшеу ақпаратын өңдеу.

Есептеу есептерінің кең ауқымын шешуге арналған машиналарда өзгермелі нүктелі сандардың негізгі көрінісі деректерді масштабтауды қажет етпейтін болып табылады. Дегенмен, мұндай машиналар сандарды көрсетудің осы түріне қосымша бүтін сандар үшін тұрақты нүктелік белгілерді жиі пайдаланады, өйткені мұндай сандармен операциялар аз уақытта орындалады. Атап айтқанда, адрес кодтары бойынша операциялар (индекстік арифметикалық операциялар) бүтін сандармен операцияларға дейін қысқарады.

Жалпы жағдайда өзгермелі нүктелі санның көрінісі пішінге ие

мұндағы q – х санының мантиссасы, sp – бұл сандық сипаттама X; p - реті-, с

Сипаттаманың негізі (әдетте 2-нің бүтін дәрежесі).

Мантисса (таңбалы тиісті бөлшек) және дәреже көрсеткіші (таңбалы бүтін сан) базалық санау жүйесінде (тиісті екілік кодталған пішінде) ұсынылған. Санның белгісі мантиссаның белгісімен бірдей.

Оң немесе теріс бүтін болуы мүмкін p реті х-дегі үтірдің орнын анықтайды.

Суретте. 1.2 өзгермелі нүкте сандары үшін деректер пішімдерінің мысалдарын көрсетеді. Пішім биттерінің бір бөлігі көрсеткішті көрсету үшін, ал екінші бөлігі мантиссаны көрсету үшін пайдаланылады.

Жылжымалы нүктелі сандарға арифметикалық амалдар мантиссалармен орындалатын амалдардан басқа, тапсырыстар бойынша белгілі бір операцияларды (салыстыру, алу және т.б.) қажет етеді. Тапсырыстар бойынша операцияларды жеңілдету үшін олар оң бүтін сандармен (белгісіз бүтін сандар) операцияларға дейін төмендетілген, өзгермелі нүктелі сандарды бейнелеу арқылы көрсетіледі. «ауыспалы тәртіп».

Жылжымалы нүкте санын ауыстырылған ретпен көрсету жағдайында оның ретіне бүтін сан қосылады p - ығысу N \u003d 2k, мұнда k

Тапсырыс модулі үшін пайдаланылатын биттердің саны. ығыстырылған реті p cm =p+N әрқашан оң болады. Оның тұсаукесері үшін

р ретінің модулі мен белгісі сияқты цифрлар саны қажет. Ауыстырылған тапсырыстардың маңызды ерекшелігі, егер үшін болса

Таңбалары бар бүтін сандар болып табылатын p" және p" реттері келесі қатынасқа ие:

онда сәйкес жылжыған ретті натурал сандар үшін p «см және p» см әрқашан p «см p» см.Санның бұл көрінісі жартылай логарифмдік деп те аталады, өйткені санның бөлігі - сипаттама - логарифмдік түрде өрнектеледі. пішін.

«-» белгісі біреумен, «+» белгісі нөлмен кодталады.

Жылжымалы нүктелі сандарды бейнелеу

Мантисса цифрларының бекітілген санымен кез келген мән машинада нормаланған санмен ең үлкен дәлдікпен көрсетіледі.

x \u003d s "q саны шақырылады нормаланғанегер мантисса q шартты қанағаттандырса

яғни s-ary жүйесіндегі мантиссаның ең маңызды цифры нөлге тең емес. Есептеулер барысында нормаланбаған сан алынуы мүмкін. Бұл жағдайда машина, егер ол командамен белгіленсе, оны автоматты түрде қалыпқа келтіреді (операцияның «нәтижесін қалыпқа келтіру»).

s-ary мантиссасының r жетекші цифрлары 0-ге тең болсын. Содан кейін нормалау мантиссаны r цифрына солға жылжытудан және ретін r бірлікке азайтудан тұрады, ал мантиссаның төменгі r цифрларында 0 жазылады. Мұндай операциядан кейін сан өзгермейді және шарт (2.4) орындалады. Нөлдік мантиссамен қалыпқа келтіру мүмкін емес.

Әртүрлі компьютерлерде өзгермелі нүктелі сандарды ұсыну негіздері әртүрлі, бірақ 2 санының бүтін дәрежесіне тең (s \u003d 2w) санау жүйелерінде қолданылады, ал р реті бүтін санмен, ал мантисса q арқылы көрсетіледі. w екілік цифрларының топтары s= 2w негізі бар мантисса цифрларын көрсететін сан.

Санау жүйесінің әртүрлі негіздері бар өзгермелі нүктелі сандардың қолданылатын түрлерінің мысалдары

x=2p q (1 > |q| 1/2); x=8p q (I > |q| 1/8);

x = l6 p q (I > |q| 1/16).

IN жақша нормаланған сандарды алудың сәйкес шарттарын көрсетеді.

Жылжымалы нүктелі сандар үшін екілік емес негізді пайдалану есептеулердің дәлдігін біршама төмендетеді (мантисса цифрларының берілген саны үшін), бірақ машинада ұсынылған сандар диапазонын ұлғайтуға және орындауды тездетуге мүмкіндік береді. кейбір операциялар, атап айтқанда

нормализация, ығысуды бірден бірнеше екілік цифрлармен орындауға болатындығына байланысты (s = 16 үшін төрт цифрмен). Сонымен қатар, есептеулер барысында нормаланбаған сандардың пайда болу ықтималдығы төмендейді.

Машинада ұсынылуы мүмкін өзгермелі нүктелі сандар ауқымы санау жүйесінің негізіне және реттің кескіні үшін бөлінген цифрлар санына байланысты. Жылжымалы нүктелерді есептеудің дәлдігі мантисса цифрларының санымен анықталады. Мантисса цифрларының көбеюімен есептеулердің дәлдігі артады, бірақ арифметикалық амалдарды орындау уақыты да артады.

Компьютерде шешілетін тапсырмалар есептеулердің дәлдігіне әртүрлі талаптар қояды. Сондықтан көптеген машиналар мантисса биттерінің әртүрлі сандары бар бірнеше өзгермелі нүкте пішімдерін пайдаланады.

