Екілік санау жүйесі. Екілік арифметика негіздері

Санау жүйелері Санау жүйесі - сандарды белгілеу мен атау әдістері мен ережелерінің жиынтығы. Позициялық санау жүйесі деп аталады, өйткені бір сан сандық жазбада алатын орнына немесе орнына байланысты әртүрлі сандық мәндерді алады. Мысалы, 555 санының жазбасында оң жақта бірінші орында тұрған 5 саны 5 бірлікті, екіншіде 5 ондықты, үшіншіде 5 жүзді білдіреді.

Позициялық санау жүйелері Позициялық санау жүйесінің негізін берілген жүйедегі сандарды көрсету үшін қолданылатын әртүрлі белгілердің немесе белгілердің саны құрайды. Жүйенің негізі ретінде кез келген екі, үш, төрт және т.б натурал сандарды алуға болады. Сондықтан позициялық жүйелердің шексіз саны мүмкін: екілік, үштік, төрттік және т.б.

Позициялық сандар жүйесі Мысал: Екілік санау жүйесі Цифрлар Сан, 1 2 = = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 Сегіздік санау жүйесі Сандар 2 7 6, 5 2 = 2 * 8 2 + 7 * 8 1 + 6 * 8 0 + 5 * * 8 -2

Позициялық санау жүйелері Компьютерлер үшін ыңғайлы екілік жүйе өзінің қолайсыздығы мен әдеттен тыс белгілеуіне байланысты адамдарға қолайсыз. Осыған байланысты сегіздік және он алтылық жүйелер жасалды. Бұл жүйелердегі сандар ондық сандар сияқты оңай оқылады, олар екілік жүйеге қарағанда сәйкесінше үш (сегіздік) және төрт (он алтылық) есе аз цифрларды қажет етеді (ақыр соңында, 8 және 16 сандары тиісінше үшінші болып табылады. және 2) санының төртінші дәрежелері ... –Екілік (0, 1 сандары қолданылады); - сегіздік (0, 1, ..., 7 сандары қолданылады); – Он алтылық (нөлден тоғызға дейінгі бірінші бүтін сандар үшін 0, 1, ..., 9 цифрлары, ал одан кейінгі оннан он беске дейінгі сандар үшін A, B, C, D, E, F таңбалары пайдаланылады сандар ретінде пайдаланылады).

Сандық жүйедегі сандарды белгілеу

Ақпараттың компьютерде немесе цифрлық деректерде қалай бейнеленетіні Компьютерде ең алуан түрлі ақпараттар қалай берілгенін түсіну үшін машина жадының ішіне «қарап көрейік». Оны тордағы парақ түрінде көрсету ыңғайлы. Әрбір осындай «ұяшық» екі мәннің біреуін ғана сақтайды: нөл немесе бір. Екі сан қолайлы электронды сақтаудеректер, өйткені олар тек екі күйді қажет етеді электрондық схема«Қосу» (бұл 1 санына сәйкес келеді) және «өшіру» (бұл 0 санына сәйкес келеді). Компьютер жадысының әрбір «ұяшықтары» бит деп аталады. Компьютер жадысының «ұяшықтарында» сақталған 0 және 1 сандары разрядтық мәндер деп аталады.

Биттер тізбегі арқылы ақпараттың кең ауқымын ұсынуға болады. Ақпараттың мұндай көрінісі екілік немесе цифрлық кодтау деп аталады. Цифрлық деректердің артықшылығы - оны көшіру және өзгерту салыстырмалы түрде оңай. Оларды деректер түріне қарамастан бірдей әдістерді пайдаланып сақтауға және тасымалдауға болады. Мәтіндерді, дыбыстарды (дауыстарды, музыканы), кескіндерді (фотосуреттер, иллюстрациялар) және кескіндер тізбегін (фильмдер мен бейнефильмдер), сондай-ақ цифрлық кодтау әдістері 3D нысандарыөткен ғасырдың 80-жылдарында ойлап табылған.

