ДВАЇВНА АРИФМЕТИКА

Правила виконання арифметичних дій над двійковими числами задаються таблицями двійкових додавання, віднімання та множення:

Двійкові операції

Правила арифметики у всіх позиційних системах є аналогічними. При додаванні у кожному розряді відповідно до таблиці двійкового додавання проводиться додавання двох цифр доданків або двох цих цифр і 1, якщо є перенесення з сусіднього молодшого розряду. В результаті виходить цифра відповідного розряду суми та, можливо, також 1 перенесення до старшого розряду. Наведемо приклад додавання двох двійкових чисел:

Справа показано складання тих самих чисел, представлених у десятковій системі.

При відніманні двійкових чисел у цьому розряді за необхідності займається 1 з наступного старшого розряду. Ця займана 1 дорівнює двом 1 даного розряду. Позика проводиться кожного разу, коли цифра в розряді віднімається більше цифри в тому ж розряді зменшуваного. Пояснимо сказане прикладом:

Множення двійкових багаторозрядних чисел здійснюється шляхом утворення часткових творів та подальшого їх підсумовування. Відповідно до таблиці двійкового множеннякожен частковий добуток дорівнює 0, якщо у відповідному розряді множника коштує 0, або дорівнює множинні, зсунутому на відповідне число розрядів вліво, якщо в розряді множника стоїть 1. Таким чином, операція множення багаторозрядних двійкових чисел зводиться до операцій зсуву та додавання. Положення коми визначається так само, як при множенні десяткових чисел. Сказане пояснюється прикладом:

1011,1 х 101,01 = 111100,011

х 10101

00000 + 10111 00000 10111____

Особливості виконання поділу двійкових чисел пояснюються таким прикладом:

1100,011:10,01 = ? 1100011|10010 -10010 101,1

11011 -10010 10010 -10010 00000

Завдяки простоті правил двійкового додавання, віднімання та множення застосування в ЕОМ двійкової системи числення дозволяє спростити схеми пристроїв, що виконують арифметичні операції.

ФОРМИ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЧИСЕЛ У КОМП'ЮТЕРІ

Будь-яка інформація (числа, команди, алфавітно-цифрові записи тощо) подається в комп'ютері у вигляді двійкових кодів (двійкових слів) фіксованої або змінної довжини. Окремі елементидвійкового коду, що мають значення 0 або 1 називають розрядами або бітами. У комп'ютері слова часто розбивають частини, звані байтами. У сучасних ЕОМ широко використовується байт, що містить 8 біт.

Двійковий розряд представляється на комп'ютері деяким технічним пристроємнаприклад тригером, двом різним станам якого приписують значення 0 і 1. Набір відповідної кількості таких пристроїв служить для подання багаторозрядного двійкового числа (слова).

У комп'ютері застосовують дві форми представлення чисел: з фіксованою комою (точкою) та з плаваючою комою (точкою). Ці форми називають також відповідно природною та напівлогарифмічною.

При поданні чисел з фіксованою комою положення коми фіксується у певному місці щодо розрядів числа. Зазвичай мається на увазі, що кома знаходиться або перед старшим розрядом, або після молодшого. У першому випадку можуть бути представлені лише числа, які за модулем менше 1, у другому - лише цілі числа.

< 2 байта, 16 разрядов >

< 4 байта, 32 разрядa >

Формати даних для представлення двійкових чисел із фіксованою комою (точкою)

На рис. 1.1 показані приклади форматів даних для представлення двійкових чисел з фіксованою комою та відповідні розрядні сітки. За сформованою в обчислювальної технікиТрадиції нумерація розрядів (біт) у розрядній сітці в машинах загального призначення (ЄС ЕОМ) ведеться зліва направо, а в малих ЕОМ, мікро-ЕОМ та мікропроцесорах - справа наліво. На розрядній сітці вказано ваги розрядів.

При поданні числа зі знаком коду знака виділяється «знаковий» розряд (зазвичай крайній зліва). У цьому розряді 0 відповідає плюсу, а 1 – мінусу.

На рис. 1.1, a показаний формат для чисел із комою, фіксованою перед старшим розрядом. У цьому форматі можуть бути з точністю до 2–(n-1) представлені числа (правильні дроби) у діапазоні

2 - (n-1) | x | 1 - 2 –(n-1)

Перші комп'ютери були машинами з фіксованою комою, причому кома фіксувалася перед старшим розрядом числа. В даний час, як правило, форму з фіксованою комою застосовують для подання цілих чисел (кома фіксована після молодшого розряду).

Використовують два варіанти подання цілих чисел: зі знаком та без знака. У разі всі розряди розрядної сітки служать уявлення модуля числа.

Подання чисел з фіксованою комою використовується як основне і єдине лише порівняно невеликих за своїми обчислювальними можливостями машинах, що застосовуються в системах передачі даних, для керування технологічними процесамита обробки вимірювальної інформації у реальному масштабі часу.

У машинах, призначених для вирішення широкого кола обчислювальних завдань, основним є подання чисел з плаваючою комою, що не потребує масштабування даних. Однак у таких машинах часто поряд із цією формою подання чисел використовується також і подання з фіксованою комою для цілих чисел, оскільки операції з такими числами виконуються за менший час. Зокрема, до операцій із цілими числами зводяться операції над кодами адрес (операції індексної арифметики).

Подання числа з плаваючою комою у випадку має вигляд

де q - мантіса числа х, sp - характеристика числах; р - порядок-, s

Підстава характеристики (зазвичай цілий рівень числа 2).

Мантіса (правильний дріб зі знаком) і порядок (ціле число зі знаком) подаються в системі числення з основою, що дорівнює s (у відповідній двійково-кодованій формі). Знак числа збігається зі знаком мантиси.

Порядок р, який може бути позитивним або негативним цілим числом, визначає положення коми в числі х.

