Ұялы

Фурье қатарының графикалық көрінісі. Периодтық функцияны Фурье қатары ретінде көрсету

Өткен ғасырда Иван Бернулли, Леонхард Эйлер, содан кейін Жан-Батист Фурье периодтық функцияларды тригонометриялық қатармен көрсетуді алғаш рет қолданды. Бұл бейнелеу басқа курстарда жеткілікті егжей-тегжейлі зерттеледі, сондықтан біз тек негізгі қатынастар мен анықтамаларды еске түсіреміз.

Жоғарыда айтылғандай, кез келген периодтық функция u(t) , ол үшін теңдік u(t)=u(t+T) , қайда T=1/F=2p/W , Фурье қатарымен ұсынылуы мүмкін:

Бұл қатардың әрбір мүшесін екі бұрыштың айырмашылығына арналған косинус формуласы арқылы кеңейтуге және екі мүше ретінде көрсетуге болады:

мұнда: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , Сондықтан , а

Мүмкіндіктер А н және Қонақ үй Эйлер формулаларымен анықталады:

;
.

Сағат n=0 :

а B0=0.

Мүмкіндіктер А н және Қонақ үй , функция туындысының орташа мәндері u(t) және жиілікпен гармоникалық тербеліс nw ұзақтық аралықта Т . Біз қазірдің өзінде білеміз (2.5-бөлім) бұл олардың өзара қатынасының өлшемін анықтайтын өзара корреляциялық функциялар. Демек, коэффициенттер А н және B n жиілігі бар «қанша» синусоидтарды немесе косинус толқындарын көрсетіңіз nW осы функцияда қамтылған u(t) , Фурье қатарында кеңейтілген.

Осылайша, біз периодтық функцияны көрсете аламыз u(t) гармоникалық тербелістердің қосындысы ретінде, мұндағы сандар C n амплитудалар және сандар φ n - фазалар. Әдетте әдебиетте амплитудалық спектр деп аталады, және - фазалық спектр. Көбінесе нүктелерде орналасқан сызықтар ретінде бейнеленген амплитудалардың спектрі ғана қарастырылады. nW жиілік осінде және санға сәйкес биіктікке ие C n . Дегенмен, уақыт функциясының арасындағы жеке сәйкестікті алу үшін екенін есте ұстаған жөн u(t) және оның спектрі үшін амплитудалар спектрін де, фазалар спектрін де пайдалану қажет. Бұл осыдан-ақ көрініп тұр қарапайым мысал. Сигналдардың және амплитудалардың бірдей спектрі болады, бірақ толығымен әртүрлі түріуақытша функциялар.

Дискретті спектр тек периодтық функцияға ие бола алмайды. Мысалы, сигнал: периодты емес, екі спектрлік сызықтан тұратын дискретті спектрі бар. Сондай-ақ, қайталану кезеңі тұрақты, бірақ жоғары жиілікті толтырудың бастапқы фазасы импульстен импульске қарай өзгеретін радиоимпульстер тізбегінен (жоғары жиілікті толтырумен импульстар) тұратын қатаң мерзімді сигнал болмайды. қандай да бір заңға. Мұндай сигналдар дерлік мерзімді деп аталады. Кейінірек көретініміздей, олардың да дискретті спектрі бар. Біз мұндай сигналдардың спектрлерінің физикалық табиғатын периодтылар сияқты зерттейтін боламыз.

Фурье қатарларының формалары. Сигнал шақырылады мерзімді,егер оның пішіні уақыт бойынша циклдік қайталанса Периодтық сигнал u(t) v жалпы көрінісбылай жазылған:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Мұндағы T – сигналдың периоды. Периодтық сигналдар қарапайым да, күрделі де болуы мүмкін.

Периоды бар периодтық сигналдарды математикалық көрсету үшін Т(2.2) сериясы жиі пайдаланылады, онда негізгі функциялар ретінде бірнеше жиіліктердің гармоникалық (синусоидалы және косинус) тербелістері таңдалады.

y 0 (t)=1; y 1 (t)= sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 т;

y 3 (t)=sin2w 1 т; y 4 (t)=cos2w 1 т; …, (2.3)

мұндағы w 1 \u003d 2p / T - тізбектің негізгі бұрыштық жиілігі

функциялары. Гармоникалық базистік функциялармен (2.2) қатардан Фурье қатарын аламыз (Жан Фурье – 19 ғасырдағы француз математигі және физигі).

Фурье қатарындағы (2.3) түрінің гармоникалық функциялары келесі артықшылықтарға ие: 1) қарапайым математикалық сипаттама; 2) сызықтық түрлендірулерге инварианттылық, яғни сызықтық контурдың кірісінде гармоникалық тербеліс әрекет ететін болса, онда оның шығысында кірістен тек амплитудасы мен бастапқы фазасымен ерекшеленетін гармоникалық тербеліс те болады; 3) сигнал сияқты гармоникалық функциялар периодты және шексіз ұзақтығы бар; 4) Гармоникалық функцияларды құру техникасы өте қарапайым.

Периодтық сигналды гармоникалық функциялар (2.3) бойынша қатарға кеңейту үшін Дирихле шарттарын орындау керек екені математика курсынан белгілі. Бірақ барлық нақты мерзімді сигналдар осы шарттарды қанағаттандырады және оларды Фурье қатары ретінде көрсетуге болады, оны келесі формалардың бірінде жазуға болады:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

мұндағы коэффициенттер

Amn"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

немесе күрделі түрде

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

(2.4) - (2.9)-дан жалпы жағдайда u(t) периодтық сигналы тұрақты құрамдас A 0 /2 және негізгі жиілік w 1 =2pf 1 гармоникалық тербелістер жиынын және оның гармоникасын қамтитыны шығады. жиіліктерімен wn =nw 1 , n=2 ,3,4,... Гармоникалықтардың әрқайсысы

Фурье қатарының тербелістері амплитудамен және бастапқы фазамен сипатталады y n .nn

Периодтық сигналдың спектрлік диаграммасы және спектрі. Егер қандай да бір сигнал әртүрлі жиіліктегі гармоникалық тербелістердің қосындысы ретінде ұсынылса, онда олар спектрлік ыдыраусигнал.

Спектрлік диаграммасигнал осы сигналдың Фурье қатарының коэффициенттерінің графикалық көрінісі деп аталады. Амплитудалық және фазалық диаграммалар бар. Суретте. 2.6 белгілі бір масштабта гармоникалық жиіліктер горизонталь ось бойымен, ал олардың амплитудалары A mn және фазалары y n тік ось бойымен кескінделеді. Сонымен қатар, гармоника амплитудалары тек оң мәндерді, фазалар -p£y n £p интервалында оң және теріс мәндерді қабылдай алады.

Сигнал спектрі- бұл жиынтықта сигнал құрайтын жиіліктердің, амплитудалардың және бастапқы фазалардың нақты мәндері бар гармоникалық компоненттердің жиынтығы. В техникалық қолданбаларпрактикада спектрлік диаграммалар қысқаша аталады - амплитудалық спектр, фазалық спектр.Көбінесе оларды амплитудалық спектрлік диаграмма қызықтырады. Оны спектрдегі гармоникалардың пайызын бағалау үшін пайдалануға болады.