Тікелей, кері және қосымша кодтар

Компьютерлерде арифметикалық амалдарды жеңілдету үшін олар қолданады арнайы кодтарсандарды бейнелеу үшін. Бұл кодтардың көмегімен операция нәтижесінің таңбасын анықтау жеңілдетіледі, сандарды азайту (немесе алгебралық қосу) операциясы олардың кодтарын арифметикалық қосуға дейін қысқарады және толып кету белгілерін әзірлеуге мүмкіндік береді. бит торы жеңілдетілген. Нәтижесінде арифметикалық амалдарды орындайтын компьютерлік құрылғылар жеңілдетілді.

Теріс сандарды көрсету үшін компьютерлер тура, кері және екі толықтауыш кодтарын пайдаланады. Оң сандар тікелей кодта көрсетіледі. Барлық осы кодтарда цифрлық цифрлар және санның белгісін білдіретін белгі (ең сол жақта) бөлінген, қосу таңбасы 0 санымен, ал минус таңбасы 1 санымен кодталған.

(n-1) цифрлары бар G екілік санының тура коды келесідей анықталады

мұндағы А – белгі битінің салмағына тең мән. Бөлшек сандар үшін A \u003d 1, ал бүтін сандар үшін A \u003d 2n-1.

Бірдей таңбалары бар сандарды тікелей кодқа қосу өте қарапайым. Сандар қосылады, ал қосындыға шарттар үшін белгі коды тағайындалады. Әртүрлі таңбалары бар сандардың тікелей кодындағы алгебралық қосу операциясы әлдеқайда күрделірек. Бұл жағдайда абсолюттік мәні үлкен санды анықтап, сандарды алып тастап, айырмаға үлкен санның таңбасын қою керек.

Азайту амалы (алгебралық қосу) кері және

машинада теріс сандарды көрсету үшін қолданылатын қосымша кодтар.

Кері кодта екілік теріс санды көрсету үшін таңба битіне 1 қою керек, ал қалған барлық разрядтарда 1-ді нөлге, ал нөлдерді бірліктерге ауыстыру керек.

Кері код, сан ретінде қарастырылғанда, бастапқы санның ең үлкен таңбасыз санға сәйкес келетін толықтауыш модулі болып табылады.

бит торы. n-биттік тор үшін бізде бар

Go6p=2-2 –(n-1) –lG-l,

егер G- екілік бөлшек болса, және

G- arr \u003d 2n - 1 - |G- |

Теріс екілік санды қосымша кодта көрсету кезінде таңба битіне 1 қойылады, ал санның цифрлық бөлігі бөлшек және бүтін сандар үшін сәйкесінше 1 немесе 2n-1 санның модулін қосумен ауыстырылады. . Теріс G санының толықтауыш коды анықталған

өрнек

G- қосу \u003d 2-|G- |

егер G- екілік бөлшек болса, және

G- қосу \u003d 2n - | G- |

егер G- екілік бүтін сан болса.

Санның кері және қосымша кодтарын таңбасыз екілік сандар ретінде қарастыруға болады, ал екілік бөлшектер үшін G- қосу \u003d G- arr + 2- (n- 1) , ал екілік бүтін сандар үшін C- қосу \u003d C- arr +1.

Осылайша, санның қосымша кодын кері кодтың ең аз маңызды битіне 1 қосу арқылы кері кодтан алуға болады.

Машинада есептеулерді орындау кезінде «оң» және «теріс» 0 болуы мүмкін.Тікелей кодта оң 0 пішіні бар.

(+0)pr = 000... 0.

Теріс 0 тікелей кодта көрсетіледі

(- 0) pr \u003d 100. ..O,

керісінше

(-0) arr = 111...1;

екі толықтауыш кодында теріс 0 жоқ.

Оң сандарды тікелей кодпен және теріс сандармен көрсету кезінде қосымша нөлде бір кескін болады. Кері кодты қолданған кезде «оң» және «теріс» 0 әртүрлі кескіндерге ие.

Теріс санның таңбасының өзгеруі оның кодының инверсиясына сәйкес келеді, егер сан кері кодта көрсетілсе, ал инверсия және

теріс сан екінің толықтауышында болса, 1 ең аз мәнді цифрды қосу. Нәтиже - сәйкес оң санның тікелей коды. Жоғарыда айтылғандар қатынастардан туындайды:

бөлшектер үшін

G- pr \u003d | G- | = 2 - 2-(n-1) - G-arr -G- inc = |G- | = 2 – G- қосу

бүтін сандар үшін

G- pr \u003d | G- | = 2n – 1 – G-arr -G- inc = |G- | = 2n – G-қосу

G және Q n-разрядты екілік сандарды алгебралық қосуда олардың біреуі немесе екеуі де теріс болған кезде кері және қосымша кодтарды қолдануды қарастырайық. Келесі ережелерді тұжырымдауға болады (алгебралық қосындының модулі бөлшектер үшін 1-ден аз және бүтін сандар үшін 2n-1-ден аз деп есептейміз, сондықтан қосынды коды n-разрядты торда көрсетіледі).

Кері (немесе толықтауыш) кодты пайдалана отырып, екі екілік сандарды алгебралық қосуда оң мүшелер тура кодта, ал теріс мүшелер кері (толықтауыш) кодта көрсетіледі және бұл кодтардың арифметикалық қосындысы таңбамен қоса орындалады. бит, . жоғары дәрежелер ретінде қарастырылады. Белгі битінен тасымалдау орын алған кезде тасымалдау бірлігі кері кодты пайдаланған кезде кодтар сомасының ең аз маңызды битіне қосылады және қосымша кодты пайдаланған кезде жойылады. Нәтиже – бұл қосынды оң болса, тура кодта, ал теріс болса, кері (толықтауыш) кодта алгебралық қосынды.

Екі операцияны орындау талап етілсін: 176154 және 176215

Бірінші жағдайда нәтиже оң, ал екіншісінде теріс болады. Осы сандарды екілік кодқа аударайық, мысалы, арқылы

0101100002 0100110102 0110101112

азайтылғанды ​​кері және қосымша кодтарға аударыңыз

Осы сайттағы материалдарды пайдаланған кезде - және баннерді орналастыру МІНДЕТТІ!!!

Екілік арифметика

Біз қолданып үйренген сандар ондық деп аталады, ал біз қолданатын арифметика да ондық деп аталады. Себебі әрбір сан 10 таңбадан тұратын цифрлар жиынынан – цифрлардан – «0123456789» тұруы мүмкін.