На рис. 1.2 показані приклади форматів даних для чисел з плаваючою комою. Одна частина біт формату використовується для представлення порядку, а інша – для мантиси.

Арифметичні дії над числами з плаваючою комою вимагають виконання, крім операцій над мантисами, певних операцій над порядками (порівняння, віднімання та ін.). Для спрощення операцій над порядками їх зводять до дій над цілими позитивними числами (цілими числами без знаків), застосовуючи уявлення чисел з плаваючою комою "зміщеним порядком".

У разі представлення числа з плаваючою комою зі зміщеним порядком до його порядку р додається ціле число - зміщення N = 2k , де k

Число двійкових розрядів, що використовуються для порядку модуля. Зміщений порядок р см = р + N завжди позитивний. Для його уявлення

необхідно таке ж число розрядів, як і для модуля та знаку порядку р. Важлива особливість зміщених порядків полягає в тому, що якщо для

порядків р" і р", що є цілими числами зі знаками, виконується співвідношення

то і для позитивних цілих чисел відповідних зміщених порядків р см і р завжди завжди см див. Це уявлення числа називають також напівлогарифмічним, так як частина числа - характеристика - виражена в логарифмічній формі.

Знак "-" кодується одиницею, знак "+" - банкрутом.

Подання чисел з плаваючою комою

При фіксованому числі розрядів мантиси будь-яка величина представляється в машині з максимальною точністю нормалізованим числом.

Число х = s"q називається нормалізованим,якщо мантіса q задовольняє умову

тобто старший розряд мантиси в s-річній системі відмінний від нуля. У процесі обчислень може бути ненормалізоване число. У цьому випадку машина, якщо це наказано командою, автоматично нормалізує його (нормалізація результату операції).

Нехай r старших розрядів s-річної мантиси дорівнюють 0. Тоді нормалізація полягає у зрушенні мантиси на r розрядів вліво та зменшенні порядку на r одиниць, при цьому в молодші r розрядів мантиси записується 0. Після такої операції число не змінюється, а умова (2.4) виконується. За нульової мантиси нормалізація неможлива.

У різних ЕОМ застосовуються уявлення чисел з плаваючою комою в системах числення з різними підставами, але рівними цілого ступеня числа 2 (s = 2w ), при цьому порядок р представляється цілим числом, а мантиса q - числом, в якому групи по w двійкових розрядів зображають цифри мантиси з основою системи числення s = 2w.

Прикладами застосовуваних форм чисел з плаваючою комою з різними підставами системи числення є

x = 2p q (1> | q | 1/2); x = 8p q (I > | q | 1/8);

x = l6 p q (I> | q | 1/16).

У дужках зазначені відповідні умови отримання нормалізованих чисел.

Використання для чисел з плаваючою комою недвійкової основи дещо зменшує точність обчислень (при заданій кількості розрядів мантиси), але дозволяє збільшити діапазон чисел, що подаються в машині, і прискорити виконання деяких операцій, зокрема

нормалізації, за рахунок того, що зсув може здійснюватися відразу на кілька двійкових розрядів (на чотири розряди для s = 16). З іншого боку, зменшується ймовірність появи ненормалізованих чисел під час обчислень.

Діапазон представлених у машині чисел з плаваючою комою залежить від основи системи числення та кількості розрядів, виділених для зображення порядку. Точність обчислень під час плаваючої коми визначається числом розрядів мантиси. Зі збільшенням числа розрядів мантиси збільшується точність обчислень, але збільшується час виконання арифметичних операцій.

Завдання, розв'язувані на ЕОМ, висувають різні вимоги до точності обчислень. Тому в багатьох машинах використовується кілька форматів з плаваючою комою з різним числом розрядів мантиси.

Прямий, зворотний і додаткові коди

У комп'ютерах з метою спрощення арифметичних операцій застосовують спеціальні кодидля представлення чисел. З допомогою цих кодів спрощується визначення знака результату операції, операція віднімання (чи алгебраїчного складання) чисел зводиться до арифметичного складання їх кодів, полегшується вироблення ознак переповнення розрядної сітки. В результаті спрощуються пристрої комп'ютерів, які виконують арифметичні операції.

Для представлення негативних чисел у комп'ютерах застосовують прямий, зворотний та додатковий коди. Позитивні числа подаються у прямому коді. У всіх цих кодах виділяються цифрові розряди і знаковий (крайній ліворуч), що представляє знак числа, причому знак плюс кодується цифрою 0, а мінус-мінус цифрою 1.

Прямий код двійкового числа G з (n-1) цифровими розрядами визначається як

де А - величина, що дорівнює вазі знакового розряду. Для дробових чисел А = 1, а цілих А = 2n-1 .

Додавання у прямому коді чисел, що мають однакові знаки, виконується досить просто. Числа складаються, і сумі надається код знака доданків. Значно складнішою є операція алгебраїчного додавання у прямому коді чисел з різними знаками. У цьому випадку доводиться визначати велике за модулем число, робити віднімання чисел і надавати різниці знак більшого за модулем числа.

Операція віднімання (алгебраїчного складання) зводиться до операції простого арифметичного складання за допомогою зворотного та

додаткового кодів, що використовуються для представлення негативних чисел у машині.

Щоб уявити двійкове негативне число у зворотному коді, потрібно поставити в знаковий розряд 1, а у всіх інших розрядах замінити 1 нулями, а нулі одиницями.

Зворотний код, якщо розглядати його як число, є доповненням модуля вихідного числа до найбільшого числа без знака, що міститься в

розрядну сітку. Для n-розрядної сітки маємо

Go6p=2-2 –(n-1) – lG-l,

якщо G- - двійковий дріб, та

G-обр = 2n - 1 - | G- |

При поданні негативного двійкового числа додатковому коді ставлять 1 в розряд знака, а цифрову частину числа замінюють доповненням модуля числа до 1 або 2n-1 відповідно для дробів і цілих чисел. Додатковий код від'ємного числа G визначається

виразом

G-дод = 2- | G- |

якщо G- - двійковий дріб, та

G-дод = 2n - | G- |

якщо G - ціле двійкове число.

