Бірнеше айнымалы күрделі функциялардың туындылары. Күрделі функцияның туындысының формуласын дәлелдеу Бірнеше айнымалы функцияның толық туындысы

z=ƒ(x;y) екі айнымалы x және y функциясы болсын, олардың әрқайсысы t тәуелсіз айнымалының функциясы болып табылады: x = x(t), y = y(t). Бұл жағдайда z = f(x(t);y(t)) функциясы бір тәуелсіз айнымалы t күрделі функциясы болып табылады; x және y айнымалылары аралық айнымалылар.

44.4 теорема. Егер z \u003d ƒ (x; y) M нүктесінде дифференциалданатын функция болса (x; y) є D және x \u003d x (t) және y \u003d y (t) t тәуелсіз айнымалысының дифференциалданатын функциялары болса, содан кейін туынды күрделі функция z(t) = f(x(t);y(t)) формула бойынша есептеледі

t тәуелсіз айнымалысына Δt өсімін берейік. Сонда x = x(t) және y = y(t) функциялары сәйкесінше Δx және Δy өсімдерін алады. Олар өз кезегінде z функциясының Az көбейтуіне себепші болады.

Шарт бойынша z - ƒ(x; y) функциясы M(x; y) нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан, оның толық өсімін мына түрде көрсетуге болады.

мұндағы a→0, β→0 Δх→0, Δу→0 ретінде (44.3-тармақты қараңыз). Δz өрнегін Δt-ге бөліп, шегіне Δt→0 деп өтеміз. Сонда Δх→0 және Δу→0 x = x(t) және y = y(t) функцияларының үзіліссіздігіне байланысты (теореманың шарты бойынша олар дифференциалданады). Біз алып жатырмыз:

Ерекше жағдай: z=ƒ(x;y), мұндағы y=y(x), яғни z=ƒ(x;y(x)) – бір тәуелсіз айнымалы x күрделі функциясы. Бұл жағдай t айнымалысының рөлін x ойнай отырып, алдыңғы жағдайға дейін қысқарады. (44.8) формулаға сәйкес бізде:

(44.9) формуласы жалпы туынды формула деп аталады.

Жалпы жағдай: z=ƒ(x;y), мұндағы x=x(u;v), y=y(u;v). Сонда z= f(x(u;v);y(u;v)) u және v тәуелсіз айнымалыларының күрделі функциясы болады. Оның ішінара туындыларын (44.8) формуласы арқылы төмендегідей табуға болады. v бекітілген, біз оны сәйкес жартылай туындылармен ауыстырамыз

Сол сияқты, біз аламыз:

Осылайша, күрделі функцияның (z) әрбір тәуелсіз айнымалыға (u және v) қатысты туындысы осы функцияның (z) аралық айнымалыларына (x және y) қатысты жеке туындыларының көбейтінділерінің қосындысына тең. ) және олардың сәйкес тәуелсіз айнымалыға қатысты туындылары (u және v).

44.5-мысал. z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v болса табыңыз.

Шешуі: (44.10) формула арқылы dz/du (dz/dv - дербес) табыңыз:

Алынған теңдіктің оң жағын ықшамдаңыз:

40. Бірнеше айнымалы функцияның ішінара туындылары және толық дифференциалы.

z = ƒ (x; y) функциясы берілсін. x және y тәуелсіз айнымалылар болғандықтан, олардың біреуі өзгеруі мүмкін, ал екіншісі өзгеріссіз қалады. Х тәуелсіз айнымалысына у мәнін өзгеріссіз қалдырып, Δx өсімін берейік. Сонда z өсімді алады, ол x-тегі z-тің ішінара өсімі деп аталады және ∆ x z арқылы белгіленеді. Сонымен,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

Сол сияқты, y-ге қатысты z-дің ішінара өсімін аламыз:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

z функциясының толық өсу Δz теңдігімен анықталады

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Егер шектеу болса

онда ол х айнымалысына қатысты M (x; y) нүктесіндегі z \u003d ƒ (x; y) функциясының ішінара туындысы деп аталады және символдардың бірімен белгіленеді:

M 0 (x 0; y 0) нүктесіндегі х-ке қатысты жартылай туындылар әдетте символдармен белгіленеді.

y айнымалысына қатысты z \u003d ƒ (x; y) ішінара туындысы ұқсас жолмен анықталады және белгіленеді:

Осылайша, бірнеше (екі, үш немесе одан да көп) айнымалылар функциясының ішінара туындысы қалған тәуелсіз айнымалылардың мәндерінің тұрақтылығын ескере отырып, осы айнымалылардың бірінің функциясының туындысы ретінде анықталады. Демек, ƒ(x; y) функциясының жеке туындылары бір айнымалы функцияның туындыларын есептеу формулалары мен ережелері бойынша табылады (бұл жағдайда сәйкесінше х немесе у тұрақты шама болып саналады).