Математика осылай дамыды, дәл осы жиын негізгі болды, бірақ ондық арифметика жалғыз емес. Егер біз тек бес цифрды алсақ, онда олардың негізінде біз бес еселік арифметика құра аламыз, жеті цифрдан жеті еселік. байланысты білім салаларында компьютерлік технологиясандар он алты цифрдан тұратын арифметиканы жиі пайдаланады, сәйкесінше бұл арифметика он алтылық деп аталады. Ондық емес арифметикадағы санның не екенін түсіну үшін алдымен ондық арифметикадағы санның не екенін анықтаймыз.

Мысалы, 246 санын алайық. Бұл жазба санда екі жүздік, төрт ондық және алты бірлік бар дегенді білдіреді. Сондықтан келесі теңдікті жаза аламыз:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Мұнда тең белгілер бірдей санды жазудың үш жолын ажыратады. Біз үшін қазір ең қызықтысы – жазудың үшінші түрі: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Ол келесідей ұйымдастырылған:

Бізде үш сан бар. Ең жоғарғы цифр «2» 3 санына ие. Демек, екінші дәрежеге дейін 10-ға көбейтіледі. Келесі «4» санының реттік нөмірі 2 және біріншісінде 10-ға көбейтіледі. Цифрлар разрядтың реттік санынан бір кем дәрежесіне дейін онға көбейтілетінін қазірдің өзінде көруге болады. Айтылғанды ​​түсініп, ондық бөлшекті көрсетудің жалпы формуласын жаза аламыз. N цифры бар сан болсын. белгілейміз i-ші сан i арқылы. Сонда санды келесі түрде жазуға болады: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Бұл бірінші пішін және үшінші жазба пішіні келесідей болады:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

мұндағы a i - "0123456789" жиынындағы таңба

Бұл жазбада онның рөлі өте айқын көрінеді. Он санның қалыптасуына негіз болады. Айтпақшы, ол «санау жүйесінің негізі» деп аталады, ал санау жүйесінің өзі, сондықтан оны «ондық» деп атайды. Әрине, жоқ ерекше қасиеттерон саны жоқ. Біз онды кез келген басқа санмен оңай ауыстыра аламыз. Мысалы, бес таңбалы санау жүйесіндегі санды былай жазуға болады:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

мұндағы a i - "01234" жиынының символы

Жалпы, біз 10-ды кез келген басқа санмен ауыстырамыз және мүлде басқа санау жүйесі мен басқа арифметика аламыз. Көпшілігі қарапайым арифметика 10 саны 2-ге ауыстырылса шығады. Алынған санау жүйесі екілік деп аталады және ондағы сан келесідей анықталады:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

мұндағы a i – «01» жиынының символы

Бұл жүйе барлық мүмкін болатын ең қарапайымы болып табылады, өйткені онда кез келген сан тек 0 және 1 екі цифрынан құралады. Одан қарапайым ешбір жерде жоқ екені анық. Екілік сандар мысалдары: 10, 111, 101.

Өте маңызды сұрақ. Екілік санды ондық сан ретінде көрсетуге бола ма және керісінше ондық санды екілік сан ретінде көрсетуге бола ма.

Екілік ондық. Бұл өтте оңай. Мұндай аударма әдісі біздің сандарды жазу тәсілін береді. Мысалы, келесі екілік санды алайық 1011. Оны екінің дәрежесіне кеңейтейік. Біз келесіні аламыз:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Біз барлық жазылған әрекеттерді орындаймыз және аламыз:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Осылайша, біз 1011 (екілік) = 11 (ондық) аламыз. Екілік жүйенің шамалы ыңғайсыздығын бірден байқауға болады. Ондық жүйеде екілік жүйеде бір таңбамен жазылатын бірдей сан, оны жазу үшін төрт таңба қажет. Бірақ бұл қарапайымдылық үшін баға (ештеңе тегін болмайды). Бірақ екілік жүйе арифметикалық операцияларда үлкен пайда береді. Сосын көреміз.

Келесі екілік сандарды ондық жүйемен өрнектеңіз.

а) 10010 ә) 11101 в) 1010 в) 1110 г) 100011 д) 1100111 е) 1001110

Екілік сандарды қосу.

Баған бойынша қосу әдісі жалпы ондық санмен бірдей. Яғни, ең аз мәнді цифрдан бастап қосу битпен орындалады. Егер екі цифрды қосу нәтижесінде тоғыздан асатын СУМ пайда болса, онда = SUM-10 саны жазылады, ал БҮТІН БӨЛІМ (СУМ / 10) ең жоғарғы цифрға қосылады. (Бағанға бірнеше сандарды қосыңыз, мұның қалай орындалатынын есте сақтаңыз.) Екілік санмен де солай. Төменгі саннан бастап, біртіндеп қосыңыз. Егер ол 1-ден көп шықса, онда 1 жазылады және ең маңызды цифрға 1 қосылады («бұл ақылсыз» дейді).

Мысал келтірейік: 10011 + 10001.

Бірінші дәреже: 1+1 = 2. 0-ді жазып аламыз, ойымызға 1 келді.

Екінші дәреже: 1+0+1(есте сақтау бірлігі) =2. Біз 0-ді жазамыз және 1 ойға келді.

Үшінші дәреже: 0+0+1(есте сақталатын бірлік) = 1. 1-ді жаз.

Төртінші дәреже 0+0=0. 0 жазамыз.

Бесінші разряд 1+1=2. Біз 0 жазамыз және алтыншы битке 1 қосамыз.

Барлық үш санды ондық жүйеге ауыстырып, қосудың дұрыстығын тексерейік.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 дұрыс теңдік

Тәуелсіз шешімнің мысалдары:

а) 11001 +101 =

б) 11001 +11001 =

в) 1001 + 111 =

д) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

д) 11111 + 10011 =

Ондық жүйені екілік жүйеге қалай түрлендіруге болады. Келесі операция - алу. Бірақ біз бұл операциямен сәл кейінірек айналысамыз, ал енді ондық санды екілік санауға түрлендіру әдісін қарастырамыз.

Ондық санды екілік санау жүйесіне түрлендіру үшін оны екі дәрежесінде кеңейту керек. Бірақ ондық қуаттардың кеңеюі бірден алынса, екінің өкілеттілігін қалай кеңейту аздап ойлануды қажет етеді. Алдымен, мұны таңдау әдісімен қалай жасауға болатынын қарастырайық. Ондық 12 санын алайық.

Бірінші қадам. 2 2 \u003d 4, бұл жеткіліксіз. Ол сондай-ақ кішкентай және 2 3 \u003d 8, ал 2 4 \u003d 16 қазірдің өзінде көп. Ендеше 2 3 =8 қалдырайық. 12 - 8 = 4. Енді 4-ті екінің дәрежесі ретінде көрсету керек.