Зворотний і додатковий коди числа можна розглядати як двійкові числа без знаків, при цьому для двійкових дробів G-доп = G-обр + 2-(n-1), а для двійкових цілих чисел С-доп = С-обр +1.

Таким чином, додатковий код числа може бути отриманий з зворотного шляхом додавання 1 до розряду молодшого зворотного коду.

При виконанні розрахунків на машині можуть виникнути як "позитивний", так і "негативний" 0. Позитивний 0 у прямому коді має вигляд

(+0)пр = 000...0.

Негативний 0 зображується у прямому коді

(- 0)пр = 100. ..О,

у зворотному

(-0)обр = 111 ... 1;

у додатковому коді негативний 0 відсутній.

При поданні позитивних чисел прямим кодом, а негативних додатковим нуль має єдине зображення. При застосуванні зворотного коду позитивний і негативний 0 мають різні зображення.

Зміні знака від'ємного числа відповідає інвертування його коду, якщо число представлене у зворотному коді, та інвертування та

додавання 1 молодшого розряду, якщо негативне число представлене додатковому коді. В результаті виходить прямий код відповідного позитивного числа. Сказане випливає із співвідношень:

для дробів

G-пр = | G- | = 2 - 2-(n-1) - G-обр-G-пр = | G- | = 2 - G-додатковий

для цілих чисел

G-пр = | G- | = 2n - 1 - G-обр-G-пр = | G- | = 2n - G-додатковий

Розглянемо застосування зворотного та додаткового кодів при алгебраїчному додаванні n-розрядних двійкових чисел G і Q, коли одне з них або обидва числа негативні. Можуть бути сформульовані такі правила (припускаємо, що модуль суми алгебри менше 1 для дробів і менше 2n-1 для цілих чисел, і, отже, код суми представимо в n-розрядної сітці).

При алгебраїчному додаванні двох двійкових чисел з використанням зворотного (або додаткового) коду позитивні доданки подаються у прямому коді, а негативні - у зворотному (додатковому) і проводиться арифметичне підсумовування цих кодів, включаючи розряди знаків, . які у своїй розглядаються як старші розряди. У разі перенесення з розряду знака одиниця перенесення додається до молодшого розряду суми кодів під час використання зворотного коду і відкидається під час використання додаткового коду. В результаті виходить алгебраїчна сума у ​​прямому коді, якщо ця сума позитивна, і у зворотному (додатковому), якщо вона негативна.

Нехай потрібно виконати дві операції: 176154 та 176215

У першому випадку результат буде позитивним, а в другому – негативним. Переведемо ці числа в двійковий код, наприклад, через

0101100002 0100110102 0110101112

інвертуємо віднімання в зворотний і додатковий коди

При використанні матеріалів цього сайту - та розміщення банера -ОБОВ'ЯЗКОВО!

Двійкова арифметика

Числа якими ми звикли користуватися називаються десятковими та арифметика якої ми користуємося також називається десятковою. Це тому, що кожне число можна скласти з набору цифр, що містить 10 символів - цифр - "0123456789".

Так йшов розвиток математики, що цей набір став головним, але десяткова арифметика не єдина. Якщо ми візьмемо лише п'ять цифр, то на їх основі можна побудувати п'ятирічну арифметику, із семи цифр – семирічну. В областях знань пов'язаних з комп'ютерною технікоючасто використовують арифметику, в якій числа складаються з шістнадцяти цифр, відповідно ця арифметика називається шістнадцятковою. Щоб зрозуміти, що таке число в десятковій арифметиці спочатку з'ясуємо, що таке число в десятковій арифметиці.

Візьмемо, наприклад, число 246. Цей запис означає, що в числі дві сотні, чотири десятки та шість одиниць. Отже, можна записати таку рівність:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Тут знаками рівності відокремлені три способи запису того самого числа. Найцікавіша нам зараз третя форма запису: 2*102+4*101+6*100. Вона влаштована так:

У нашому числі три цифри. Старша цифра "2" має номер 3. Так от вона множиться на 10 у другому ступені. Наступна цифра "4" має порядковий номер 2 і множиться на 10 у першій. Вже видно, що цифри множаться на десять ступінь на одиницю менше порядкового номера цифри. Усвідомивши сказане, ми можемо записати загальну формулу уявлення десяткового числа. Нехай дано число, де N цифр. Будемо позначати i-ю цифручерез a i. Тоді число можна записати у такому вигляді: a n a n-1 …. a 2 a 1 . Це перша форма, а третя форма запису виглядатиме так:

a n a n-1 …. a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

де a i це символ із набору "0123456789"

У цьому записі дуже добре видно роль десятки. Десятка є основою утворення числа. І до речі вона так і називається "підстава системи числення", а сама система числення, тому так і називається "десятковою". Звичайно, ніякими особливими властивостямичисло десять не має. Ми можемо замінити десять на будь-яке інше число. Наприклад, число в системі п'ятирічної числення можна записати так:

a n a n-1 …. a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

де a i це символ із набору "01234"

Загалом, замінюємо 10 на будь-яке інше число та отримуємо зовсім іншу систему числення та іншу арифметику. Найбільш проста арифметикавиходить, якщо замінити 10 на 2. Отримана система числення називається двійковою і число в ній визначається наступним чином:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

де a i це символ із набору "01"

Ця система найпростіша з усіх можливих, тому що в ній будь-яке число утворюється лише з двох цифр 0 і 1. Зрозуміло, що простіше вже нема куди. Приклади двійкових чисел: 10111101.

Дуже важливе питання. Чи можна двійкове число подати у вигляді десяткового числа і навпаки, чи можна десяткове число подати у вигляді двійкового.