Мысал 2.3. Фурье қатарында тікбұрышты бейне импульстерінің мерзімді тізбегін кеңейтіңіз біргебелгілі параметрлер (U m, T, t z),тіпті "t=0 нүктесіне қатысты. U m =2B, T=20ms, S=T/t және =2 және 8 кезінде амплитудалар мен фазалардың спектрлік диаграммасын тұрғызыңыз.

Бір период интервалындағы берілген периодтық сигналды былай жазуға болады

Бұл сигналды көрсету үшін Фурье сериясының формасын қолданамыз v(2.4) нысаны. Сигнал біркелкі болғандықтан, кеңейтімде тек косинус құрамдастары қалады.

Күріш. 2.6. Периодтық сигналдың спектрлік диаграммалары:

a - амплитудасы; б- фаза

Нөлге тең периодтағы тақ функцияның интегралы. (2.5) формулаларды пайдаланып, коэффициенттерді табамыз

Фурье қатарын жазуға мүмкіндік береді:

Нақты сандық деректер үшін спектрлік диаграммаларды құру үшін n=0, 1, 2, 3, ... орнатып, гармоникалық коэффициенттерді есептейміз. Спектрдің алғашқы сегіз компонентін есептеу нәтижелері кестеде жинақталған. 2.1. Серияда (2.4) A "mn \u003d 0және (2.7) сәйкес A mn =|A’ mn |, негізгі жиілік f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Суреттегі амплитудалық спектр.

Олар үшін 2.7 құрастырылған n,оның астында A mnмаксималды мәннен 5%-дан жоғары.

Жоғарыда келтірілген 2.3 мысалдан жұмыс циклінің ұлғаюымен спектрлік компоненттердің саны артып, олардың амплитудалары төмендейтіні шығады. Мұндай сигналдың кең спектрі бар деп айтылады. Айта кету керек, көптеген практикалық қолданылатын сигналдар үшін бұрын берілген формулалар арқылы гармоникалардың амплитудалары мен фазаларын есептеудің қажеті жоқ.

2.1-кесте. Тік бұрышты импульстардың мерзімді тізбегінің Фурье қатарының компоненттерінің амплитудалары

Күріш. 2.7. Периодтық импульстік пойыздың спектрлік диаграммалары: а- жұмыс циклі S-2; - b-жұмыс циклімен S=8

Математикалық анықтамалықтарда Фурье қатарындағы сигналдарды кеңейту кестелері бар. Осы кестелердің бірі Қосымшада келтірілген (А.2-кесте).

Жиі сұрақ туындайды: Фурье қатарындағы нақты сигналды көрсету үшін қанша спектрлік компоненттерді (гармонияларды) алу керек? Өйткені, серия, қатаң айтқанда, шексіз. Мұнда біржақты жауап беру мүмкін емес. Мұның бәрі сигналдың пішініне және оны Фурье қатарымен көрсетудің дәлдігіне байланысты. Сигналдың біркелкі өзгеруі - аз гармоника қажет. Егер сигналда секірулер (үзілістер) болса, сол қателікке жету үшін көбірек гармоникаларды қосу керек. Дегенмен, көптеген жағдайларда, мысалы, телеграфта, тік бұрышты импульстарды тік фронттармен беру үшін үш гармоника жеткілікті деп есептеледі.

Сандық сүзгілер (дәріс)

Импульстік жауап түріне сәйкес цифрлық сүзгілер екі үлкен сыныпқа бөлінеді:

· Шекті импульсті сүзгілер (FIR – сүзгілер, көлденең сүзгілер, рекурсивті емес сүзгілер). Мұндай сүзгілердің берілу функциясының бөлгіші белгілі бір тұрақты шама болып табылады.

FIR сүзгілері өрнекпен сипатталады:

Шексіз импульсті сүзгілер (IIR - сүзгілер, рекурсивті сүзгілер) кіріс ретінде олардың бір немесе бірнеше шығыстарын пайдаланады, яғни олар кері байланыс. Мұндай сүзгілердің негізгі қасиеті олардың импульстік реакциясының уақыт облысында шексіз ұзындыққа ие болуы, ал тасымалдау функциясының бөлшек рационал формасы болуы.

IIR сүзгілері өрнекпен сипатталады:

FIR сүзгілері мен IIR сүзгілерінің айырмашылығы - FIR сүзгілері үшін шығыс реакциясы кіріс сигналдарына байланысты, ал IIR сүзгілері үшін шығыс жауап ағымдағы мәнге байланысты.

импульстік жауапбір сигналға тізбектің жауабы болып табылады.

Ежалғыз сигнал

Осылайша, тек бір нүктедегі жалғыз сигнал біреуге тең - бастапқы нүктеде.

Ұсталған Ежалғыз сигналкелесідей анықталады:

Осылайша, кешіктірілген жалғыз сигнал k таңдау кезеңімен кешіктіріледі.

Сигналдар және спектрлер

Сигналдарды көрсетудің екі жақтылығы (дуализмі).

Барлық сигналдарды уақыт немесе жиілік жазықтығында көрсетуге болады.

Сонымен қатар, бірнеше жиілік жазықтықтары бар.

Уақытша жазықтық.

Трансформациялар.

жиілік жазықтығы.

Уақыт жазықтығында сигналды көру үшін құрылғы бар:

Мұнда жеткілікті ұзын синусоидалы сигнал бар деп елестетіңіз (1 секундта синусоид 1000 рет қайталанады):

Жиілігі екі есе үлкен сигналды алайық:

Осы сигналдарды қосамыз. Біз синусоид емес, бұрмаланған сигнал аламыз:

Уақыт жазықтығынан жиілік жазықтығына түрлендіру Фурье түрлендірулерінің көмегімен орындалады.

Сигналды жиілік жазықтығында көру үшін құрылғы бар:

Жиілік циклдік немесе дөңгелек ( f).

Жиілік жазықтығы ойықты көрсетеді:

Кетіктің мәні синусоидтың амплитудасына және жиілігіне пропорционал:

Екінші сигнал үшін жиілік домені басқа ойықты көрсетеді:

Қосынды сигналының уақыт доменінде 2 ойық пайда болады:

Сигналдың екі көрінісі де баламалы және қайсысы қолайлырақ болса, бірінші немесе басқа көріністі пайдаланады.

Уақыт жазықтығынан жиілік жазықтығына түрлендіру әртүрлі тәсілдермен жүзеге асырылуы мүмкін. Мысалы: Лаплас түрлендірулерін пайдалану немесе Фурье түрлендірулерін пайдалану.

Фурье қатарын жазудың үш түрі.

Фурье қатарын жазудың үш жолы бар:

· Синус – косинус формасы.

· Нақты пішін.

күрделі нысаны.

1.) Синуста – косинус түрінде Фурье қатары келесі түрде болады:

Формулаға енгізілген бірнеше жиіліктер kω 1 деп аталады гармоника; гармоника индексі бойынша нөмірленеді к; жиілігі ωk =kω 1 шақырды ксигналдың гармониясы.

Бұл өрнек келесіні айтады: кез келген периодтық функция гармоника қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін, мұнда:

Тбұл функцияның қайталану кезеңі;

ω - айналмалы жиілік.