44.1-мысал. z = 2y + e x2-y +1 функциясының жеке туындыларын табыңыз. Шешім:

Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы

z \u003d ƒ (x; y) функциясының графигі белгілі бір бет болып табылады (12.1-тармақты қараңыз). z \u003d ƒ (x; y 0) функциясының графигі - бұл беттің y \u003d y o жазықтығымен қиылысу сызығы. Бір айнымалы функция үшін туындының геометриялық мағынасына сүйене отырып (20.2-тармақты қараңыз) мынадай қорытындыға келеміз: ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a, мұндағы a - Ox осі мен оған тартылған жанама арасындағы бұрыш. қисығы z \u003d ƒ (x; y 0) Mo нүктесіндегі (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (208-суретті қараңыз).

Сол сияқты, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Z=f(x,y) функциясы P(x,y) нүктесінде дифференциалданатын деп аталады, егер оның ΔZ толық өсімін Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy) түрінде көрсетуге болады, мұндағы Δx және Δy – P, A және B нүктелерінің кейбір маңайындағы сәйкес x және y аргументтерінің кез келген өсулері тұрақты (Δx, Δy-ге тәуелді емес),

ω(Δx,Δy) қашықтыққа қарағанда шексіз аз жоғары ретті:

Егер функция нүктеде дифференциалданатын болса, онда оның осы нүктедегі толық өсімі екі бөліктен тұрады:

1. A∙Δx+B∙Δy функциясының өсімшесінің негізгі бөлігі Δx,Δy-ға қатысты сызықты

2. Ал сызықты емес ω(Δx,Δy) – өсімнің негізгі бөлігіне қарағанда шексіз аз жоғары ретті.

Δx,Δy қатысты сызықты болатын функция өсімшесінің негізгі бөлігі осы функцияның толық дифференциалы деп аталады және былай белгіленеді:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx және Δy=dy немесе екі айнымалы функцияның толық дифференциалы:

Дифференциалды көрсету. Бір айнымалының сандық функциясының дифференциалы және туындысы. Туынды кесте. Дифференциалдылық. ) - аргументтің функциясы, ол →0 сияқты шексіз аз, яғни,

Енді нүктедегі дифференциалданушылық пен сол нүктедегі туындының болуы арасындағы байланысты анықтайық.

Теорема. Функция үшін f(x) берілген нүктеде дифференциалданатын болды X , бұл нүктеде оның ақырлы туындысы болуы қажет және жеткілікті.

Туынды кесте.

Мысал. Егер, қайда табыңыз.

Шешім. (1) формулаға сәйкес бізде:

Мысал. Ішінара туынды және толық туынды болса, табыңыз .

Шешім. .

Формула (2) негізінде аламыз .

2°. Бірнеше тәуелсіз айнымалылар жағдайы.

Болсын z = f(x;y) -екі айнымалының функциясы Xжәне у,олардың әрқайсысы функция болып табылады

тәуелсіз айнымалы t: x = x(t), y = y(t).Бұл жағдайда функция z=f(x(t);y(t))болып табылады

бір тәуелсіз айнымалының күрделі функциясы т;айнымалылар x және y - аралық айнымалылар.

Теорема. Егер а z == f(x; у) -нүктеде дифференциалданады M(x; y) Dфункциясы

және x = x(t)және сағ =y(t) -тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциялары т,

содан кейін күрделі функцияның туындысы z(t) == f(x(t);y(t))формуласымен есептеледі

(3)

Ерекше жағдай: z = f(x; y),мұндағы у = y(x),анау. z= f(x;y(x)) -күрделі функциясы

тәуелсіз айнымалы X.Бұл жағдай алдыңғыға дейін және айнымалының рөлін азайтады

тойнайды X.(3) формулаға сәйкес бізде:

.

Соңғы формула деп аталады жалпы туындының формулалары.