Двійкове у десяткове. Це дуже просто. Метод такого перекладу дає спосіб запису чисел. Візьмемо, наприклад, наступне двійкове число 1011. Розкладемо його за ступенями двійки. Отримаємо таке:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Виконаємо всі записані дії та отримаємо:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11. Таким чином, отримуємо, що 1011 (двійковий) = 11 (десяткове). Відразу видно і невелику незручність двійкової системи. Те саме число, яке, в десятковій системі записано одним знаком у двійковій системі, для свого запису вимагає чотири знаки. Але це плата за простоту (безкоштовно нічого не буває). Але виграш двійкова система дає величезний в арифметичних процесах. І далі ми це побачимо.

Подайте у вигляді десяткового числа наступні двійкові числа.

а) 10010 б) 11101 с) 1010 в) 1110 г) 100011 д) 1100111 е) 1001110

Додавання двійкових чисел.

Спосіб складання стовпчиком загалом такий самий як і для десяткового числа. Тобто додавання виконується порозрядно, починаючи з молодшої цифри. Якщо при додаванні двох цифр виходить СУМА більше дев'яти, то записується цифра = СУМА-10, а ЦІЛА ЧАСТИНА (СУМА /10), додається у старшому розряді. (Складіть пару чисел стовпчиком згадайте як це робиться.) Так і з двійковим числом. Складаємо порозрядно, починаючи з молодшої цифри. Якщо виходить більше 1, записується 1 і 1 додається до старшого розряду (говорять "на розум пішло").

Виконаємо приклад: 10011+10001.

Перший розряд: 1+1 = 2. Записуємо 0 і 1 на думку пішло.

Другий розряд: 1+0+1(запам'ятана одиниця) =2. Записуємо 0 і 1 на думку пішло.

Третій розряд: 0+0+1(запам'ята одиниця) = 1. Записуємо 1.

Четвертий розряд 0+0=0. Записуємо 0.

П'ятий розряд 1+1=2. Записуємо 0 і додаємо до шостого розряду 1.

Переведемо всі три числа в десяткову систему та перевіримо правильність додавання.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 правильна рівність

Приклади для самостійного вирішення:

а) 11001+101 =

б) 11001+11001=

с) 1001 + 111 =

д) 10011 + 101 =

е) 11011 + 1111 =

д) 11111 + 10011 =

Як десяткове число перевести на двійкове. На черзі наступна операція – віднімання. Але цією операцією ми займемося трохи пізніше, а зараз розглянемо метод перетворення десяткового числа на двійкове.

Для того, щоб перетворити десяткове число на двійкове, його потрібно розкласти по ступенях двійки. Але якщо розкладання за ступенями десятки виходить відразу, то, як розкласти за ступенями двійки, треба трохи подумати. Спочатку розглянемо, як це зробити шляхом підбору. Візьмемо десяткове число 12.

Крок перший. 2 2 = 4 цього мало. Також мало і 23 = 8, а 24 = 16 це вже багато. Тому залишимо 23 =8. 12 – 8 = 4. Тепер потрібно подати у вигляді ступеня двійки 4.

Крок другий. 4 = 2 2 .

Тоді наше число 12 = 23 + 22. Старша цифра має номер 4, старший ступінь = 3, отже, повинні бути складові зі ступенями двійки 1 і 0. Але вони нам не потрібні, тому щоб позбутися непотрібних ступенів, і залишити запишемо число так: 1*2 3 + 1* 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - це і є двійкове уявлення числа 12. Неважко помітити, що кожен черговий ступінь - це найбільший ступінь двійки, який менший за число, що розкладається. Щоб закріпити метод, розглянемо ще один приклад. Число 23.

Крок 1. Найближчий ступінь двійки 24 = 16. 23 -16 = 7.

Крок 2. Найближчий ступінь двійки 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Крок 3. Найближчий рівень двійки 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Крок 4. Найближчий рівень двійки 2 0 =1 1 - 1 =0

Отримуємо наступне розкладання: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

А наше шукане двійкове число 10111

Розглянутий вище метод добре вирішує поставлене перед ним завдання, але є спосіб, який алгоритмізується значно краще. Алгоритм цього методу записано нижче:

Поки ЧИСЛО більше нуля робити

ЧЕРГА ЦИФРА = залишок від розподілу ЧИСЛА на 2

ЧИСЛО = ціла частина від розподілу ЧИСЛА на 2

Коли цей алгоритм завершить свою роботу, послідовність обчислених ЧЕРГОВИХ ЦИФР і представлятиме двійкове число. Наприклад попрацюємо із числом 19.

Початок алгоритму ЧИСЛО = 19

Чергова цифра = 1

Чергова цифра = 1

Чергова цифра = 0

Чергова цифра = 0

Чергова цифра = 1

Отже, в результаті маємо таке число 10011. Зауважте, що два розглянуті методи відрізняються порядком отримання чергових цифр. У першому методі перша отримана цифра - це старша цифра двійкового числа, тоді як у другому перша отримана цифра навпаки молодша.

Перетворіть десяткові числа на двійкові двома способами

а) 14 б) 29 в) 134 г) 158 е) 1190 ж) 2019

Як перетворити на десяткове число дробову частину.

Відомо, що будь-яке раціональне число можна представити у вигляді десяткового та звичайного дробу. Звичайний дріб, тобто дріб виду А/В може бути правильним і неправильним. Дроб називається правильним якщо А<В и неправильной если А>Ст.

Якщо раціональне число представлено неправильним дробом, і навіть чисельник дробу ділиться на знаменник націло, то це раціональне число - число ціле, у всіх інших випадках виникає дробова частина. Дробова частина часто буває дуже довгим числом і навіть нескінченним (нескінченний періодичний дріб, наприклад 20/6), тому у випадку з дробовиною у нас виникає не просто завдання перекладу одного подання в інше, а переклад з певною точністю.