, қайда

т- қазіргі уақыт;

Т- кезең.

Фурье кеңеюінде ең маңыздысы - мерзімділік. Осының арқасында жиілікті іріктеу орын алады, гармоникалардың белгілі бір саны басталады.

Берілген периодтық функция үшін тригонометриялық кеңею мүмкіндігін анықтау үшін белгілі бір коэффициенттер жиынтығынан шығу керек. Оларды анықтау әдістемесін 18 ғасырдың 2-жартысында Эйлер және оған тәуелсіз 19 ғасырдың басында Фурье ойлап тапты.

Коэффиценттерді анықтауға арналған үш Эйлер формуласы:

; ;

Эйлер формулалары ешқандай дәлелдеуді қажет етпейді. Бұл формулалар гармоникалықтардың шексіз саны үшін дәл. Фурье қатары қысқартылған қатар болып табылады, өйткені гармоникалардың шексіз саны жоқ. Кесілген қатардың коэффициенті толық қатардағы сияқты формулалар арқылы есептеледі. Бұл жағдайда орташа квадраттық қателік минималды болады.

Гармоникалықтардың күші олардың саны артқан сайын азаяды. Егер сіз кейбір гармоникалық құрамдастарды қоссаңыз / алып тастасаңыз, қалған терминдерді (басқа гармоникаларды) қайта есептеу қажет емес.

Барлық дерлік функциялар жұп немесе тақ:

ТІПТІ ФУНКЦИЯ

ТАҚ ФУНКЦИЯ

Теңдеумен сипатталады:

Мысалы, функция Cos:

мұндағы: t = −t

Жұп функцияға қатысты симметриялы

у осі.

Егер функция жұп болса, онда барлық синус коэффициенттері бк косинусшарттар.

Теңдеумен сипатталады:

Мысалы, функция Күнә:

Тақ функция центрге қатысты симметриялы.

Егер функция тақ болса, онда барлық косинус коэффициенттері акнөлге тең болады және Фурье қатарының формуласында тек болады синусшарттар.

2.) нақты пішін Фурье сериясының жазбалары.

Фурье қатарының синус-косинус түрінің кейбір ыңғайсыздығы қосынды индексінің әрбір мәні үшін к(яғни жиілігі бар әрбір гармония үшін kω 1) формула екі мүшеден тұрады - синус және косинус. Тригонометриялық түрлендірулердің формулаларын пайдалана отырып, осы екі мүшенің қосындысын амплитудасы басқа және кейбір бастапқы фазасы бар бірдей жиіліктегі косинусқа түрлендіруге болады:

, қайда

;

Егер С(т) жұп функция, фазалар φ тек 0 және мәндерін қабылдай алады π , ал егер С(т) тақ функция, онда фаза үшін мүмкін мәндер φ тең + π /2.

Егер бк= 0, содан кейін тг φ = 0 және бұрыш φ = 0

Егер ак= 0, содан кейін тг φ - шексіз және бұрыш φ =

Бұл формулада минус болуы мүмкін (қай бағытта қабылданғанына байланысты).

3.) күрделі нысаны Фурье сериясының жазбалары.

Фурье сериясын ұсынудың бұл түрі радиотехникада ең көп қолданылатыны болуы мүмкін. Ол косинусты күрделі дәрежелердің жарты қосындысы ретінде көрсету арқылы нақты формадан алынады (мұндай кескін Эйлер формуласынан туындайды. ejθ = Cosθ + jSinθ):

Өтініш беру берілген түрлендіруКімге нақты пішінФурье қатарында оң және теріс дәрежелі күрделі дәрежелердің қосындысын аламыз:

Ал енді көрсеткіштегі минус таңбалы дәрежелерді теріс сандары бар қатардың мүшелері ретінде түсіндіреміз. Сол жалпы көзқарас шеңберінде тұрақты термин а 0/2 нөлдік нөмірленген қатардың мүшесі болады. Нәтижесінде Фурье қатарының күрделі түрі шығады:

Коэффициенттерді есептеу формуласы ckФурье қатары:

Егер С(т) болып табылады тіптіфункция, қатар коэффициенттері ckтаза болады шынайы, ал егер С(т) - функция тақ, қатардың коэффициенттері таза болып шығады ойдан шығарылған.

Фурье қатарының гармоникалық амплитудаларының жиыны жиі аталады амплитудалық спектр, және олардың фазаларының жиынтығы фазалық спектр.

Амплитудалық спектр коэффициенттердің нақты бөлігі болып табылады ckФурье қатары:

Қайта( ck) амплитудалар спектрі болып табылады.

Тік бұрышты сигналдардың спектрі.

Амплитудасы бар тікбұрышты импульстар тізбегі түріндегі сигналды қарастырайық А, ұзақтығы τ және қайталау кезеңі Т. Кері санақтың басы импульстің ортасында орналасқандай қабылданады.

Бұл сигнал жұп функция, сондықтан оны көрсету үшін Фурье қатарының синус-косинус түрін қолдану ыңғайлырақ – оның құрамында тек косинус терминдері болады. ак, тең:

Формуладан импульстардың ұзақтығы мен олардың қайталану кезеңі оған бөлек емес, тек қатынас ретінде кіретінін көруге болады. Бұл параметр - кезеңнің импульстардың ұзақтығына қатынасы - деп аталады жұмыс цикліимпульстік тізбектер және әріппен белгіленеді: g: g = Т/τ. Бұл параметрді Фурье қатарының коэффициенттері үшін алынған формулаға енгіземіз, содан кейін формуланы Sin(x)/x түріне келтіреміз:

Ескерту: Шетел әдебиетінде жұмыс циклінің орнына жұмыс циклі деп аталатын және τ / тең өзара мән қолданылады. Т.

Жазудың бұл түрімен қатардың тұрақты мүшесінің мәні неге тең екені анық көрінеді: өйткені x→ 0 күнә( x)/x→1, содан кейін

Енді біз Фурье қатары түріндегі тікбұрышты импульстар тізбегінің көрінісін жаза аламыз:

Қатардың гармоникалық мүшелерінің амплитудалары Sin( заңы бойынша гармоникалық санға тәуелді. x)/x.

күнә( x)/xжапырақша сипаты бар. Бұл гүл жапырақшаларының ені туралы айтатын болсақ, периодтық сигналдардың дискретті спектрлерінің графиктері үшін көлденең осьті градациялаудың екі нұсқасы мүмкін екенін атап өткен жөн - гармоника сандарында және жиіліктерде.

Суретте ось градуировкасы гармоника сандарына сәйкес келеді, ал спектрдің жиілік параметрлері өлшем сызықтарының көмегімен графикте кескінделеді.

Сонымен, гармоника санымен өлшенетін гүл жапырақшаларының ені тізбектің жұмыс цикліне тең (бар к = нгБізде бар Күнә (π k/g) = 0, егер n≠ 0). Бұл тікбұрышты импульстар тізбегі спектрінің маңызды қасиетін білдіреді - жұмыс циклінің еселі сандары бар (нөлдік амплитудалары бар) гармоникалар жоқ.