Екінші қадам. 4 = 2 2 .

Сонда біздің саны 12 = 2 3 + 2 2. Ең жоғары цифрда 4 саны бар, ең жоғарғы дәреже = 3, сондықтан екі 1 және 0 дәрежелері бар терминдер болуы керек. Бірақ бізге олар қажет емес, сондықтан қажетсіз дәрежелерден құтылу және қажеттіні қалдыру үшін сандарды былай жазамыз: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - бұл 12 санының екілік көрінісі. Әрбір келесі дәрежені көру оңай. екінің ең үлкен дәрежесі болып табылады, ол кеңейтілетін саннан аз. Әдісті түзету үшін басқа мысалды қарастырайық. 23 саны.

1-қадам. Екінің ең жақын дәрежесі 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

2-қадам. Екінің ең жақын дәрежесі 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

3-қадам. Екінің ең жақын дәрежесі 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

4-қадам. Екінің ең жақын дәрежесі 2 0 =1 1 - 1 =0

Мынадай декомпозицияны аламыз: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Ал біздің қалаған екілік сан – 10111

Жоғарыда қарастырылған әдіс алдына қойылған мәселені жақсы шешеді, бірақ әлдеқайда жақсырақ алгоритмделген әдіс бар. Бұл әдістің алгоритмі төменде жазылған:

NUMBER нөлден үлкен болғанша

КЕЛЕСІ САН \u003d САНды 2-ге бөлудің қалдығы

NUMBER = 2-ге бөлінген NUMBER санының бүтін бөлігі

Бұл алгоритм жұмысын аяқтаған кезде есептелген ТҰРАҚТЫ САНДАР тізбегі екілік санды көрсетеді. Мысалы, 19 санымен жұмыс жасайық.

Алгоритмнің басталуы NUMBER = 19

КЕЛЕСІ САН = 1

КЕЛЕСІ САН = 1

КЕЛЕСІ САН = 0

КЕЛЕСІ САН = 0

КЕЛЕСІ САН = 1

Осылайша, нәтижесінде бізде келесі 10011 саны бар. Қарастырылған екі әдіс келесі сандарды алу ретімен ерекшеленетінін ескеріңіз. Бірінші әдісте алынған бірінші цифр екілік санның ең үлкен цифры, ал екінші әдісте алынған бірінші цифр, керісінше, ең төменгісі.

Ондық жүйені екілік санау жүйесіне екі жолмен түрлендіру

а) 14 ә) 29 б) 134 г) 158 е) 1190 г) 2019 ж.

Ондық жүйеге қалай түрлендіруге болады бөлшек бөлігі.

Кез келген рационал санды ондық және жай бөлшек түрінде беруге болатыны белгілі. Жай бөлшек, яғни А/В түріндегі бөлшек дұрыс және бұрыс болуы мүмкін. Бөлшек дұрыс деп аталады, егер А<В и неправильной если А>IN.

Егер рационал сан бұрыс бөлшекпен өрнектелсе және бұл ретте бөлшектің алымы толық бөлгішке бөлінсе, онда бұл рационал сан бүтін сан болады, қалған барлық жағдайларда бөлшек бөлігі пайда болады. Бөлшек бөлігі көбінесе өте ұзын сан және тіпті шексіз (шексіз периодты бөлшек, мысалы, 20/6), сондықтан бөлшек бөлігінде бізде бір көріністі екіншісіне аудару міндеті ғана емес, сонымен қатар белгілі бір дәлдікпен.

Дәлдік ережесі. Сізге N цифрға дейін ондық бөлшек түрінде көрсетуге болатын ондық сан берілді делік. Сәйкес екілік сан бірдей дәлдікте болуы үшін оған M - символдарын жазу керек, осылайша

Ал енді аударма ережесін алуға тырысайық және алдымен 5,401 мысалын қарастырайық

Шешімі:

Бізге белгілі ережелер бойынша бүтін бөлікті аламыз және ол екілік сан 101-ге тең. Ал бөлшек бөлігін 2-нің дәрежесінде кеңейтеміз.

1-қадам: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. қалдығы болып табылады.

2-қадам:Енді 0,151 санын екінің дәрежесі ретінде көрсету керек. Мынаны орындаймыз: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Осылайша, бастапқы бөлшек бөлігін 2 -2 +2 -3 түрінде көрсетуге болады. Дәл осылай екілік санда да жазуға болады: 0,011. Бірінші бөлшек сан нөлге тең, себебі біздің кеңейтуімізде 2 -1 дәрежесі жоқ.

Бірінші және екінші қадамдардан бұл көріністің нақты емес екені және ыдырауды жалғастыру қажет болуы мүмкін екені анық. Ережеге қайта оралайық. Онда 10 3 саны 2 М-ден аз болуы үшін бізге М-ның көптеген белгілері қажет екендігі айтылған. Яғни, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

3-қадам:Қазір біз 0,026 санымен жұмыс істейміз. Бұл санға екінің ең жақын дәрежесі 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 енді біздің дәлірек екілік санымыз 0,011001. Ондық бөлшектен кейін алты ондық белгі бар, бірақ бұл әлі жеткіліксіз, сондықтан біз тағы бір қадам жасаймыз.

4-қадам:Қазір біз 0,010375 санымен жұмыс істейміз. Бұл санға екінің ең жақын дәрежесі 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

5-қадам:Қазір біз 0,0025625 санымен жұмыс істейміз. Бұл санға екінің ең жақын дәрежесі 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Соңғы алынған қалдық 2 -10-нан аз және егер бастапқы санға жақындауды жалғастырғымыз келсе, онда бізге 2 -11 қажет болады, бірақ бұл қажетті дәлдіктен асып түседі, сондықтан есептеулерді тоқтатуға және соңғы екілік ұсынуға болады. бөлшек бөлігін жазуға болады.

0,401 = 0,011001101

Көріп отырғаныңыздай, ондық санның бөлшек бөлігін екілік көрсетуге түрлендіру бүтін бөлікті түрлендіруге қарағанда біршама күрделірек. Дәріс соңында екінің өкілеттіктерінің кестесі.

Ал енді түрлендіру алгоритмін жазамыз:

Алгоритмнің бастапқы деректері: А арқылы ондық түрде жазылған бастапқы меншікті ондық бөлшекті белгілейміз. Бұл бөлшекте N белгісі болсын.