Правило точності. Припустимо, дано десяткове число, яке у вигляді десяткового дробу представимо з точністю до N знаків. Для того, щоб відповідне двійкове число було тієї ж точності, в ньому необхідно записати M - знаків, так що б

А тепер спробуємо отримати правило перекладу, і спочатку розглянемо приклад 5,401

Рішення:

Цілу частину ми отримаємо за відомими нам правилами, і вона дорівнює двійковому числу 101. А дробову частину розкладемо за ступенями 2.

Крок 1: 2 -2 = 0,25; 0,401 – 0,25 = 0,151. - Це залишок.

Крок 2:Тепер потрібно ступенем двійки представити 0,151. Зробимо це: 2 –3 = 0,125; 0,151 – 0,125 = 0,026

Таким чином, вихідну дробову частину можна представити у вигляді 2 -2 +2 -3 . Те саме можна записати таким двійковим числом: 0,011. У першому дробовому розряді стоїть нуль, це тому, що у нашому розкладі ступінь 2 -1 відсутній.

З першого і другого кроків ясно, що це уявлення не точне і можливо розкладання бажано продовжити. Звернемося до правила. Воно каже, що нам потрібно стільки знаків М, щоб 10 3 було менше ніж 2 М. Тобто 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Крок 3:Нині працюємо з числом 0,026. Найближча до цього ступінь двійки 2 -6 = 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 тепер наше більш точне двійкове число має вигляд: 0,011001. Після коми вже шість знаків, але цього поки що недостатньо, тому виконуємо ще один крок.

Крок 4:Наразі працюємо з числом 0,010375. Найближча до цього ступінь двійки 2 -7 = 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Крок 5:Наразі працюємо з числом 0,0025625. Найближча до цього ступінь двійки 2 -9 = 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Останній залишок менше ніж 2 -10 і якби ми хотіли продовжувати наближення до вихідного числа, то нам знадобилося б 2 -11 , але це вже перевищує необхідну точність, а отже розрахунки можна припинити і записати остаточне двійкове уявлення дробової частини.

0,401 = 0,011001101

Як видно, перетворення дробової частини десяткового числа в двійкове уявлення трохи складніше, ніж перетворення цілої частини. Таблиця ступенів двійки наприкінці лекції.

А зараз запишемо алгоритм перетворення:

Вихідні дані алгоритму: Через А будемо позначати вихідний правильний десятковий дріб записаний у десятковій формі. Нехай цей дріб містить N знаків.

Алгоритм

Дія 1. Визначимо кількість необхідних двійкових знаків М з нерівності 10 N< 2 M

Дія 2: Цикл обчислення цифр двійкового уявлення (цифри після нуля). Номер цифри позначатимемо символом До.

1. Номер цифри = 1
2. Якщо 2 -К > А

То до запису двійкового числа додаємо нуль

• до запису двійкового числа додаємо 1
• А = А - 2-К

1. К = К + 1
2. Якщо К > М

• то робота алгоритму завершена
• Інакше переходимо до пункту 2.

Переведіть десяткові числа до двійкових

а) 3,6 б) 12,0112 в) 0,231 г) 0,121 д) 23, 0091

Віднімання двійкових чисел. Віднімати числа, будемо також стовпчиком і загальне правило теж, що і для десяткових чисел, віднімання виконується порозрядно і якщо в розряді не вистачає одиниці, вона займається у старшому. Вирішимо наступний приклад:

Перший розряд. 1 – 0 =1. Записуємо 1.

Другий розряд 0 -1. Бракує одиниці. Займаємо її у старшому розряді. Одиниця зі старшого розряду перетворюється на молодший, як дві одиниці (оскільки старший розряд представляється двійкою більшої степени) 2-1 =1. Записуємо 1.

Третій розряд. Одиницю цього розряду ми займали, тому зараз у розряді 0 є необхідність зайняти одиницю старшого розряду. 2-1 =1. Записуємо 1.

Перевіримо результат у десятковій системі

1101 – 110 = 13 – 6 = 7 (111) Вірна рівність.

Ще один цікавий спосібвиконання віднімання пов'язаний з поняттям додаткового коду, який дозволяє звести віднімання до додавання. Виходить число у додатковому коді виключно просто, беремо число, замінюємо нулі на одиниці, одиниці навпаки замінюємо на нулі та до молодшого розряду додаємо одиницю. Наприклад, 10010, у додатковому коді буде 011011.

Правило віднімання через додатковий код стверджує, що віднімання можна замінити на додавання, якщо віднімання замінити на число в додатковому коді.

Приклад: 34 – 22 = 12

Запишемо цей приклад у двійковому вигляді. 100010 - 10110 = 1100

Додатковий код числа 10110 буде таким

01001 + 00001 = 01010. Тоді вихідний прикладможна замінити додаванням так 100010 + 01010 = 101100 Далі необхідно відкинути одну одиницю у старшому розряді. Якщо це зробити, отримаємо 001100. Відкинемо незначні нулі і отримаємо 1100, тобто приклад вирішено правильно

Виконайте віднімання. Звичайним способомі в додатковому коді, перевівши попередньо десяткові числа до двійкових:

Виконайте перевірку, перевівши двійковий результат до десяткової системи числення.

Множення у двійковій системі числення.

Спочатку розглянемо наступний цікавий факт. Для того, щоб помножити двійкове число на 2 (десяткова двійка це 10 у двійковій системі) достатньо до множини зліва приписати один нуль.

приклад. 10101 * 10 = 101010

Перевірка.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Якщо ми пригадаємо, що будь-яке двійкове число розкладається за ступенями двійки, стає ясно, що множення в двійковій системі числення зводиться до множення на 10 (тобто на десяткову 2), отже, множення це ряд послідовних зрушень. Загальне правилотаке: як і для десяткових чисел, множення двійкових виконується порозрядно. І для кожного розряду другого множника до першого множника додається один нуль праворуч. Приклад (поки не стовпчиком):

1011 * 101 Це множення можна звести до суми трьох порезрядних множень:

1011*1+1011*0+1011*100=1011+101100=110111 У стовпчик це ж саме можна записати так:

Перевірка:

101 = 5 (десяткове)

1011 = 11 (десяткове)

110111 = 55 (десяткове)

5*11 = 55 правильна рівність

Вирішіть самостійно

а) 1101*1110 =

б) 1010*110 =

д) 101011 * 1101 =

е) 10010*1001 =

Примітка: До речі, таблиця множення в двійковій системі складається тільки з одного пункту 1 * 1 = 1

Розподіл у двійковій системі числення.