Көрші гармоникалар арасындағы жиілік қашықтығы импульстің қайталану жылдамдығына тең - 2 π /Т. Жиілік бірліктерімен өлшенетін спектр лобтарының ені 2-ге тең π /τ , яғни импульс ұзақтығына кері пропорционал. Бұл жалпы заңдылықтың көрінісі - сигнал неғұрлым қысқа болса, оның спектрі кеңірек болады.

Қорытынды : кез келген сигнал үшін оның Фурье қатарындағы кеңеюлері белгілі. Білу τ және Тқуатты беру үшін қанша гармоника қажет екенін есептей аламыз.

Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық жүйелерді талдау әдістері.

Формуладағы тапсырма:

Қол жетімді сызықтық жүйе(сигнал амплитудасына тәуелді емес):

КОЕФТЕР: DS b0, b1, b3

…………………

PORT_VVOD EQU Y: FFC0 ; енгізу порттарын анықтау.

PORT_VIVOD EQU Y: FFC1 ; шығыс порттарын анықтау.

ORG P: 0 ; Р-жадыны ұйымдастыру.

RESET: JMP START ; БАСТАУ белгісіне сөзсіз өту.

P:100 ; бағдарлама жүзінші ұяшықтан басталады.

БАСТАУ: BUF_X, R0 MOVE ; X бастапқы мекенжайы R0-ге енгізіледі.

MOVE# ORDFIL─1, M0 ; модификациялау. ариф.

MOVE# COEFFS, R4 ; циклді ұйымдастыру. коэффициенттер үшін буфер. Y-жадында.

MOVE# M0, M4 ; өйткені ұзындық сәйкес келуі керек, содан кейін перес. M0-ден M4-ке дейін.

CLRA; батареяны қалпына келтіріңіз.

REP# ORDFIL ; тізбек әрекетін қайталаңыз.

A, X MOVE: (R4) + ; орындаушы автоинкремент және барлық ұяшықтар буферленеді. қалпына келтіру.

LOOP: MOVEP Y: PORT_VVOD, X─ (R0); байт. оқуларды қайта жіберу (реттік көбейту b0).

REP# ORDFIL─1 ; өкілі. тізбекті операция (дөңгелектеусіз 39 есе смарт)

MAC X0,Y0,A X:(R0)+, X0 Y:(R4)+, Y0 ; X0 - Y0, res. ak in; дайындық sl. опера.

MOVEP A, Y: PORT_VIVOD ; мазмұнды байт-байт тасымалдау. батарея.

JMP LOOP; LOOP белгісіне сөзсіз өту.

Сандық сүзгілерді жобалау тәртібі.

Цифрлық сүзгілерді жобалау тәртібі ең алдымен жиілік жауап сызығы бойындағы сүзгі түріне байланысты. Тәжірибеде жиі туындайтын мәселелердің бірі сигналдарды белгілі бір жиілік диапазонында өткізетін және қалған жиіліктерді кешіктіретін сүзгілерді құру болып табылады. Онда төрт тип бар:

1.) Төмен жиіліктегі сүзгілер (LPF; ағылшынша термин - төмен жиіліктегі фильтр), белгілі бір шекті жиіліктен аз өтетін жиіліктер ω 0.

2.) Жоғары жиілікті сүзгілер (HPF; ағылшынша термин – жоғары өту сүзгі), белгілі бір шекті жиіліктен жоғары өтетін жиіліктер ω 0.

3.) Белгілі бір диапазондағы жиіліктерді өткізетін жолақты фильтрлер (ПФ; ағылшынша термині – band-pass filter) ω 1…. ω 2 (оларды орташа жиілікпен де сипаттауға болады ω 0 = (ω 1 + ω ω = ω 2 – ω 1).

4.) Шығаруға өтетін ойық сүзгілері (басқа мүмкін атаулар: ойық сүзгісі, тығынды сүзгі, жолақты тоқтату фильтрі; ағылшынша термині жолақты тоқтату фильтрі) барлықжиілігі, Сонымен қатарбелгілі бір диапазонда жатыр ω 1…. ω 2 (оларды орташа жиілікпен де сипаттауға болады ω 0 = (ω 1 + ω 2)/2 және өткізу қабілеттілігі Δ ω = ω 2 – ω 1).

Осы төрт сүзгі түрінің жиілік реакциясының идеалды пішіні:

Дегенмен, мұндай идеалды (тікбұрышты) жиілік реакциясының пішінін физикалық түрде жүзеге асыру мүмкін емес. Сондықтан аналогтық сүзгілер теориясында бірқатар әдістер әзірленді жуықтаулартікбұрышты жиілік реакциясы.

Сонымен қатар, төмен жиілікті сүзгіні есептей отырып, сіз оның кесу жиілігін қарапайым түрлендірулер арқылы өзгерте аласыз, оны жоғары жиілікті сүзгіге, жолақты немесе белгіленген параметрлері бар ойық сүзгіге айналдыра аласыз. Сондықтан аналогтық сүзгіні есептеу деп аталатын есептеуден басталады прототип сүзгісі, ол 1 рад/с кесу жиілігі бар төмен жиілікті сүзгі.

1.) Баттерворт сүзгісі:

Баттерворт сүзгісінің прототипінің тасымалдау функциясында нөлдер жоқ және оның полюстері біркелкі орналасқан. с-радиусы бірлік шеңбердің сол жағындағы жазықтық.

Баттерворт сүзгісі үшін кесу жиілігі 1/ деңгейімен анықталады. Баттерворт сүзгісі қамтамасыз етеді мүмкіндігінше тегісөту жолағындағы шың.

2.) Бірінші түрдегі Чебышев сүзгісі:

Чебышев I типті фильтрінің тасымалдау функциясында да нөлдер жоқ және оның полюстері эллипстің сол жақ жартысында орналасқан. с-ұшақ. Бірінші түрдегі Чебышев сүзгісі үшін кесу жиілігі өту жолағындағы толқынның деңгейімен анықталады.

Бірдей ретті Баттерворт сүзгісімен салыстырғанда, Чебышев сүзгісі өту жолағынан тоқтату жолағына өту аймағында неғұрлым тік жиілікті жауап қайтаруын қамтамасыз етеді.

3.) Екінші түрдегі Чебышев сүзгісі:

II типті Чебышев сүзгінің тасымалдау функциясы, алдыңғы жағдайларға қарағанда, нөлдерге де, полюстерге де ие. Екінші текті Чебышев сүзгілерін кері Чебышев сүзгілері деп те атайды. Екінші түрдегі Чебышев сүзгісінің кесу жиілігі өткізу жолағының соңы емес, бірақ тоқтату жолағы бастау. Нөлдік жиіліктегі сүзгі күшейту 1-ге тең, кесу жиілігінде - тоқтату жолағындағы толқындардың берілген деңгейіне. Сағат ω → ∞ сүзгі реті тақ және толқын деңгейі жұпқа тең болса, күшейту нөлге тең. Сағат ω = 0 Екінші түрдегі Чебышев сүзгісінің жиілік сипаттамасы максималды тегіс.