Жалпы жағдай: z = f(x;y),қайда x = x(u;v), y=y(u;v).Сонда z = f(x(u;v);y(u;v)) -кешен

тәуелсіз айнымалылар функциясы жәнежәне v.Оның жартылай туындыларын табуға болады

(3) формуланы төмендегідей пайдаланады. Бекіту v,оған ауыстырыңыз

сәйкес жартылай туындылар

Сонымен, әрбір тәуелсіз айнымалыға қатысты құрама функцияның (z) туындысы (жәнежәне v)

осы функцияның (z) аралық туындысына қатысты туындыларының қосындысына тең

айнымалылар (x және y)сәйкес тәуелсіз айнымалыға қатысты олардың туындыларына (u және v).

Қарастырылған барлық жағдайларда формула

(толық дифференциалдың инварианттылық қасиеті).

Мысал. Егер z= болса, табыңыз f(x,y), мұндағы x=uv, .

z - f(x, y) функциясы xOy жазықтығының кейбір D облысында анықталсын. D аймағынан ішкі нүктені (x, y) алайық және x-ке (x + Ax, y) нүктесі 6 D болатындай Ax өсімін берейік (9-сурет). Мәнді z функциясының х-ке қатысты жартылай өсімі деп атаймыз. Қатынас құрастырыңыз Берілген нүкте үшін (x, y) бұл қатынас Анықтау функциясы болып табылады. Егер Ax -* 0 үшін ^ қатынасының шекті шегі болса, онда бұл шек (x, y) нүктесіндегі х тәуелсіз айнымалысына қатысты z = /(x, y) функциясының ішінара туындысы деп аталады және jfc символымен белгіленеді (немесе /i(x, jj ) немесе z "x (x, Дәл осылай, анықтамасы бойынша немесе, ол бірдей, Аналогиялық Егер және n тәуелсіз айнымалының функциясы болса, онда Ескерту Arz өзгермеген y айнымалысының мәнімен, ал Atz өзгермеген x айнымалысының мәнімен есептелетінін, ішінара туындылардың анықтамаларын келесідей тұжырымдауға болады: Жартылай туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы. бірнеше айнымалы функция Қажетті шарттарфункцияның дифференциалдығы Жеткілікті шарттарбірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдығы Толық дифференциал. Бөлімше дифференциалдар z = /(x, y) функциясының х қатысты жеке туындының құрама функциясының туындылары у тұрақты шама деп есептелетін осы функцияның х-ке қатысты жай туындысы деп аталады; z - /(x, y) функциясының у-ға қатысты ішінара туындысы оның у-ға қатысты туындысы болып табылады, х тұрақты болады деген болжаммен есептеледі. Бұл ішінара туындыларды есептеу ережелері бір айнымалы функция үшін дәлелденген ережелермен сәйкес келетінін білдіреді. Мысал. Функцияның жеке туындыларын табыңыз 4 Бізде алмастырулар бар*. Барлық аргументтерге қатысты жартылай туындылардың берілген нүктесінде y = /(x, y) функциясының болуы осы нүктедегі функцияның үздіксіздігін білдірмейді. Сонымен, функция 0(0,0) нүктесінде үздіксіз емес. Дегенмен, осы сәтте көрсетілген функциях және у-ға қатысты жартылай туындылары бар. Бұл /(x, 0) = 0 және /(0, y) = 0, демек, екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасынан шығады.Үш өлшемді кеңістіктегі S беті болсын. теңдеумен берілген, мұнда f(x, y) функция болып табылады, кейбір D облысында үзіліссіз және онда х пен у-ға қатысты ішінара туындылары бар. Бұл туындылардың z = f(x)y бетінде f(x0)yo) нүктесі сәйкес келетін Mo(x0, y0) 6 D нүктесіндегі геометриялық мағынасын анықтайық. M0 нүктесіндегі ішінара туындыны тапқанда, z аргументі х аргументінің ғана функциясы деп есептейміз, ал у аргументі y \u003d yo тұрақты мәнін сақтайды, яғни fi (x) функциясы геометриялық түрде L қисығымен бейнеленген. , оның бойымен S беті шамамен y \u003d жазықтығымен қиылысады. Бір айнымалы функцияның туындысының геометриялық мағынасына байланысты f \ (xo) = tg a, мұндағы a - Ox осімен JV0 нүктесінде L түзуіне жанаманың түзетін бұрышы (10-сурет). . Сонымен, ішінара туынды ($|) Ox осі арасындағы а бұрышының тангенсіне және N0 нүктесіндегі жанаманың z \u003d / (x, y) бетінің қимасында алынған қисыққа тең. y жазықтығы бойынша.Сол сияқты §6-ны аламыз. Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы z = /(x, y) функциясы xOy жазықтығындағы кейбір D облысында анықталсын. (x, y) € D нүктесін алайық және таңдалған x және y мәндеріне кез келген Ax және Dy өсімдерін берейік, бірақ нүкте болатындай. Анықтама. r = /(x, y) функциясы дифференциалданатын * нүктесі (x, y) € 2E деп аталады, егер аргументтердің Dx, Dy өсіміне сәйкес келетін осы функцияның жалпы өсімін A және B түрінде көрсетуге болады. Dx және Dy-ге тәуелді емес (бірақ жалпы олар x пен у-ға тәуелді), ал a(Ax, Dy) және f(Ax, Dy) нөлге бейім, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. . Егер z = /(x, y) функциясы (x, y) нүктесінде дифференциалданатын болса, Dx және Dy қатысты сызықтық функция өсімшесінің A Dx 4 - VDy бөлігі толық дифференциал деп аталады. бұл функцияның (х, у) нүктесінде және dz символымен белгіленеді: Таним жолы, мысал. r = x2 + y2 болсын. Кез келген нүктеде (r, y) және кез келген Dx және Dy үшін бізде Мұнда бар. Бұдан a және /3 нөлге ұмтылады, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. Анықтама бойынша, берілген функция xOy жазықтығының кез келген нүктесінде дифференциалданады. Бұл жерде біз өз пайымдауымызда Dx, Dy өсімдері бөлек немесе тіпті екеуі де бірден нөлге тең болатын жағдайды ресми түрде жоққа шығармағанымызды ескереміз. Формула (1) ықшамырақ жазылуы мүмкін, егер біз өрнекті енгізсек (нүктелер арасындағы қашықтық (Оны пайдаланып, біз жақшадағы өрнекті e арқылы белгілей отырып жаза аламыз, бізде c J, Du тәуелді және нөлге ұмтылады, егер J 0 және Dy 0, немесе қысқаша айтқанда, p 0 болса. z = f(xt y) функциясының (x, y) нүктесінде дифференциалданатын шартын өрнектейтін (1) формуланы енді жазуға болады. Сонымен, жоғарыдағы 6.1 мысалда Теорема 4. Егер r = f(x, y) функциясы қандай да бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үздіксіз болады.4 Егер r = f(x, y) функциясы дифференциалданатын болса. (х, у) нүктесінде, онда аргументтердің j және dy өсіміне сәйкес келетін осы нүктедегі""e функциясының өсімшесінің қосындысы /(х, у) түрінде ұсынылуы мүмкін үздіксіз . z = /(x, y) функциясы (х, у) нүктесінде дифференциалданатын болсын. Сонда аргументтердің Dx, Ay өсіміне сәйкес келетін бұл функцияның Dx өсімін (1) түрінде көрсетуге болады. (1) Dx F 0, Dn = 0 теңдігін ала отырып, біз қайдан аламыз Соңғы теңдіктің оң жағында А мәні тәуелді емес, Бұл (х, у) нүктесінде жартылай болатынын білдіреді. x-ке қатысты r \u003d / (x, y) функциясының туындысы және осыған ұқсас пайымдаулар арқылы біз (x, zу функциясының ішінара туындысы бар екенін және теоремадан шығатыны, 5-теореманы ерекше атап өтеміз) (х, у) нүктесінде ғана ішінара туындылардың бар екендігін бекітеді, бірақ олардың үздіксіздігі туралы ештеңе айтпайды 6.2 Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының жеткілікті шарттары Белгілі болғандай, бір мәннің дифференциалдануының қажетті және жеткілікті шарты. xo нүктесіндегі бір айнымалының y = f(x) функциясы х0 нүктесінде соңғы /"(x) туындысының болуы болып табылады. Функция бірнеше айнымалыға тәуелді болған жағдайда жағдай әлдеқайда күрделі: екі тәуелсіз айнымалы x, y z = /(x, y) функциясы үшін дифференциалдаудың қажетті және жеткілікті шарттары жоқ; l бар қажетті шарттарды іздеңіз (қараңыз. жоғарыда) және бөлек - жеткілікті. Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының бұл жеткілікті шарттары келесі теорема арқылы өрнектеледі. Теорема c. Егер функцияның жіңішке сызықтың (xo, y0) кейбір маңайында /£ және f"v жеке туындылары болса және бұл туындылар (xo, y0) нүктесінің өзінде үздіксіз болса, онда z = f(x, y) функциясы. ) нүктесінде дифференциалданады (x- Мысал Функцияны қарастырайық Бөлшек туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы Функцияның дифференциалдануының қажетті шарттары Бірнеше айнымалының функцияларының дифференциалдалуының жеткілікті шарттары Барлығы дифференциалды Бөлімше дифференциалдар Күрделі функцияның туындылары Ол барлық жерде анықталады Дербес туындылардың анықтамасына сүйене отырып, бізде бұл функцияның ™ 0(0, 0) нүктесінде бар және оның өсімі 0 және Du 0 үшкірлейді. D0 қойыңыз. Сонда (1) формуладан бізде болады Сондықтан, / (x, y) \u003d функциялары 0 (0, 0) нүктесінде дифференциалданбайды, бірақ бұл нүктеде біз fa және f "r аламыз. Алынған нәтиже f"z және f"t туындыларының §7 нүктесінде үзіліссіз болуымен түсіндіріледі. толық дифференциал. Жартылай дифференциалдар Егер r - f(z> y) функциясы дифференциалданатын болса, онда оның соңғы дифференциалы dz олардың өсімшелері болады: Осыдан кейін функцияның толық дифференциалының формуласы мысалды алады. i - 1l(x + y2) болсын. Сонда Сол сияқты, егер u =) n тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциясы болса, онда