Ми вже розглянули три дії і думаю вже зрозуміло, що загалом дії над двійковими числами мало відрізняються від дій над десятковими числами. Різниця з'являється тільки в тому, що цифр дві, а не десять, але це тільки спрощує арифметичні операції. Так само і з поділом, але для кращого розуміння алгоритм поділу розберемо докладніше. Нехай нам необхідно розділити два десяткові числа, наприклад 234 розділити на 7. Як ми це робимо.

Ми виділяємо праворуч (від старшого розряду) таку кількість цифр, щоб число, що вийшло, було якомога менше і в той же час більше дільника. 2 - менше дільника, отже, необхідне нам число 23. Потім ділимо отримане число дільник із залишком. Отримуємо наступний результат:

Описану операцію повторюємо доти, поки отриманий залишок не виявиться меншим за дільник. Коли це станеться, число отримане під межею, це приватне, а останній залишок - це залишок операції. Так ось операція поділу двійкового числа виконується так само. Спробуємо

Приклад: 10010111 / 101

Шукаємо число, від старшого розряду, яке перше було б більше ніж дільник. Це чотирирозрядне число 1001. Воно виділено жирним шрифтом. Тепер необхідно підібрати дільник виділеного числа. І тут ми знову виграємо порівняно з десятковою системою. Справа в тому, що дільник, що підбирається, це обов'язково цифра, а цифри у нас тільки дві. Так як 1001 явно більше 101, то з дільником все зрозуміло це 1. Виконаємо крок операції.

Отже, залишок від виконаної операції 100. Це менше 101, тому щоб виконати другий крок поділу, необхідно додати до 100 наступну цифру, це цифра 0. Тепер маємо наступне число:

1000 більше 101 тому на другому кроці ми знову допишемо до приватної цифри 1 і отримаємо наступний результат (для економії місця відразу опустимо наступну цифру).

Третій крок. Отримане число 110 більше за 101, тому і на цьому кроці ми запишемо в приватне 1. Вийти так:

Отримане число 11 менше 101, тому записуємо в окрему цифру 0 і опускаємо вниз наступну цифру. Виходить так:

Отримане число більше 101, тому приватне записуємо цифру 1 і знову виконуємо дії. Виходить така картина:

Отриманий залишок 10 менший за 101, але в нас закінчилися цифри в ділимому, тому 10 це остаточний залишок, а 1110 це приватне, що шукається.

Перевіримо у десяткових числах

На цьому ми закінчуємо опис найпростіших арифметичних операцій, які необхідно знати для того, щоб користуватися двійковою арифметикою, і тепер спробуємо відповісти на запитання "Навіщо потрібна двійкова арифметикаЗвичайно, вище вже було показано, що запис числа в двійковій системі суттєво спрощує арифметичні операції, але в той же час сам запис стає значно довшим, що зменшує цінність отриманого спрощення, тому необхідно пошукати такі завдання, вирішення яких суттєво простіше у двійкових числах. .

Завдання 1: Отримання всіх вибірок

Найчастіше зустрічаються завдання, у яких потрібно вміти побудувати всі можливі комбінації із заданого набору предметів. Наприклад, таке завдання:

Дана велика купа каміння, розкласти каміння по двох купах таким чином, щоб маса цих двох куп була якомога більш однаковою.

Це завдання можна сформулювати так:

Знайти таку вибірку каміння з великої купи, що її загальна маса якнайменше відрізнятиметься від половини маси великої купи.

Завдань такого сорту досить багато. І всі вони зводяться, як уже було сказано до вміння отримати всі можливі комбінації (далі ми називатимемо їх вибірками) із заданого набору елементів. І зараз ми розглянемо загальний метод отримання всіх можливих вибірок з використанням операції додавання двійкових чисел. А почнемо з прикладу. Нехай є безліч із трьох предметів. Побудуємо всі можливі вибірки. Предмети позначатимемо порядковими номерами. Тобто є такі предмети: 1, 2, 3.

Вибірки: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Якщо в позиції з черговим номером стоїть одиниця, це означає, що елемент з номером рівним цієї позиції присутній у вибірці, а якщо стоїть нуль, то елемент не присутній. Наприклад, вибірка (0, 1, 0); складається з одного елемента з номером 2, а вибірка (1, 1, 0); складається з двох елементів із номерами 1 та 2.

З цього прикладу ясно видно, що вибірку можна подати у вигляді двійкового числа. Крім того, неважко помітити, що вище записані всі можливі одно, двох та тризначні двійкові числа. Перепишемо їх так:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Ми отримали ряд послідовних двійкових чисел, кожне з яких виходить з попереднього додавання одиниці. Можете це перевірити. Використовуючи цю помічену закономірність, можна побудувати наступний алгоритм отримання вибірок.

Вихідні дані алгоритму

Даний набір предметів N – штук. Далі називатимемо цей набір безліччю вихідних елементів. Пронумеруємо всі елементи вихідної множини від 1 до N. Складемо двійкове число з N незначних нулів. 0000… 0 N Це нульове двійкове число позначатиме нульову вибірку, з якої і почнеться процес складання вибірок. Розряди числа вважаються праворуч наліво, тобто найлівіший розряд це найстарший.

Домовимося позначати це двійкове число великими літерами Двійкове

Алгоритм

Якщо Двійкове число складається повністю з одиниць

То припиняємо роботу алгоритму

• Додаємо до ДВАЇВНОГО числа одиницю за правилами двійкової арифметики.
• З отриманого ДВОЙКОВОГО числа складаємо чергову вибірку, як було описано вище.