Алгоритм

1-әрекет. 10 N теңсіздігінен М қажетті екілік таңбалар санын анықтаңыз< 2 M

2-қадам: Екілік бейнелеудің цифрларын есептеңіз (нөлден кейінгі сандар). Цифр саны K символымен белгіленеді.

1. Цифрлық сан = 1
2. Егер 2 -K > A

Содан кейін екілік санның жазуына нөл қосамыз

• екілік санға 1 қосыңыз
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Егер K > М

• содан кейін алгоритм аяқталады.
• Әйтпесе, 2-қадамға өтіңіз.

Ондық санауды екілік санау жүйесіне түрлендіру

а) 3,6 ә) 12,0112 в) 0,231 г) 0,121 д) 23,0091

Екілік сандарды азайту. Біз сондай-ақ сандарды шегереміз, біз де бағанды ​​қолданамыз және жалпы ереже ондық сандармен бірдей, азайту битпен орындалады және битте бірлік жеткіліксіз болса, онда ол бұрынғымен айналысады. Келесі мысалды шешейік:

Бірінші дәреже. 1 - 0 =1. 1 жазамыз.

Екінші дәреже 0-1. Бірлік жоқ. Біз оны ересектер санатына жатқызамыз. Ең жоғары саннан біреуі ең төменгіге өтеді, өйткені екі бірлік (өйткені ең жоғарғы сан екі үлкен дәрежелі санмен көрсетілген) 2-1 \u003d 1. 1 жазамыз.

Үшінші дәреже. Біз бұл цифрдың бірлігін иемдендік, сондықтан енді 0 цифрында ең маңызды цифрдың бірлігін алу қажет. 2-1=1. 1 жазамыз.

Нәтижені ондық жүйеде тексерейік

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Нағыз теңдік.

Тағы бір қызықты жолазайтуды қосуға азайтуға мүмкіндік беретін қосымша код түсінігімен байланысты. Қосымша кодтағы сан өте қарапайым болып шықты, біз санды аламыз, нөлдерді бірліктермен ауыстырамыз, керісінше, біз бірді нөлге ауыстырамыз және ең аз мәнді цифрға бірді қосамыз. Мысалы, 10010 екі толықтауыш кодында 011011 болады.

Екеуінің толықтауыш алу ережесі, егер азайту екінің толықтауыш кодындағы санмен ауыстырылса, азайтуды қосу арқылы ауыстыруға болатынын айтады.

Мысалы: 34 - 22 = 12

Осы мысалды жазайық екілік пішін. 100010 - 10110 = 1100

10110 санының қосымша коды келесідей болады

01001 + 00001 = 01010. Содан кейін түпнұсқа мысалкелесідей қосу арқылы ауыстыруға болады 100010 + 01010 = 101100 Содан кейін бір бірлікті ең жоғары ретпен тастау керек. Егер біз мұны жасасақ, біз 001100 аламыз. Біз шамалы нөлдерді тастап, 1100 аламыз, яғни мысал дұрыс шешілді.

Алу амалдарын орындаңыз. Әдеттегідейжәне қосымша кодта, бұрын ондық сандарды екілік жүйеге түрлендірген:

Екілік нәтижені ондық санау жүйесіне түрлендіру арқылы тексеріңіз.

Екілік санау жүйесінде көбейту.

Келесі қызықты фактіден бастайық. Екілік санды 2-ге көбейту үшін (ондық екі екілікте 10), сол жақтағы көбейтілген санға бір нөл қосу жеткілікті.

Мысал. 10101 * 10 = 101010

Емтихан.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Кез келген екілік санды екінің дәрежесінде кеңейтуге болатынын еске алсақ, онда екілік санау жүйесінде көбейту 10-ға (яғни ондық 2-ге) көбейтуге дейін қысқартылатыны белгілі болады, демек, көбейту - тізбекті сандар қатары. ауысымдар. Жалпы ережекелесідей: ондық сандар үшін екілік көбейту битпен орындалады. Ал екінші көбейткіштің әрбір цифры үшін бірінші көбейткіштің оң жағына бір нөл қосылады. Мысал (әлі баған емес):

1011 * 101 Бұл көбейтіндіні үш разрядтық көбейтудің қосындысына келтіруге болады:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Дәл сол нәрсені келесідей бағанға жазуға болады:

Емтихан:

101 = 5 (ондық)

1011 = 11 (ондық)

110111 = 55 (ондық)

5*11 = 55 дұрыс теңдік

Өзіңіз шешіңіз

а) 1101 * 1110 =

б) 1010 * 110 =

д) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Ескерту: Айтпақшы, екілік жүйедегі көбейту кестесі тек бір элементтен тұрады 1 * 1 = 1

Екілік жүйедегі бөлу.

Біз үш әрекетті қарастырдық және менің ойымша, жалпы алғанда, екілік сандардағы әрекеттер ондық сандардағы әрекеттерден аз айырмашылығы бар екені анық. Айырмашылық он емес, екі цифрдың бар екендігінде ғана пайда болады, бірақ бұл тек арифметикалық амалдарды жеңілдетеді. Бөлу кезінде де солай, бірақ бөлу алгоритмін жақсырақ түсіну үшін біз толығырақ талдаймыз. Екі ондық санды бөлу керек делік, мысалы 234 7-ге бөлінеді. Мұны қалай жасаймыз.

Біз оңға (ең маңызды цифрдан) сандар санын бөлеміз, нәтижесінде алынған сан мүмкіндігінше аз және сонымен бірге бөлгіштен көп болады. 2 бөлгіштен кіші, сондықтан бізге қажет сан 23. Содан кейін алынған санды қалдықпен бөлгішке бөлеміз. Біз келесі нәтижені аламыз:

Сипатталған операция алынған қалдық бөлгіштен аз болғанша қайталанады. Бұл орын алған кезде, жолақ астындағы алынған сан бөлік болып табылады, ал соңғы қалдық операцияның қалдығы болып табылады. Сонымен екілік санды бөлу операциясы дәл осылай орындалады. Тырысып көрейік

Мысалы: 10010111 / 101

Біз біріншісі бөлгіштен үлкен болатын ең жоғары ретті санды іздейміз. Бұл төрт таңбалы сан 1001. Ол бөлінген жуан. Енді таңдалған санның бөлгішін табу керек. Міне, ондық жүйемен салыстырғанда біз тағы да ұтамыз. Таңдалған бөлгіш міндетті түрде цифр болып табылады және бізде тек екі цифр бар. 1001 саны 101-ден анық үлкен болғандықтан, бөлгішпен бәрі түсінікті, бұл 1. Операция қадамын орындаймыз.