4.) Эллиптикалық сүзгілер:

Эллиптикалық фильтрлер (Cauer filters; ағылш. терминдер – elliptic filter, Cauer filter) белгілі бір мағынада бірінші және екінші текті Чебышев сүзгілерінің қасиеттерін біріктіреді, өйткені эллиптикалық фильтрдің жиілік реакциясында өткізу жолағында да берілген мәннің толқындары болады. және тоқтату жолағында. Осының арқасында жиіліктік жауап еңісін, яғни өту және тоқтату жолақтары арасындағы өтпелі аймақтың максималды мүмкін болатын (тұрақты сүзгі тәртібімен) еңісін қамтамасыз етуге болады.

Эллиптикалық сүзгінің тасымалдау функциясының полюстері де, нөлдері де болады. Нөлдер, екінші текті Чебышев сүзгісіндегідей, таза ойдан алынған және күрделі конъюгаттық жұптарды құрайды. Тасымалдау функциясының нөлдерінің саны сүзгі ретінен аспайтын ең үлкен жұп санға тең.

Бірінші және екінші текті Баттерворт, Чебышев сүзгілерін есептеуге арналған MATLAB функциялары, сондай-ақ эллиптикалық сүзгілер аналогтық және дискретті сүзгілерді де есептеуге мүмкіндік береді. Сүзгілерді есептеу функциялары сүзгі ретін және оның кесу жиілігін енгізу параметрлері ретінде көрсетуді талап етеді.

Сүзгінің реті мыналарға байланысты:

белгісіздік аймағының өлшемінен өту жолағындағы рұқсат етілген тегіссіздіктен. (Белгісіздік аймағы неғұрлым аз болса, жиілік реакциясының айналуы соғұрлым жоғары болады).

FIR сүзгілері үшін тапсырыс бірнеше ондаған немесе жүздеген, ал IIR сүзгілері үшін тапсырыс бірнеше бірліктен аспайды.

Пиктограммалар барлық коэффициенттерді көруге мүмкіндік береді. Сүзгі дизайны бір терезеде жасалған.

Көбінесе құрылымы мен формасы бойынша детерминирленген сигналдардың тіпті қарапайымдылығын математикалық сипаттау қиын міндет болып табылады. Сондықтан, нақты күрделі сигналдар элементар функциялармен сипатталған математикалық модельдер жиынымен (өлшенген қосынды, яғни қатарлас) ауыстырылатын (көрсетілген, жуықталған) түпнұсқа әдістеме қолданылады. Бұл үзіндіні талдаудың маңызды құралы болып табылады электрлік сигналдарэлектрондық схемалар арқылы. Сонымен қатар, сигналдың көрінісі оны сипаттау және талдау үшін көз ретінде пайдаланылуы мүмкін. Бұл жағдайда кері есепті айтарлықтай жеңілдетуге болады - синтезэлементар функциялар жиынынан күрделі сигналдар.

Фурье қатары бойынша периодтық сигналдардың спектрлік көрінісі

Жалпыланған Фурье қатары.

Сигналдарды (функцияларды) спектрлік бейнелеудің іргелі идеясы 200 жылдан астам уақыт бұрын пайда болды және физик және математик Дж.Б. Фурьеге тиесілі.

Әрқайсысы бір бастапқы функция-прототипінен алынған элементар ортогональды функциялар жүйесін қарастырайық. Бұл прототиптік функция «құрылыс блогы» рөлін атқарады және қажетті жуықтау бірдей блоктардың сәйкес комбинациясы арқылы табылады. Фурье кез келген күрделі функцияны белгілі амплитудалары, жиіліктері және бастапқы фазалары бар бірнеше гармоникалық тербелістер қатарының соңғы немесе шексіз қосындысы ретінде көрсетуге (жақындауға) болатынын көрсетті. Бұл функция, атап айтқанда, тізбектегі ток немесе кернеу болуы мүмкін. Түстер спектріне призма арқылы ыдырайтын күн сәулесі математикалық Фурье түрлендірулерінің физикалық аналогы болып табылады (2.7-сурет).

Призмадан шыққан жарық кеңістікте жеке таза түстерге немесе жиіліктерге бөлінеді. Спектрдің әрбір жиілікте орташа амплитудасы бар. Осылайша, қарқындылықтың уақытқа қарсы функциясы амплитудаға қарсы жиілік функциясына айналды. Фурье пайымдауының қарапайым суреті суретте көрсетілген. 2.8. Пішіні бойынша мерзімді, біршама күрделі қисық (2.8-сурет, а) -бұл әртүрлі, бірақ бірнеше жиіліктегі екі гармониканың қосындысы: жалғыз (2.8-сурет, б)және екі еселенген (2.8-сурет, v).

Күріш. 2.7.

Күріш. 2.8.

а- күрделі тербеліс; b, c- 1-ші және 2-ші жуықтау сигналдары

Фурье спектрлік талдауын қолдану күрделі функцияәрқайсысының өз жиілігі, амплитудасы және бастапқы фазасы бар гармоника қосындысымен көрсетіледі. Фурье түрлендіруі белгілі бір жиілікке сәйкес келетін гармоникалық компоненттердің амплитудасы мен фазасын көрсететін функцияларды анықтайды, ал фаза синусоидтың бастапқы нүктесі болып табылады.

Трансформацияны екі түрлі жолмен алуға болады математикалық әдістер, олардың бірі бастапқы функция үздіксіз болғанда, ал екіншісі жеке дискретті мәндер жиынымен берілгенде қолданылады.

Егер зерттелетін функция белгілі бір дискретті аралықтары бар мәндерден алынса, оны дискретті жиіліктері бар синусоидалы функциялардың бірізді тізбегіне бөлуге болады - ең төменгі, негізгі немесе негізгі жиіліктен, содан кейін екі рет, үш есе жиілікпен. , т.б. негізгі үстінде. Компоненттердің бұл қосындысы деп аталады Фурьеге жақын.

ортогональды сигналдар. Фурье бойынша спектрлік сигналды сипаттаудың ыңғайлы тәсілі - оның ортогональды элементар уақыт функциялары жүйесін пайдаланып аналитикалық бейнелеу. Сигналдардың Гильберт кеңістігі болсын u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t)шектеулі немесе шексіз уақыт интервалында анықталған шекті энергиясы бар (t v 1 2). Бұл сегментте біз өзара байланысты элементар уақыт функцияларының шексіз жүйесін (ішкі жиынын) анықтаймыз және оны атаймыз. негізгі».

қайда r = 1, 2, 3,....

Функциялар u(t)және v(t)Бұл функциялардың ешқайсысы бірдей нөлге тең болмаса, олардың скаляр көбейтіндісі (?, ? 2) интервалында ортогональ болады.

Математикада бұл сигналдардың Гильберт кеңістігінде берілген ортогональды координаталар негізі, яғни. ортогональды базистік функциялар жүйесі.

Функциялардың (сигналдардың) ортогоналдылық қасиеті оларды анықтау интервалымен байланысты (2.9-сурет). Мысалы, екі гармоникалық сигнал m, (?) \u003d \u003d sin (2nr / 7' 0) және u.,(t)= күнә(4 nt/T Q)(яғни жиіліктермен/ 0 = 1/7’ 0 және 2/ 0 тиісінше) ұзақтығы жарты циклдардың бүтін санына тең кез келген уақыт интервалында ортогональ болып табылады T 0(Cурет 2.9, а).Сондықтан бірінші кезеңде сигналдар және (1)және u 2 (t)(0,7" 0 /2) интервалда ортогональды, бірақ (O, ZG 0 /4) интервалда олар ортогональды емес. 2.9-суретте, бсигналдар олардың пайда болу уақытының айырмашылығына байланысты ортогональды болады.