Завдання 2: Пошук великих простих чисел

Для початку пригадаємо, що простим числом називається таке натуральне число, яке ділиться тільки на 1 і на себе. Приклади простих чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Пошук великих простих чисел – дуже важливе математичне завдання. Великі прості числа необхідні надійного шифрування повідомлень деякими алгоритмами шифрування. Причому потрібні не просто великі числа, а дуже великі. Чим більше, тим надійніше шифр, побудований цьому числі.

Примітка. Надійним шифром називається такий шифр, для розшифрування якого потрібен дуже великий час.

Чому? Просте число відіграє роль ключа під час шифрування та дешифрування. Крім того, ми знаємо, що прості числа зустрічаються у ряді натуральних чисел не надто часто. Їх досить багато серед першої тисячі, потім їхня кількість починає швидко зменшуватися. Тому якщо як ключ ми візьмемо не дуже велике число, дешифрувальник за допомогою навіть не дуже швидкого комп'ютеразможе до нього дістатися (перебираючи як ключ всі прості одне за одним) за обмежений час.

Достатньо надійний код можна отримати якщо взяти просте в якому, наприклад, 150 знаків. Однак знайти таке просте не так просто. Припустимо, що кілька А (дуже велике) потрібно перевірити на простоту. Це те саме, що пошукати його дільники. Якщо ми зможемо знайти дільники в інтервалі від 2 до квадратний корінь з А, то воно не просте. Оцінимо кількість чисел, які необхідно перевірити на здатність розділити число А.

Припустимо, число А має 150 знаків. Корінь квадратний з нього міститиме не менше 75 знаків. Щоб перебрати таку кількість можливих дільників, нам знадобиться дуже потужний комп'ютері величезний час, а це означає, що завдання практично не вирішуване.

Як із цим боротися.

По-перше, можна повчитися швидше здійснювати перевірку на ділимість одного числа на інше, по-друге, можна спробувати число А підбирати таким чином, щоб воно було простим з високим ступенем ймовірності. Виявляється, це можливо. Математик Мерсен виявив, що числа наступного виду

Є простими з високим ступенем ймовірності.

Щоб зрозуміти фразу написану вище, порахуємо, скільки простих чисел знаходиться в першій тисячі і скільки чисел Мерсена в цій же тисячі є простими. Отже, числа Мерсена в першій тисячі - це:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Жирним шрифтом позначені прості числа. Усього на 9 чисел Мерсена 5 простих. У відсотках це 5/9*100 = 55,6%. У той самий час на 1000 перших натуральних чисел лише 169 простих. У відсотках це 169/1000 * 100 = 169%. Тобто у першій тисячі у відсотках прості серед чисел Мерсена зустрічаються майже в 4 рази частіше, ніж серед просто натуральних чисел

___________________________________________________________

А тепер візьмемо конкретне число Мерсена, наприклад 24-1. Запишемо його у вигляді двійкового числа.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Візьмемо наступне число Мерсена 25-1 і запишемо його двійковим числом. Отримаємо таке:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Вже видно, що всі числа Мерсена є послідовністю одиниць і вже сам цей факт дає великий виграш. По-перше, у двійковій системі числення отримати чергове число Мерсена дуже просто, достатньо до чергового дописати одиницю, по-друге, шукати дільники в двійковій системі набагато простіше ніж у десятковій.

Швидкий переведення десяткового числа в двійкове

Одна з головних проблем використання двійкової системи числення - це складність під час переведення десяткового числа в двійкове. Це досить трудомістка справа. Звичайно, невеликі числа трьох або чотиризначних перекласти не надто складно, але для десяткових чисел, у яких 5 і більше знаків це вже важко. Тобто нам потрібен спосіб, що дозволяє швидко переводити у двійкову виставу великі десяткові числа.

Такий спосіб вигадали французький математик Лежандр. Нехай, наприклад, дано число 11183445. Ділимо його на 64, виходить залишок 21 і приватне 174741. Це число ділимо знову на 64, виходить у залишку 21 і приватне 2730. Але 64 в двійковій системі є 1000000, 21 у двійковій системі - 10101, а 42 є 101010, тому, вихідне число запишеться в двійковій системі наступним чином:

101010 101010 010101 010101

Щоб було зрозуміліше, ще один приклад із меншим. Перекладемо подвійне уявлення число 235. Поділимо 235 на 64 із залишком. Отримаємо:

ПРИВАТНЕ = 3, двійкове 11 або 000011

ЗАЛИШОК = 43, двійкове 101011

Тоді 235 = 11101011, Перевіримо цей результат:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Примітки:

1. Неважко помітити, що в остаточне двійкове число включаються всі залишки на останньому кроці і залишок і приватне.
2. Частка записується перед залишком.
3. Якщо отримане приватне або залишок мають менше 6 розрядів, у двійковому поданні (6 нулів містить двійкове уявлення числа 64 = 1000000), то до нього додаються незначні нулі.

І ще один складний приклад. Число 25678425.

Крок 1: 25678425 ділимо на 64

Приватне = 401225

Залишок = 25 = 011001

Крок 2: 401225 ділимо на 64

Приватне = 6269

Залишок = 9 = 001001

Крок 3: 6269 ділимо на 64

Частка = 97

Залишок = 61 = 111101

Крок 4: 97 ділимо на 64

Частка = 1 = 000001

Залишок = 33 = 100001

Число результат = 1.100001.111101.001001.011001

У цьому числі точкою відокремлені проміжні результати, що входять до нього.

Переведіть у двійкове уявлення числа:

ДОДАТОК: ТАБЛИЦЯ 1

Ціль:

учні познайомляться з двійковою системою числення, вкажуть її недоліки та переваги використання у обчислювальній техніці;

розвинуть логічне мислення; сформують навички виконання арифметичних дій із двійковими числами;

виховують у собі вміння самостійно здобувати нові знання.