Сандық ақпаратты екілік кодтау Сандарды жазудың көптеген тәсілдері бар. Біз ондық позициялық белгілеу жүйесін қолданамыз. Оны ондық деп атайды, өйткені бұл санау жүйесінде бір разрядтың он бірлігі келесі ең маңызды цифрдың бір бірлігін құрайды. 10 саны ондық санау жүйесінің негізі деп аталады. Сандарды ондық санау жүйесінде жазу үшін он цифр қолданылады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 және 9.

Сандық ақпаратты екілік кодтау Екі сандық қатарды қарастырайық: 1, 10, 100, 1000, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, Бұл қатарлардың екеуі де біреуден басталады. Бірінші қатардағы әрбір келесі сан алдыңғы санды 10-ға көбейту арқылы алынады. Екінші қатардағы әрбір келесі сан алдыңғы санды 2-ге көбейту арқылы алынады.

Сандық ақпаратты екілік кодтау Кез келген бүтін санды бірінші қатарда жазылған бірліктердің, ондықтардың, жүздіктердің, мыңдықтардың және т.б. цифрлық мүшелерінің қосындысы ретінде көрсетуге болады. Сонымен қатар, бұл қатардың әрбір мүшесі қосындыға қосылмауы немесе оған 1-ден 9 есеге дейін қосылуы мүмкін. Мысал: 1409 = Бірінші жолдың мүшелері көбейтілетін 1, 4, 0, 9 сандары бастапқы санды құрайды.

Ондық бүтін сандарды екілік кодқа түрлендіру 1409 санын екінші жолдың мүшелерінің қосындысы ретінде көрсетуге тырысайық. Ондық санның екілік кодын алудың бұл әдісі бастапқы сан мен алынған бөліктерді 2-ге бөлуден қалған қалдықтарды жазуға негізделген, келесі бөлік 0-ге тең болғанша жалғасады. Мысал:

Ондық бүтін сандарды екілік кодқа түрлендіру Бастапқы сан жоғарғы жолдың бірінші ұяшығына жазылады, ал алдыңғы санның 2-ге бүтін бөлінуінің нәтижесі. Төменгі жолдың ұяшықтарында жоғарғы жолдағы сандарды бөлуден қалған қалдық бар. бойынша 2. Төменгі жолдың соңғы ұяшығы бос қалады ... Түпнұсқа ондық санның екілік коды соңғысынан бастап барлық қалдықтарды ретімен жазу арқылы алынады: =

Ондық бүтін сандарды екілік кодқа айналдыру Екілік санау жүйесіндегі натурал санның алғашқы 20 мүшесі былай жазылады: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1101, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001, 10010, 10011,

Калькуляторды пайдалану 2. Калькулятор ондық санау үшін конфигурацияланғанын тексеріңіз. Пернетақта немесе тінтуірдің көмегімен енгізу өрісіне ерікті екі таңбалы санды енгізіңіз. Bin қосқышын іске қосыңыз және енгізу терезесіндегі өзгерістерді бақылаңыз. Ондық санау жүйесіне оралу. Енгізу өрісін тазалаңыз. 3. Басқа ондық сандар үшін 2-қадамды бірнеше рет қайталаңыз. 4. Калькуляторды екілік белгілерде жұмыс істеу үшін конфигурациялаңыз. Пернетақтадағы калькулятор түймелері мен сандық пернелердің қайсысы сізге қолжетімді екеніне назар аударыңыз. Натурал қатардың 5, 10 және 15 мүшелерінің екілік кодтарын кезекпен енгізіп, оларды ондық санау жүйесіне түрлендіру үшін Dec қосқышын пайдаланыңыз.