Сонымен, операцияның қалдығы 100. Бұл 101-ден аз, сондықтан екінші бөлу қадамын орындау үшін келесі цифрды 100-ге қосу керек, бұл 0 саны. Енді бізде келесі сан бар:

1000 101-ден үлкен, сондықтан екінші қадамда жеке цифрға тағы да 1 қосып, келесі нәтиже аламыз (кеңістікті сақтау үшін келесі цифрды бірден өткізіп жібереміз).

Үшінші қадам. Алынған 110 саны 101-ден үлкен, сондықтан бұл қадамда біз оны 1-ші бөлікке жазамыз. Ол келесідей болады:

Алынған 11 саны 101-ден кіші, сондықтан оны жеке 0 цифрына жазып, келесі цифрды төмен түсіреміз. Мынадай болып шығады:

Алынған сан 101-ден үлкен, сондықтан бөліндіге 1 санын жазып, әрекеттерді қайта орындаймыз. Мына сурет шығады:

Алынған 10 қалдығы 101-ден аз, бірақ дивидендтегі цифрлар таусылды, сондықтан 10 - соңғы қалдық, ал 1110 - қалаған үлес.

Ондық бөлшектерді тексеріңіз

Осымен екілік арифметиканы қолдану үшін білу қажет қарапайым арифметикалық амалдардың сипаттамасы аяқталады, енді біз «Не үшін қажет?» деген сұраққа жауап беруге тырысамыз. екілік арифметика«. Әрине, екілік жүйеде санды жазу арифметикалық амалдарды айтарлықтай жеңілдететіні жоғарыда көрсетілді, бірақ сонымен бірге жазбаның өзі әлдеқайда ұзарады, бұл алынған оңайлатудың мәнін азайтады, сондықтан қажет екілік сандарда шешуі әлдеқайда оңай болатын осындай есептерді іздеу .

1-тапсырма: Барлық үлгілерді алу

Берілген элементтер жиынтығынан барлық мүмкін комбинацияларды құра білу қажет тапсырмалар жиі кездеседі. Мысалы, мұндай тапсырма:

Үлкен тас үйіндісін ескере отырып, тастарды осы екі қаданың массасы мүмкіндігінше бірдей болатындай етіп екі қадаға орналастырыңыз.

Бұл тапсырманы келесідей тұжырымдауға болады:

Үлкен қададан оның жалпы массасы үлкен үйіндінің жарты массасынан мүмкіндігінше аз ерекшеленетіндей тастардың үлгісін табыңыз.

Мұндай тапсырмалар аз емес. Олардың барлығы, жоғарыда айтылғандай, берілген элементтер жиынтығынан барлық мүмкін комбинацияларды (біз оларды төменде таңдаулар деп атаймыз) алу мүмкіндігіне түседі. Ал енді екілік қосу операциясы арқылы барлық мүмкін үлгілерді алудың жалпы әдісін қарастырамыз. Мысалдан бастайық. Үш заттың жиынтығы болсын. Біз барлық мүмкін үлгілерді құрастырамыз. Элементтер сериялық нөмірлермен белгіленеді. Яғни, келесі элементтер бар: 1, 2, 3.

Үлгілер: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (жүз); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Егер келесі саны бар позицияда біреу болса, онда бұл осы позицияға тең саны бар элемент таңдауда бар екенін білдіреді, ал нөл болса, онда элемент жоқ. Мысалы, sample(0, 1, 0); 2 саны бар бір элементтен тұрады және үлгі (1, 1, 0); 1 және 2 сандары бар екі элементтен тұрады.

Бұл мысал үлгіні екілік сан ретінде көрсетуге болатынын анық көрсетеді. Сонымен қатар, барлық мүмкін болатын бір, екі және үш таңбалы екілік сандар жоғарыда жазылғанын көру оңай. Оларды келесідей қайта жазайық:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Біз екілік сандар қатарын алдық, олардың әрқайсысы алдыңғысынан біреуін қосу арқылы алынған. Сіз оны тексере аласыз. Осы байқалған заңдылықты пайдалана отырып, үлгілерді алудың келесі алгоритмін құра аламыз.

Алгоритмнің бастапқы мәліметтері

N элементтерінің жиынтығы берілген - дана. Келесіде біз бұл жиынды бастапқы элементтер жиыны ретінде қарастырамыз. Бастапқы жиынның барлық элементтерін 1-ден N-ге дейін нөмірлейік. N елеусіз нөлден екілік сан шығарайық. 0000… 0 N Бұл нөлдік екілік сан іріктеу процесі басталатын нөлдік үлгіні білдіреді. Санның цифрлары оңнан солға қарай есептеледі, яғни сол жақтағы цифр ең маңызды болып табылады.

Осы екілік санды BINARY бас әріптерімен белгілеуге келістік

Алгоритм

ЕКІЛІК сан толығымен бірліктерден тұрса

Содан кейін біз алгоритмді тоқтатамыз

• Екілік арифметика ережесі бойынша ЕКІЛІК санға бірді қосамыз.
• Алынған БИНАРЛЫ саннан жоғарыда сипатталғандай келесі үлгіні құрастырамыз.

2-тапсырма: Үлкен жай сандарды табу

Біріншіден, жай сан тек 1-ге және өзіне ғана бөлінетін натурал сан екенін есте сақтаңыз. Жай сандар мысалдары: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Үлкен жай сандарды табу өте маңызды математикалық есеп. Кейбір шифрлау алгоритмдерімен хабарларды қауіпсіз шифрлау үшін үлкен жай сандар қажет. Және үлкен сандар ғана емес, өте үлкен сандар қажет. Сан неғұрлым үлкен болса, сол санға негізделген шифр соғұрлым қауіпсіз болады.

Ескерту. Күшті шифр - шифрды ашу үшін өте ұзақ уақытты қажет ететін шифр.

Неліктен? Жай сан шифрлауда және шифрды шешуде кілт рөлін атқарады. Сонымен қатар, біз жай сандар натурал сандар қатарында жиі кездеспейтінін білеміз. Алғашқы мыңдардың арасында олардың саны өте көп, содан кейін олардың саны тез азая бастайды. Сондықтан, егер кілт ретінде өте үлкен емес санды алсақ, дешифрлеуші, тіпті өте емес жылдам компьютершектеулі уақыт ішінде оған жетуге болады (барлық негізгілерді бір-бірден кілт ретінде сұрыптау арқылы).