Ресурси: проектор, інтерактивна дошка, комп'ютер, презентація слайдів, підручник, робочий зошит, смайлики, листи зворотнього зв'язку

Способи роботи: Індивідуальна, парна, групова

Критерії оцінки:

Відповіді на запитання1-3 бали

Запис конспекту1-2 бали

Виконання завдань -1-4 бали

Активність роботи у групі –1 бал

Моніторинг оцінювання:

1-3 бали – «3»

4-6 балів – «4»

7-10 балів – «5»

Етапи уроку

Час

Діяльність вчителя

Діяльність учня

Оцінювання

Очікуваний результат

Схвалення

Вітання

Перевірка явки учнів

Позитивний настрій

Поділ на групи: "Фрукти"

Організація роботи з визначення теми та мети уроку

Організація діяльності щодо створення критеріїв оцінки роботи

Перевірка кластерів «Кількість інформації»

Перевірка домашнього завдання:

Переведіть двійкові числа у вісімкову систему числення та шістнадцяткову.

а) 10111110001

б) 1001101011001

в) 100100101011

Вітання

Позитивно налаштовуються на урок

Поділяються на групи

Визначають тему та цілі уроку

Створюють критерії оцінки роботи

Показують виконання домашнього завдання

Смайлики

Позитивно налаштовуються на урок

Здійснюють поділ на групи

Визначать тему та цілі уроку

Створять критерії оцінки роботи

Виконають домашнє завдання

Осмислення

Організація читання тексту

Читають текст

З позначками - смайлики

Уважно прочитають текст

Рефлексія

Організує роботу зконспектом

Контрольні питання:

1.З чого складається двійкова система числення?

2.Які вчені вивчалидвійкову систему числення?

3.За якими правилами здійснюєтьсявиконання арифметичних процесів над двійковими числами?

4. Розкажіть таблицю додавання, віднімання двійкових чисел.

5. Як виконуються операції множення, розподілу двійкових чисел.

Розв'яжіть завдання:

Виконайте додавання:

1001001 + 10101 (відповідь 1011110);
101101 + 1101101 (відповідь 10011010)
11000,11 + 11010,11 (відповідь 110011,1)

Виконайте віднімання:

10001000 – 1110011 (відповідь 10101)
1101100 – 10110110

(відповідь – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)

Виконайте множення:

100001*111,11

(відповідь : 11111111,11)
10011*1111,01

(відповідь : 100100001,11)

Виконайте поділ:

1000000 / 1110 (відповідь :100)
11101001000/111100

(відповідь : 11111)

Запис конспекту

Відповідають на запитання, виконують завдання

Смайлики

Запишуть конспект

Дадуть відповідь на запитання, виконають завдання

Уважно слухатимуть один одного, критично оцінять один одного

Зворотній зв'язок

Організує зворотний зв'язок:

1. Що сподобалося на уроці?

2. Що не сподобалося на уроці?

3. Які виникли питання з уроку?

Заповнять листи зворотного зв'язку

Учні зможуть висловити свої думки на папері

Домашнє завдання

Вивчити правила виконання арифметичних дій у двійковій системі числення, а також таблиці додавання, віднімання та множення у двійковій системі числення.

Виконайте дії:

1) 110010 + 111,01;

2) 11110000111 – 110110001;

3) 10101,101 * 111;

4) 10101110/101.

Запишуть у щоденник домашнє завдання

Отримають домашнє завдання

Оцінювання

Відповідно до критеріїв виставляє учням суммативну оцінку

Подадуть щоденники на оцінку

У щоденник виставляться об'єктивні оцінки

Двійкова система числення

З усіх позиційних систем числення особливо проста і тому цікава двійкова система числення.

– Чому рівна основа двійкової системи числення? (q = 2)

– Який вигляд має розгорнута форма запису двійкового числа? (А 2 = а n-1 * 2 n-1 + … a 0 * 2 0 + a -1 * 2 -1 + ... a - m * 2 -m, де а i дорівнює 1 або 0.)

Двійкова система числення здавна була предметом пильної уваги багатьох вчених. П.С.Лаплас писав про своє ставлення до двійкової (бінарної) системи числення великого математика Г.Ф.Лейбніца: «У своїй бінарній арифметиці Лейбніц бачив прообраз твору. Йому уявлялося, що одиниця представляє божественне початок, а нуль – небуття і що вища істота створює все з небуття точно так само, як одиниця і нуль у його системі виражають усі числа». Ці слова наголошують на дивовижній універсальності алфавіту, що складається всього з двох символів.

Двійкова арифметика.

Щоб краще освоїти двійкову систему числення, необхідно освоїти виконання арифметичних дій над двійковими числами.

Всі позиційні системи «однакові», а саме, у всіх них арифметичні операції виконуються за тими самими правилами:

справедливі одні й самі закони арифметики: комунікативний, асоціативний, дистрибутивний;

справедливі правила складання, віднімання, множення та поділу стовпчиком;

правила виконання арифметичних операцій спираються на таблиці додавання та множення.

Додавання.

Таблиця додавання двійкових чисел проста.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

При додаванні двох одиниць відбувається переповнення розряду і проводиться перенесення у старший розряд. Переповнення розряду настає тоді, коли величина числа в ньому стає рівною або більшою за основу.

приклад.

Віднімання.

0 – 0 = 0
0 – 1 = 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

Віднімання багаторозрядних двійкових чисел відбувається відповідно до наведеної таблиці віднімання з урахуванням можливих позик зі старших розрядів.

приклад.

множення.

Операція множення виконується з використанням таблиці множення за звичайною схемою (застосовується в десятковій системі числення) з послідовним множенням множника на чергову цифру множника.

приклад.

Розподіл.

При розподілі стовпчиком доводиться як проміжні результати виконувати дії множення та віднімання.

приклад.