Өрнек x айнымалысына қатысты z = f(x, y) функциясының арық дифференциалы деп аталады; өрнек у айнымалысының z = /(x, y) функциясының ішінара дифференциалы деп аталады. (3), (4) және (5) формулаларынан функцияның толық дифференциалы оның жеке дифференциалдарының қосындысы болатыны шығады: z = /(x, y) функциясының жалпы өсімі Az екенін ескеріңіз, жалпы айтқанда , жартылай өсімдердің қосындысына тең емес. Егер (х, у) нүктесінде y = /(x, y) функциясы дифференциалданатын болса және осы нүктедегі дифференциал dz Φ 0 болса, онда оның толық өсімі оның сызықтық бөлігінен тек соңғы aAx 4 мүшелерінің қосындысымен ғана ерекшеленеді. - /?0 және Ay --> O сызықтық бөліктің мүшелеріне қарағанда жоғары ретті шексіз аз сандар. Сондықтан dz Ф 0 болғанда дифференциалданатын функцияның өсімшесінің сызықтық бөлігі функцияның өсімшесінің негізгі бөлігі деп аталады және дәлірек болған сайын шамалардың абсолюттік мәні кішірек болатын жуық формула қолданылады. аргументтер. §сегіз. Күрделі функцияның туындылары 1. Функция xOy жазықтығында қандай да бір D облысында анықталсын, ал x, y айнымалыларының әрқайсысы өз кезегінде t аргументінің функциясы болып табылады: Біз t өзгерген кезде деп есептейміз. интервал (сәйкес нүктелер (x, y) D облысынан тыс шықпайды. Егер мәндерді z = / (x, y) функциясына ауыстырсақ, онда бір айнымалы t күрделі функциясын аламыз. және сәйкес мәндер үшін / (x, y) функциясы дифференциалданады, онда t нүктесіндегі күрделі функцияның туындысы бар және M t өсімін Dt берейік.Содан кейін x және y кейбір Ax және Dy өсімдерін алады. нәтижесінде (J)2 + (Dy)2 ∆ 0 болғанда, z функциясы да кейбір Dt өсімін алады, ол z = f , y) функциясының (x, y) нүктесіндегі дифференциалдығына байланысты: мұндағы a) нөлге бейім, Ax және Du нөлге бейім ретінде көрсетіледі. Ax = Ay = 0 үшін a және /3 анықтамасын кеңейтеміз. Сонда a( J = Dy = 0 үшін үзіліссіз болады. Берілген қатынасты тұрақты деп есептейік, шарт бойынша бар болу шегі бар. ^ туындылары және £ нүктесінде x = y(t) және y = функциялары осы нүктеде үзіліссіз болады; сондықтан 0-де J және Dy екеуі де нөлге ұмтылады, бұл өз кезегінде a(Ax, Dy) болады. және P(Ax, Ay) нөлге бейім.Осылайша, (2) 0-дегі теңдіктің оң жағының шегі бар, Демек, 0-де (2) сол жағының шегі бар, яғни тең бар Теңдікте (2) шегіне At -» 0 ретінде өту арқылы біз қажетті формуланы аламыз, демек, z x-тің күрделі функциясы болған нақты жағдайда, есептеуде х-тен у) аламыз. /(x, y) өрнегінде у аргументі тұрақты ретінде қабылданады. тәуелсіз х айнымалысы, оны есептеу кезінде /(x, y) өрнегіндегі у енді тұрақты ретінде қабылданбайды, бірақ өз кезегінде x функциясы ретінде қарастырылады: y = tp(x)t, демек z тәуелділігі х бойынша толығымен есепке алынады. Мысал. Табыңыз және jg егер 2. Енді бірнеше айнымалы күрделі функцияның дифференциалын қарастырыңыз. (() нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары u, 3? және сәйкес (x, y) нүктесінде f(x, y) функциясы дифференциалданатындай етіп қай жерде болсын. осы шарттарда t7) нүктесіндегі z = z(() y) күрделі фунхионның туындылары және u бар және осы туындылар үшін өрнектерді табамыз. Бұл жағдайдың бұрын зерттелгеннен айтарлықтай айырмашылығы жоқ екенін ескеріңіз. Шынында да, z £-ге қатысты дифференциалданғанда, тұрақты ретінде екінші тәуелсіз айнымалы rj қабылданады, нәтижесінде х және у бір айнымалының функциясына айналады x" = c), у = в) бұл операцияда, және Φ туындысы туралы мәселе (3) формуланы (3) формуласын пайдалану және ондағы g және ^ туындыларын формальды түрде u туындыларымен ауыстыру және сәйкесінше, (3) формуланы шығаруда туынды туралы сұраққа дәл солай шешіледі. алу Егер күрделі функция «Формулалар арқылы көрсетілген, сондықтан сәйкес шарттар орындалса, бізде болады Нақты жағдайда қашан And = мұндағы Бөлшек туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы. Функцияның дифференциалдалуының қажетті шарттары Бірнеше айнымалының функцияларының дифференциалдалуының жеткілікті шарттары Толық дифференциал.Жақтықсыз дифференциалдар Бізде күрделі функцияның туындылары бар Мұндағы m – функцияның толық дербес туындысы. және х-тің толық тәуелділігін ескере отырып, х тәуелсіз айнымалысына қатысты, соның ішінде және арқылы z = z(x, y),