Егер сіз қарапайым кодты алсаңыз, мысалы, 150 таңбадан тұратын жеткілікті сенімді кодты алуға болады. Дегенмен, мұндай қарапайымды табу оңай емес. Кейбір А санының (өте үлкен) қарапайымдылығын тексеру қажет деп есептейік. Бұл оның бөлгіштерін іздеумен бірдей. Егер 2 мен А-ның квадрат түбірі арасындағы бөлгіштерді таба алатын болсақ, онда ол жай емес. А санын бөлу мүмкіндігін тексеру қажет сандар санын есептейік.

А санының 150 цифры бар делік. Оның квадрат түбірі кемінде 75 таңбадан тұрады. Осындай бірнеше ықтимал бөлгіштерді сұрыптау үшін бізге өте қажет қуатты компьютержәне үлкен уақыт, бұл мәселе іс жүзінде шешілмейтінін білдіреді.

Онымен қалай күресуге болады.

Біріншіден, бір санның екінші санға бөлінгіштігін жылдам тексеруді үйренуге болады, екіншіден, ықтималдық дәрежесі жоғары болатындай А санын қарапайым етіп таңдауға болады. Бұл мүмкін екені белгілі болды. Математик Мерсен келесі түрдегі сандарды ашты

Ықтималдығы жоғары қарапайым.

Жоғарыда жазылған сөйлемді түсіну үшін бірінші мыңдықта қанша жай сан бар, ал сол мыңдықта қанша Мерсен саны жай сан екенін есептейік. Сонымен, бірінші мыңдықтағы Мерсен сандары келесідей:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Жай сандар қою шрифтпен белгіленген. Барлығы 9 Мерсенна саны үшін 5 жай сан бар. Пайыздық қатынаста бұл 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Сонымен бірге алғашқы 1000 натурал сан үшін тек 169 жай сандар бар. Пайызбен бұл 169/1000 * 100 = 16,9%. Яғни, бірінші мыңдықта, пайыздық қатынаста Мерсенна сандары арасындағы жай сандар жай натурал сандарға қарағанда 4 есе дерлік жиі кездеседі.

___________________________________________________________

Ал енді нақты Мерсен санын алайық, мысалы 2 4 - 1. Оны екілік сан түрінде жазайық.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Келесі Мерсен 2 5 -1 санын алып, оны екілік сан түрінде жазайық. Біз келесіні аламыз:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Мерсеннің барлық сандары бір тізбегі екені қазірдің өзінде анық және осы фактінің өзі үлкен пайда әкеледі. Біріншіден, екілік жүйеде келесі Мерсен санын алу өте оңай, келесі санға біреуін қосу жеткілікті, екіншіден, ондық жүйеден бөлгіштерді екілік жүйеде іздеу әлдеқайда оңай.

Жылдам ондық жүйеге екілік түрлендіру

Екілік санау жүйесін қолданудағы негізгі мәселелердің бірі ондық санды екілік санау жүйесіне ауыстырудың қиындығы болып табылады. Бұл біршама ауыр жұмыс. Әрине, үш немесе төрт цифрдан тұратын шағын сандарды аудару қиын емес, бірақ 5 немесе одан да көп цифры бар ондық сандар үшін бұл қиын. Яғни, үлкен ондық сандарды екілік көрсетуге жылдам түрлендіру тәсілі қажет.

Бұл әдісті француз математигі Лежендре ойлап тапқан. Мысалы, 11183445 саны берілсін.Оны 64-ке бөлеміз, қалдық 21 және бөліндіні аламыз 174741. Бұл санды қайтадан 64-ке бөлеміз, қалдық 21 және 2730 бөлімін аламыз. Соңында 2730-ға бөлеміз. 64 қалдық 42 және 42 бөлінді береді Бірақ екілік жүйеде 64 - 1000000, екілікте 21 - 10101, 42 - 101010, сондықтан бастапқы сан екілік жүйеде келесідей жазылады:

101010 101010 010101 010101

Түсінікті болу үшін, кішірек саны бар тағы бір мысал. 235 санының екілік көрінісін аударайық. 235-ті 64-ке қалдықпен бөліңіз. Біз алып жатырмыз:

PRIVATE = 3, екілік 11 немесе 000011

РОЛЮЦИЯ = 43, екілік 101011

Содан кейін 235 = 11101011, Мына нәтижені тексеріңіз:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Ескертулер:

1. Соңғы екілік сан барлық қалдықтарды және соңғы қадамда қалдықты да, бөлікті де қамтитынын көру оңай.
2. Бөлшек қалдықтың алдында жазылады.
3. Егер алынған бөлікте немесе қалдықта екілік көрсетуде 6 цифрдан аз болса (6 нөл 64 = 1000000 санының екілік көрінісін қамтиды), онда оған елеусіз нөлдер қосылады.

Және тағы біреуі күрделі мысал. Нөмір 25678425.

1-қадам: 25678425 64-ке бөлінеді

Жеке = 401225

Қалдық = 25 = 011001

2-қадам: 401225 64-ке бөлінеді

Жеке = 6269

Қалдық = 9 = 001001

3-қадам: 6269 64-ке бөлінеді

Жеке = 97

Қалдық = 61 = 111101

4-қадам: 97-ні 64-ке бөлу

Жеке = 1 = 000001

Қалдық = 33 = 100001

Сан нәтижесі = 1.100001.111101.001001.011001

Бұл санда нүкте оған енгізілген аралық нәтижелерді бөледі.

Санның екілік көрінісіне түрлендіру:

ҚОСЫМША: 1 Кесте

Мақсат:

студенттер екілік санау жүйесімен танысады, оны компьютерлік технологияда қолданудың кемшіліктері мен артықшылықтарын көрсетеді;

дамыту логикалық ойлау; екілік сандармен арифметикалық амалдарды орындау дағдыларын қалыптастыру;

жаңа білімді өз бетінше меңгеру қабілетін дамыту.