1 слайд

2 слайд

* Компьютердегі екілік кодтау Компьютер өңдейтін барлық ақпарат екі цифр арқылы екілік кодпен ұсынылуы керек: 0 және 1. Бұл екі таңба әдетте екілік сандар немесе бит деп аталады. Кез келген хабарламаны 0 және 1 екі цифрымен кодтауға болады. Бұл компьютерде екі маңызды процесті ұйымдастырудың себебі болды: кодтау және декодтау. Кодтау - енгізілген ақпаратты компьютер қабылдай алатын пішінге айналдыру, т.б. екілік код. Декодтау - екілік кодтан деректерді адам оқи алатын пішінге айналдыру. *

3 слайд

* Екілік санау жүйесі Екілік санау жүйесі – негізі 2 болатын позициялық санау жүйесі. 0 және 1 цифрлары қолданылады. Екілік жүйе сандық құрылғылар, өйткені ол ең қарапайым және талаптарға сай: Жүйеде неғұрлым аз мәндер болса, соғұрлым оны өндіру оңайырақ жеке элементтер... Элементтің күйлерінің саны неғұрлым аз болса, шуға төзімділік соғұрлым жоғары болады және ол соғұрлым жылдам жұмыс істей алады. Қосу және көбейту кестелерін құрудың қарапайымдылығы - сандарға негізгі амалдар *

4 слайд

* Ондық және екілік санау жүйелерінің сәйкестігі Қолданылатын цифрлар саны санау жүйесінің негізі деп аталады. Бір уақытта бірнеше санау жүйелерімен жұмыс істегенде, оларды бір-бірінен ажырату үшін жүйенің негізін әдетте ондық жүйеде жазылатын төменгі таңба ретінде көрсетеді: 12310 - ондық жүйедегі 123 саны; 11110112 бірдей сан, бірақ екілік. 1111011 екілік санын былай жазуға болады: 11110112 = 1 * 26 + 1 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20. p = 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p = 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1001101101 *

5 слайд

* Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыру Ондық санау жүйесінен р негізі бар санау жүйесіне көшіру ондық сан мен оның ондық бөлшектерін р-ге ретімен бөлу, содан кейін соңғы бөлшек пен қалдықты кері ретпен жазу арқылы жүзеге асырылады. . 2010 ондық санды екілік жүйеге түрлендіру (негізгі p = 2). Нәтижесінде 2010 = 101002 болды. *

6 слайд

* Сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыру Екілік санау жүйесінен 10 негізді санау жүйесіне ауыстыру екілік санның элементтерін 10-ға ретімен осы элементтің орын дәрежесіне көбейту арқылы жүзеге асырылады, бұл ретте орындарды нөмірлеу оңға қарай жүріп, «0» цифрынан басталады. 100102 екілік санын ондық санау жүйесіне түрлендіру. Нәтижесінде біз 100102 = 1810,100102 = 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 16 + 2 = 1810 * алдық.

Мақсат: «екілік санау жүйесі» ұғымын қалыптастыру.және екілік жүйедегі арифметикалық есептеулердің негіздері.(2-слайд)

Білім мен дағдыға қойылатын талаптар (3-слайд)

Оқушылар білуі керек:

ондық және екілік санау жүйелері;

санды жазудың кеңейтілген түрі;

екілік санаудан ондық жүйеге және керісінше түрлендіру ережесі;

қосу және көбейту ережелері екілік сандар.

Оқушылар білуі керек:

екілік сандарды ондық жүйеге ауыстыру;

ондық сандарды екілік жүйеге ауыстыру;

екілік сандарды қосу және көбейту.

Бағдарламалық және дидактикалық жабдық: Сем., § 16, б. 96; демонстрация «Екілік санау жүйесі»; проектор.(4-слайд)

Сабақтар кезінде

Ұйымдастыру уақыты

Сабақ мақсаттарын қою

Компьютер қандай сандармен жұмыс істейді? Неліктен?

Олармен қалай жұмыс істеу керек?

Сабақтың тақырыбы бойынша жұмыс

(«Екілік санау жүйесі» демонстрациясының көмегімен санның кеңейтілген түрін, екілік санау жүйесінен ондық жүйеге және керісінше ауыстыруды, екілік сандардың арифметикасын көрсетіңіз.)