Күріш. 2.9.

а- интервал бойынша; б -әр түрлі пайда болу уақытына байланысты Сигнал ұсыну u(t)негізгі функциялар жүйесі таңдалса, қарапайым модельдер айтарлықтай жеңілдетіледі vff),мүлікке ие болу ортонормалық.Математикадан белгілі, егер ортогональды жүйеден (2.7) функциялардың кез келген жұбы үшін шарт

онда функциялар жүйесі (2.7) ортонормальдық.

Математикада (2.7) түріндегі базистік функциялардың мұндай жүйесі деп аталады ортонормалық негіз.

|r берілген уақыт интервалында болсын, t2| ерікті сигнал белсенді u(t)және оны көрсету үшін функциялардың ортонормальдық жүйесі (2.7) қолданылады. Ерікті сигналды жобалау u(t)координаталар осінде базис деп аталады жалпыланған Фурье қатарына кеңею.Бұл ыдырау формасы бар

мұндағы c, кейбір тұрақты коэффициенттер.

Коэффициенттерді анықтау бастапжалпыланған Фурье қатары, біз базистік функциялардың бірін таңдаймыз (2.7) v k (t) серікті сан Кімге.Біз кеңейтудің екі бөлігін де (2.9) осы функцияға көбейтеміз және нәтижені уақыт бойынша біріктіреміз:

Таңдалған функциялар базисінің ортонормалығына байланысты осы теңдіктің оң жағындағы қосындының барлық мүшелері мен ^ Кімгенөлге айналады. Тек саны бар қосындының жалғыз мүшесі ғана нөлден тыс қалады мен = Кімге,Сондықтан

пішіннің өнімі c k v k (t),жалпыланған Фурье қатарына (2.9) кіреді спектрлік компонентсигнал u(t),және коэффициенттер жиыны (сигнал векторларының координата осьтеріндегі проекциялары) (с 0 , с,..., k-мен,..., с„) талданатын сигналды толығымен анықтайды ii(t)және оны шақырды спектр(лат. спектр- сурет).

мәні спектрлік бейнелеу (талдау) сигнал (2.19) формулаға сәйкес i бар коэффициенттерді анықтаудан тұрады.

Функциялардың координаталық негізінің ұтымды ортогоналды жүйесін таңдау зерттеу мақсатына байланысты және деректерді талдаудың, түрлендірудің және өңдеудің математикалық аппаратын барынша жеңілдетуге ұмтылумен анықталады. Қазіргі уақытта негізгі функция ретінде Чебышев, Эрмит, Лагер, Леджендр және т.б көпмүшеліктер қолданылады. Exp (Дж 2 фут)және Эйлер формуласымен байланысты нақты тригонометриялық синус-косинус функциялары e > x\u003d cosx + y "sinx. Себебі гармоникалық тербеліс арқылы өткенде теориялық түрде өз пішінін толығымен сақтайды. сызықтық тізбектертұрақты параметрлері бар, тек оның амплитудасы мен бастапқы фазасы өзгереді. Схемалар теориясында жақсы дамыған символдық әдіс де кеңінен қолданылады. Детерминирленген сигналдарды тұрақты құрамдастардың жиыны ретінде көрсету операциясы ( тұрақты компонент)және бірнеше жиіліктегі гармоникалық тербелістердің қосындылары деп аталады спектрлік ыдырау.Сигнал теориясында жалпыланған Фурье қатарының жеткілікті кең таралуы оның өте маңызды қасиетімен де байланысты: функциялардың таңдалған ортонормальдық жүйесі үшін v k (t)және қатардағы терминдердің тіркелген саны (2.9), ол берілген сигналдың ең жақсы көрінісін қамтамасыз етеді u(t).Фурье сериясының бұл қасиеті кеңінен танымал.

Сигналдарды спектрлік бейнелеуде тригонометриялық функциялардың ортонормальдық негіздері кеңінен қолданылады. Бұл келесіге байланысты: гармоникалық тербелістер ең оңай генерацияланады; гармоникалық сигналдар стационарлық сызықтық электр тізбектерімен жүзеге асырылатын түрлендірулерге қатысты инвариантты болып табылады.

Аналогтық сигналдың уақытша және спектрлік көрінісін бағалайық (2.10-сурет). Суретте. 2.10, апішіні күрделі үздіксіз сигналдың уақыт диаграммасын көрсетеді және күріш. 2.10, б -оның спектрлік ыдырауы.

Қарастырыңыз спектрлік бейнелеупериодтық сигналдар гармоникалық функциялардың немесе арифметикалық прогрессияны құрайтын жиіліктері бар күрделі экспоненциалдардың қосындысы ретінде.

мерзімдісигналды шақырыңыз және «(?). тұрақты аралықпен қайталау (2.11-сурет):

мұндағы G – импульстердің қайталану немесе қайталану кезеңі; n = 0,1, 2,....

Күріш. 2.11. мерзімді сигнал

Егер Тсигнал кезеңі болып табылады u(t),онда нүктелер де оның еселіктері болады: 2r, 3 Тжәне т.б. Импульстердің мерзімді тізбегі (олар деп аталады бейне импульстар) өрнегі арқылы сипатталады

Күріш. 2.10.

а- уақыт диаграммасы; б- амплитудалық спектр

Мұнда uQ(t)- амплитудасымен (биіктігі) сипатталатын бір импульстің пішіні h = E,ұзақтығы t, қайталау кезеңі T= 1/F(F - жиілік), мысалы, сағат нүктелеріне қатысты импульстердің уақыт бойынша орны t = 0.

Периодтық сигналдарды спектрлік талдауда ортогональды жүйе (2.7) бірнеше жиіліктегі гармоникалық функциялар түрінде ыңғайлы:

мұндағы co, = 2p / T-импульстің қайталану жылдамдығы.

(2.8) формуланы қолданып, интегралдарды есептей отырып, бұл функциялардың [-Г/2, Г/2| интервалында ортогональ екендігін тексеру оңай. Кез келген функция периодтылық шартын (2.11) қанағаттандырады, өйткені олардың жиіліктері еселік. (2.12) жүйесі былай жазылса

онда гармоникалық функциялардың ортонормальдық негізін аламыз.

Сигнал теориясында ең көп таралған периодтық сигналды елестетіп көрейік тригонометриялық(синус-косинус) пішінФурье қатары:

Математика курсынан кеңею (2.11) бар екені белгілі, яғни. қатар жинақталады, егер функция (бұл жағдайда сигнал) u(t)[-7/2, 7/2] интервалында қанағаттандырады Дирихле шарттары(Дирихле теоремасынан айырмашылығы, олар жиі жеңілдетілген түрде түсіндіріледі):

2-ші түрдегі үзілістер болмауы керек (тармақтары шексіздікке дейін барады);
функция шектелген және 1-ші түрдегі үзілістердің шектеулі санына ие (секірулер);
функцияның шекті саны бар (яғни, максимум және минимум).