Ресурстар: проектор, интерактивті тақта, компьютер, слайд-презентация, оқулық, жұмыс дәптері, смайликтер, парақтар кері байланыс

Жұмыс тәсілдері: Жеке, жұптық, топтық

Бағалау критерийлері:

Сұрақтарға жауаптар1-3 ұпай

Реферат жазу1-2 ұпай

Тапсырмаларды орындау -1-4 ұпай

Топтық әрекет -1 ұпай

Бағалау мониторингі:

1-3 ұпай – «3»

4-6 ұпай – «4»

7-10 ұпай – «5»

Сабақтың кезеңдері

Уақыт

Мұғалімнің іс-әрекеті

Оқушылардың іс-әрекеті

Бағалау

Күтілетін нәтиже

Мотивация

Сәлем

Оқушылардың сабаққа қатысуын тексеру

оң көзқарас

Топқа бөлу: «Жемістер»

Сабақтың тақырыбы мен мақсатын анықтау жұмыстарын ұйымдастыру

Тиімділікті бағалау критерийлерін құру бойынша іс-шараларды ұйымдастыру

«Ақпарат көлемі» кластерлерін тексеру

Үй тапсырмасын тексеру:

Екілік сандарды сегіздік және он алтылық сандарға түрлендіру.

а) 10111110001

б) 1001101011001

в) 100100101011

Сәлем

Сабаққа деген оң көзқарас

Топқа бөлінеді

Сабақтың тақырыбы мен мақсатын анықтау

Жұмысты бағалау критерийлерін құру

Үй тапсырмасын орындағанын көрсету

Эмотикондар

Сабаққа позитивті болыңыз

Топқа бөлу

Сабақтың тақырыбы мен мақсатын анықтау

Жұмысты бағалау критерийлерін құру

Үй тапсырмасын орындайды

Ақылға қонымды

Мәтінді оқуды ұйымдастыру

Мәтінді оқу

Белгіленген - эмотикондар

Мәтінді мұқият оқып шығыңыз

Рефлексия

-мен жұмысты ұйымдастырадытүйіндеме

тест сұрақтары:

1. Екілік санау жүйесін не құрайды?

2. Ғалымдар нені зерттедіекілік санау жүйесі?

3. Ережелер не үшін қолданыладыекілік сандарға арифметикалық амалдарды орындау?

4.Екілік сандарды қосу, азайту кестесін айт.

5.Екілік сандарды көбейту, бөлу амалдары қалай орындалады.

Мәселелерді шешу:

Қосымшаны орындаңыз:

1001001 + 10101 (жауап 1011110);
101101 + 1101101 (жауап 10011010)
11000,11 + 11010,11 (жауап 110011,1)

Алып тастау:

10001000 – 1110011 (жауап 10101)
1101100 – 10110110

(жауап – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)

Көбейтуді орындаңыз:

100001*111,11

(жауап : 11111111,11)
10011*1111,01

(жауап : 100100001,11)

Бөлуді орындаңыз:

1000000 / 1110 (жауап :100)
11101001000/111100

(жауап : 11111)

Реферат жазу

Сұрақтарға жауап беру, тапсырмаларды орындау

Эмотикондар

Түйіндеме жазыңыз

Сұрақтарға жауап беру, тапсырмаларды орындау

Бір-бірін мұқият тыңдайды, сыни тұрғыдан бағалайды

кері байланыс

Кері байланыс ұйымдастыру:

1.Сабақ сізге не ұнады?

2.Сабақта не ұнамады?

3. Сабақ бойынша қандай сұрақтарыңыз болды?

Кері байланыс парақтарын толтыру

Оқушылар өз ойларын қағаз жүзінде жеткізе алады

Үй жұмысы

Екілік санау жүйесінде арифметикалық амалдарды орындау ережелерін, сондай-ақ екілік санау жүйесінде қосу, алу және көбейту кестелерін үйрену.

Мына қадамдарды орындаңыз:

1) 110010 + 111,01;

2) 11110000111 – 110110001;

3) 10101,101 * 111;

4) 10101110/101.

Үй тапсырмасын күнделіктеріңе жазыңдар

Үй тапсырмасын алу

Бағалау

Оқушыларға критерийлер бойынша жиынтық баға қояды

Бағалау үшін күнделіктерді жіберіңіз

Объективті бағалар күнделікке жазылады

Екілік санау жүйесі

Барлық позициялық санау жүйелерінің ішінде екілік санау жүйесі әсіресе қарапайым, сондықтан қызықты.

Екілік санау жүйесінің негізі қандай? (q=2)

Екілік санның кеңейтілген түрі дегеніміз не? (A 2 \u003d a n-1 *2 n-1 + ... a 0 * 2 0 + a -1 * 2 -1 + ... a -m * 2 -m, мұндағы ai 1 немесе 0. )

Екілік санау жүйесі ұзақ уақыт бойы көптеген ғалымдардың назарында болды. П.С.Лаплас ұлы математик Г.Ф.Лейбництің екілік (екілік) санау жүйесіне қатынасы туралы былай деп жазды: «Лейбниц өзінің екілік арифметикасында жаратылыстың прототипін көрді. Оған бірлік құдайлық принципті, ал нөл – жоқтықты бейнелейді және оның жүйесінде бір және нөл барлық сандарды білдірсе, жоғары болмыс жоқтан барлығын дәл солай жасайды. Бұл сөздер екі таңбадан тұратын әліпбидің таңғажайып әмбебаптығын көрсетеді.

Екілік арифметика.

Екілік санау жүйесін жақсы меңгеру үшін екілік сандарға арифметикалық амалдарды орындауды меңгеру қажет.

Барлығы позициялық жүйелер«бірдей», атап айтқанда, олардың барлығында арифметикалық амалдар бірдей ережелер бойынша орындалады:

бірдей арифметика заңдары жарамды: коммуникативті, ассоциативті, дистрибутивтік;

қосу, алу, көбейту және бағанға бөлу ережелері жарамды;

арифметикалық амалдарды орындау ережелері қосу және көбейту кестелеріне негізделген.

Қосу.

Екілік қосу кестесі қарапайым.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

Екі бірлік қосылғанда, сан толып кетеді және ең жоғары санға көшу орын алады. Толып кету ондағы санның мәні негізге тең немесе одан үлкен болғанда орын алады.

Мысал.

Алу.

0 – 0 = 0
0 – 1 = 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

Көп таңбалы екілік сандарды азайту жоғарыда келтірілген азайту кестесіне сәйкес жоғары ретті цифрлардан мүмкін болатын қарыздарды ескере отырып жүзеге асырылады.

Мысал.

Көбейту.

Көбейту операциясы кәдімгі схема бойынша көбейту кестесін қолдану арқылы орындалады (ондық санау жүйесінде қолданылады) көбейткішті көбейткіштің келесі цифрына ретімен көбейту.

Мысал.

Бөлім.

Бағанға бөлу кезінде аралық нәтижелер ретінде көбейту мен алуды орындау керек.

Мысал.