Екілік санау жүйесі негізгі бейнелеу жүйесі болып табыладыақпараткомпьютер жадында. Бұл идея Джон фон Нейманға тиесілі(5-слайд) , 1946 жылы ЭЕМ құрылымы мен жұмыс істеу принциптерін тұжырымдаған. Бірақ, кең тараған қате түсінікке қарамастан, екілік санау жүйесін электронды есептеуіш машиналардың инженерлері емес, математиктер мен философтар, компьютерлер пайда болғанға дейін, сонау 17-19 ғасырларда ойлап тапқан. Ұлы неміс ғалымы Лейбниц(6-слайд) қарастырылады: «Екіліктің көмегімен есептеу<...>ғылым үшін іргелі болып табылады және жаңа ашуларды тудырады ... Сандарды 0 және 1 болатын ең қарапайым қағидаларға қысқартқанда, барлық жерде керемет тәртіп пайда болады ». Кейін екілік жүйе ұмытылып, тек 1936-1938 жылдары американдық инженер және математик Клод Шеннон(7-слайд) электронды схемаларды жобалауда екілік жүйенің тамаша қолданбаларын тапты.

Санау жүйесі дегеніміз не? Бұл сандарды жазу ережелері және онымен байланысты есептеулерді орындау тәсілдері.

Біз үйренген санау жүйесі ондық деп аталады. Бұл атау он цифрды қолдануымен түсіндіріледі: 0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9. (8-слайд) Цифрлар саны санау жүйесінің негізін анықтайды. Егер цифрлар саны он болса, онда негізі он. Екілік жүйеде тек екі цифр бар: 0 және 1. Негізі екі. Кез келген шаманы тек екі цифрмен көрсетуге бола ма деген сұрақ туындайды. Сіз аласыз екен!

Санды жазудың кеңейтілген түрі (9-слайд)

Сандарды ондық жүйеде жазу принципін еске түсірейік. Сандық жазбадағы цифрдың мағынасы тек цифрдың өзіне ғана емес, сонымен қатар осы цифрдың сандағы орнына байланысты (олар былай дейді: цифрдың орнынан). Мысалы, 555 санында оң жақтағы бірінші сан мынаны білдіреді: үш бірлік, келесі үш ондық, келесі үш жүз. Бұл фактіні биттік терминдердің қосындысы ретінде көрсетуге болады:

555 10 = 5 x 102 + 5 x 101 + 5 x 10 ° = 500 + 50 + 5.

Осылайша, цифрдан цифрға оңнан солға қарай жылжыған сайын әрбір цифрдың «салмағы» 10 есе артады. Себебі санау жүйесінің негізі он.

Екілік жүйеден ондық санау жүйесіне түрлендіру

Міне, көп таңбалы екілік санның мысалы: 1110112 ... Төменгі оң жақтағы екеуі санау жүйесінің негізін көрсетеді. Бұл екілік санды ондық санмен шатастырмау үшін қажет. Өйткені, 111011 ондық саны бар! Екілік сандағы әрбір келесі цифрдың салмағы оңнан солға жылжыған сайын екі есе артады. Бұл екілік санды жазудың кеңейтілген түрі келесідей:

111011 2 = 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0x 22 + 1 x 21 + 1 x 2 ° = 6710 .

Осылайша екілік санды ондық жүйеге ауыстырдық.

Тағы бірнеше екілік сандарды ондық жүйеге ауыстырайық(10-слайд).

10 2 = 2 1 =2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;

10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 және т.б.

Осылайша, екі таңбалы ондық сан алты таңбалы екілік жүйеге сәйкес келетіні анықталды! Ал бұл екілік жүйеге тән: санның мәнінің жоғарылауымен цифрлар санының тез өсуі.