Формула (2.13) талданатын сигналдың келесі компоненттерін қамтиды:

Косинус компоненттерінің амплитудалары

Синусоидалы компоненттердің амплитудалары

Байланыс теориясында жиілігі co бар спектрлік компонент деп аталады бірінші (негізгі) гармоника, және жиіліктері бар құрамдас бөліктер, (n > 1) - жоғары гармоникалармерзімді сигнал. Фурье кеңеюінен екі іргелес синусоидтар арасындағы Aco жиілік қадамы деп аталады жиілік рұқсатыспектр.

Егер сигнал уақыттың жұп функциясы болса u(t) = u(-t), онда Фурье қатарының тригонометриялық кескінінде (2.13) синусоидалы коэффициенттер болмайды. б n, өйткені (2.16) формулаға сәйкес олар жойылады. Сигнал үшін u(t),уақыттың тақ функциясымен сипатталған, керісінше (2.15) формулаға сәйкес косинус коэффициенттері нөлге тең. а б(тұрақты компонент а 0да жоқ) және қатарда құрамдас бөліктер бар б б.

Интегралдау шектері (-7/2-ден 7/2-ге дейін) (2.14)-(2.16) формулаларындағыдай болуы міндетті емес. Интеграция ені 7 кез келген уақыт интервалында орындалуы мүмкін - нәтиже өзгермейді. Нақты шектеулер есептеулердің ыңғайлылығы үшін таңдалады; мысалы, 0-ден 7-ге дейін немесе -7-ден 0-ге дейін және т.б. біріктіру оңайырақ болуы мүмкін.

Уақыт функциясы арасындағы байланысты орнататын математика саласы у(т) және спектрлік коэффициенттер a p, b p,шақырды гармоникалық талдауфункционалдық байланысына байланысты u(t)осы қосындының синусоидалы және косинус мүшелерімен. Әрі қарай спектрлік талдаунегізінен эксклюзивті пайдалануды табатын гармоникалық талдаумен шектеледі.

Жиі Фурье қатарының синус-косинус түрін қолдану өте ыңғайлы емес, өйткені жиынтық индекстің әрбір мәні үшін П(яғни mOj жиілігі бар әрбір гармоника үшін) (2.13) формулада екі термин бар - косинус және синус. Математикалық тұрғыдан бұл формуланы балама Фурье қатарымен ұсыну ыңғайлырақ. нақты пішін/.

қайда A 0 = a 0 / 2; A n \u003d yja 2 n + б -амплитудасы; сигналдың n-ші гармониясы. Кейде (2.17) қатынасында cp L алдында плюс белгісі қойылады, содан кейін гармониканың бастапқы фазасы cp және = -arctg түрінде жазылады ( bnfa n).

Сигнал теориясында Фурье қатарының күрделі түрі кеңінен қолданылады. Ол Эйлер формуласы бойынша косинусты күрделі дәрежелердің жарты қосындысы ретінде көрсету арқылы қатардың нақты түрінен алынады:

Бұл түрлендіруді Фурье қатарының (2.17) нақты түріне қолданып, оң және теріс дәрежелі күрделі дәрежелердің қосындыларын аламыз:

Ал енді (2.19) формулада ω жиіліктегі дәрежелерді, дәрежедегі минус таңбасын теріс сандары бар қатардың мүшелері ретінде түсіндіреміз. Сол тәсілдің шеңберінде коэффициент A 0нөлдік саны бар серияның мүшесі болады. Қарапайым түрлендірулерден кейін біз келеміз күрделі нысаныФурье қатары

Күрделі амплитуда Пгармоникалық.

Құндылықтар C боң және теріс сандар арқылы Пкүрделі конъюгат болып табылады.

Фурье қатары (2.20) күрделі экспоненциалдар ансамблі екенін ескеріңіз exp(jn(o (t)) арифметикалық прогрессияны құрайтын жиіліктермен.

Фурье қатарының тригонометриялық және күрделі түрлерінің коэффициенттері арасындағы байланысты анықтайық. Ол анық

Коэффициенттер екенін де көрсетуге болады а б= 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f .

Егер u(t)жұп функция болса, С қатарының коэффициенттері болады шынайы,ал егер u(t) -функциясы тақ болса, қатардың коэффициенттері болады ойдан шығарылған.

Фурье қатарының (2.20) күрделі түрі бойынша периодтық сигналдың спектрлік көрінісі оң және теріс жиіліктерді де қамтиды. Бірақ теріс жиіліктер табиғатта жоқ және бұл математикалық абстракция (теріс жиіліктің физикалық мағынасы оң деп қабылданғанға қарама-қарсы бағытта айналу). Олар гармоникалық тербелістерді күрделі формамен формалды бейнелеудің салдары ретінде пайда болады. Күрделі формадан (2.20) нақты түрге (2.17) өткенде теріс жиілік жойылады.

Көрнекі түрде сигнал спектрі оның графикалық көрінісі – спектрлік диаграмма арқылы бағаланады (2.12-сурет). Айырмау амплитудалық-жиілікжәне фазалық жиілік спектрлері.Гармоникалық амплитудалар жиыны А б(2.12-сурет, а)шақырды амплитудалық спектр, олардың фазалары (2.12-сурет, б)үйленемін - фазалық спектр.Жиынтық C б = |C бболып табылады күрделі амплитудалық спектр(2.12-сурет, v).Спектрлік диаграммаларда абсцисса осьтері ток жиілігін, ал ордината осьтері талданатын сигналдың сәйкес гармоникалық компоненттерінің нақты немесе күрделі амплитудасын немесе фазасын көрсетеді.

Күріш. 2.12.

а -амплитудасы; б -кезең; v -Фурье кешенінің амплитудалық спектрі

Периодтық сигналдың спектрі деп аталады басқардынемесе дискретті, өйткені ол амплитудасына тең биіктігі бар бөлек сызықтардан тұрады А бгармоника. Спектрлердің барлық түрлерінің ішінде амплитудалық спектр ең ақпаратты болып табылады, өйткені ол сигналдың жиілік құрамындағы белгілі гармоникалардың сандық мазмұнын бағалауға мүмкіндік береді. Сигнал теориясында амплитудалық спектрдің болатыны дәлелденді жұп жиілік функциясы, және фазасы - тақ.

Ескерту тең қашықтықПериодтық сигналдардың күрделі спектрінің (бастапқы нүктеден бірдей қашықтығы): тригонометриялық Фурье қатарының спектрлік коэффициенттері орналасқан симметриялық (оң және теріс) жиіліктер тең қашықтықтағы тізбекті құрайды (..., -жо в..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., ncov...) co = 0 жиілігін қамтитын және ко t = 2n/7' қадамы бар. Коэффициенттер кез келген мәнді қабылдай алады.

2.1-мысал

Амплитудасы?, ұзақтығы t және қайталану периоды бар тікбұрышты импульстердің периодтық тізбегінің амплитудасы мен фазалық спектрлерін есептейік. Т.Сигнал жұп функция болып табылады (2.13-сурет).

Күріш. 2.13.