Жартылай туындылар бірнеше айнымалы функциялары бар тапсырмаларда қолданылады. Табудың ережелері бір айнымалының функцияларымен бірдей, бір ғана айырмашылығы - айнымалылардың біреуі дифференциалдау кезінде тұрақты (тұрақты сан) ретінде қарастырылуы керек.

Формула

$ z(x,y) $ екі айнымалы функциясының ішінара туындылары келесі $ z"_x, z"_y $ түрінде жазылады және формулалар арқылы табылады:

Бірінші ретті жартылай туындылар

$$ z"_x = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) $$

$$ z"_y = \frac(\жартылай z)(\жартылай y) $$

Екінші ретті жартылай туындылар

$$ z""_(xx) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай x \жартылай x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай y \жартылай y) $$

аралас туынды

$$ z""_(xy) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай x \жартылай y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай y \жартылай x) $$

Құрама функцияның жартылай туындысы

а) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ болсын, онда күрделі функцияның туындысы мына формуламен анықталады:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\жартылай y) \cdot \frac (күн)(dt) $$

ә) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ болсын, онда функцияның жеке туындылары мына формула бойынша табылады:

$$ \frac(\жартылай z)(\жартылай u) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(\жартылай x)(\жартылай u) + \frac(\жартылай z)( \жартылай y) \cdot \frac(\жартылай y)(\жартылай u) $$

$$ \frac(\жартылай z)(\жартылай v) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(\жартылай x)(\жартылай v) + \frac(\жартылай z)( \жартылай y) \cdot \frac(\жартылай y)(\жартылай v) $$

Жанама берілген функцияның жартылай туындылары

а) $ F(x,y(x)) = 0 $, содан кейін $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ болсын.

ә) $ F(x,y,z)=0 $ болсын, онда $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Шешу мысалдары