1-жаттығу. (11-слайд) Сандардың натурал қатарының басын ондық жүйемен жазыңыз (А10 ) және екілік (А2 ) санау жүйелері.

2-тапсырма. Төмендегі екілік сандарды ондық жүйеге ауыстырыңыз.

101 ; 11101 ; 101010 ; 100011 ; 10110111011 .

Жауап: 5; 29; 42; 35; 1467.

Ондық сандарды екілік санау жүйесіне түрлендіру (12-слайд)

Екілік санды оған тең ондық бөлшекке қалай түрлендіру керек, сіз жоғарыда талқыланған мысалдардан анық болуыңыз керек. Ал кері аударуды қалай жүзеге асыру керек: ондық жүйеден екілік санау жүйесіне? Ол үшін ондық санды екінің дәрежелері болатын мүшелерге ажырата білу керек. Мысалы:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 ° = 1111 2 . Бұл қиын. Басқа жол бар, біз оны енді білетін боламыз.

234 саны екілік жүйеге ауыстырылсын.234-ті ретімен 2-ге бөліп, нөлді ұмытпай, қалдықты жаттап алайық:

234 = 2 x 117 + 0 14 = 2 x 7 + 0

Соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазып алып, санның екілік ыдырауын аламыз: 23410 = 11101010 2 .

3-тапсырма. (13-слайд) Төмендегі ондық сандар қандай екілік сандарға сәйкес келеді?

2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.

Жауап: 10 2 ; 111 2 ; 10001 2 ; 1000100 2 ; 100111011 2 ; 1011111101 2 ; 11111111111 2 .

Екілік арифметика (14-слайд)

Ережелер екілік арифметикакөп оңайырақ ережелерондық арифметика. Бар болғаны ықтимал опцияларбір таңбалы екілік сандарды қосу және көбейту:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Екілік санау жүйесі өзінің қарапайымдылығымен және компьютер жадысының разрядтық құрылымымен сәйкестігімен компьютерді ойлап тапқандарды қызықтырды. Оны жүзеге асыру әлдеқайда оңай. техникалық құралдарондық жүйеге қарағанда.

Мұнда екі көптаңбалы екілік сандарды бағанды ​​қосудың мысалы келтірілген(15-слайд) :

+ 1011011101

111010110

10010110011

Енді көп таңбалы екілік сандарды көбейтудің келесі мысалын мұқият қарастырыңыз:

X 1101101

101

1101101

1101101

1000100001

4-тапсырма. (16-слайд) Екілік қосуды орындаңыз.11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.

Жауап: 100; 1000; 10000; 100000.

Тапсырма 5. Екілік санау жүйесінде көбейтуді орындаңыз.

111 x 10; 111 x 11; 1101 x 101; 1101 x 1000.

Жауап: 1110; 10101; 1000001; 1101000.

Сабақты қорытындылау (17-слайд)

Санау жүйесі - сандарды жазу ережелерінің және есептеулерді орындауға байланысты әдістердің жиынтығы. Санау жүйесінің негізі онда қолданылатын цифрлар санына тең.

Екілік сандар – екілік санау жүйесіндегі сандар. Олар екі цифрды пайдаланады: 0 және 1.

Екілік санның кеңейтілген белгіленуі – оның екінің дәрежелерінің қосындысы 0 немесе 1-ге көбейтіндісі түрінде ұсынылуы.

Компьютерде екілік сандарды пайдалану компьютер жадысының разрядтық құрылымымен және екілік арифметиканың қарапайымдылығымен байланысты.

Үй тапсырмасы (18-слайд)

Екілік сандар көрсетілгенX және Ы . ЕсептеуX + ЫжәнеX- Ы , егерX = 1000111, Ы = 11010.

Екілік сандар көрсетілгенXжәнеВ. ЕсептеуX + Ы - 1001101 егерX = 1010100, Ы = 110101.

Көбейтуді орындаңыз: 100110 x 11001.

Жауаптары: 1.1100001 және 101101; 2.111100; 3.110110110.