Шешім

Идеал тікбұрышты бейне импульсі келесі теңдеумен сипатталатыны белгілі:

анау. ол уақыт бойынша t-ге ығысқан екі бірлік функцияның a(?) (қосу функциялары) айырмасы ретінде қалыптасады.

Тік бұрышты импульстердің тізбегі жалғыз импульстердің белгілі қосындысы болып табылады:

Берілген сигнал уақыттың жұп функциясы болғандықтан және бір период ішінде ол тек [t және /2, t және /2] интервалында әрекет етеді, онда (2.14) формула бойынша

қайда q = Т/Т».

Алынған формуланы талдай отырып, қайталау кезеңі мен импульстардың ұзақтығы оған қатынас ретінде енгізілгенін көруге болады. Бұл параметр q-кезеңнің импульстердің ұзақтығына қатынасы деп аталады жұмыс цикліимпульстердің мерзімді тізбегі (шетел әдебиетінде жұмыс циклінің орнына кері мән қолданылады - толтыру коэффициенті, ағылшын тілінен, жұмыс циклі, m және /7-ге тең); сағ q = 2 Импульстердің ұзақтығы мен олардың арасындағы интервалдар тең болған кездегі тік бұрышты импульстар тізбегі деп аталады. меандр(грек тілінен paiav5poq – өрнек, геометриялық ою).

Талданатын сигналды сипаттайтын функцияның паритетіне байланысты Фурье қатарында тұрақты компонентпен бірге тек косинус құраушылары болады (2.15):

(2.22) формуланың оң жағында екінші фактор элементар функция (sinx)/x түрінде болады. Математикада бұл функция sinc (x) ретінде және тек мән үшін белгіленеді X= 0 ол бірге тең (lim (sinx/x) =1), өтеді

нөл арқылы x = ±l, ±2l,... нүктелерінде және х аргументінің артуымен ыдырайды (2.14-сурет). Берілген сигналды жақындататын соңғы тригонометриялық Фурье қатары (2.13) түрінде жазылады.

Күріш. 2.14.Функция графигі sinx/x

Синус функциясы лепесток сипатқа ие. Лобтардың ені туралы айтатын болсақ, периодтық сигналдардың дискретті спектрлерінің графиктері үшін көлденең осьті градациялаудың екі нұсқасы мүмкін екенін атап өткен жөн - гармоникалық сандар мен жиіліктерде. Мысалы, күріш. 2.14 y осінің градуировкасы жиіліктерге сәйкес келеді. Гармоникалық санмен өлшенетін гүл жапырақшаларының ені тізбектің жұмыс цикліне тең. Бұл тікбұрышты импульстар тізбегі спектрінің маңызды қасиетін білдіреді - онда жұмыс циклінің еселі сандармен гармоникасы жоқ (нөлдік амплитудалары бар). Жұмыс циклі үшке тең болса, әрбір үшінші гармоника жоғалады. Егер жұмыс циклі екіге тең болса, онда спектрде тек негізгі жиіліктің тақ гармоникалары қалады.

(2.22) формуладан және сур. 2.14 сигналдың жоғары гармоникаларының бірқатарының коэффициенттері теріс таңбаға ие болады. Бұл гармоникалардың бастапқы фазасы болып табылатындығына байланысты П.Сондықтан (2.22) формула әдетте өзгертілген түрде беріледі:

Фурье қатарының мұндай жазылуымен спектрлік диаграмманың графигіндегі барлық жоғары гармоникалық компоненттердің амплитудалық мәндері оң болады (2.15-сурет, а).

Сигналдың амплитудалық спектрі көбінесе қайталану кезеңінің қатынасына байланысты Тжәне импульс ұзақтығы t және, яғни. жұмыс циклінен q.Көрші гармоникалар арасындағы жиіліктегі қашықтық импульстің қайталану жылдамдығына тең ω 1 = 2n/T. Жиілік бірліктерімен өлшенетін спектр лобтарының ені 2р/тн тең, яғни. импульс ұзақтығына кері пропорционал. Бірдей импульс ұзақтығы үшін t және кейбір ұлғаюымен ескеріңіз

Күріш. 2.15.

а- амплитудасы;б- фаза

олардың қайталану кезеңі Тнегізгі жиілік w азаяды және спектр тығызырақ болады.

Дәл сол сурет, егер импульс ұзақтығы t қысқартылса және тұрақты кезеңмен байқалады Т.Бұл жағдайда барлық гармоникалардың амплитудалары төмендейді. Бұл жалпы заңдылықтың көрінісі (В.Гейзенбергтің белгісіздік принципі – Белгісіздік принципі)',сигналдың ұзақтығы неғұрлым қысқа болса, оның спектрі кеңірек болады.

Компоненттердің фазалары cp p \u003d arctg формуласынан анықталады (бн/ан).Мұндағы коэффициенттер млрд= 0, онда

қайда m = 0, 1, 2,....

(2.24) қатынас спектрлік компоненттердің фазаларын есептеу кезінде математикалық белгісіздікпен айналысатынымызды көрсетеді. Оны ашу үшін (2.22) формулаға жүгінейік, оған сәйкес гармоника амплитудалары sin(nco 1 x 1I /2) функциясының таңбасының өзгеруіне сәйкес периодты түрде таңбасын өзгертеді. (2.22) формуладағы белгіні өзгерту осы функцияның фазасын келесіге ауыстыруға тең П.Сондықтан, қашан берілген функцияоң, гармоникалық фаза (p u = 2 tp,және теріс кезде (2т + 1 ) Кімге(2.15, б-сурет). Тікбұрышты импульстар спектрінде компоненттердің амплитудалары жиілігі артқан сайын төмендейтінін ескеріңіз (2.15-суретті қараңыз). а),бұл ыдырау біршама баяу (амплитудалар жиілікке кері азаяды). Мұндай импульстерді бұрмалаусыз беру үшін байланыс арнасының шексіз өткізу қабілеттілігі қажет. Салыстырмалы түрде нәзік бұрмалану үшін өткізу қабілеттілігінің шектік мәні импульс енінің кері мәнінен бірнеше есе көп болуы керек. Дегенмен, барлық нақты арналардың шектеулі өткізу қабілеті бар, бұл жіберілетін импульстердің пішінінің бұрмалануына әкеледі.

Кездейсоқ мерзімді сигналдардың Фурье қатары шексіз болуы мүмкін көп санымүшелері. Мұндай сигналдардың спектрлерін есептеу кезінде Фурье қатарының шексіз қосындысын есептеу белгілі бір қиындықтарды тудырады және әрқашан талап етілмейді, сондықтан олар терминдердің шектеулі санын қосумен шектеледі (қатар «қысқартылған»).

Сигналдың жуықтау дәлдігі жинақталған құрамдастардың санына байланысты. Мұны тікбұрышты импульстар тізбегінің алғашқы сегіз гармоникасының қосындысы бойынша жуықтау мысалын қолданып қарастырайық (2.16-сурет). Сигнал қайталанатын периоды бар бірполярлы меандр түрінде болады Бұламплитудасы Е= 1 және импульс ұзақтығы t және = Т/2 (берілген сигнал – жұп функция – 2.16-сурет, а; жұмыс циклі q= 2). Жуықтау күріште көрсетілген. 2.16, b және графиктер қосынды гармоника санын көрсетеді. Берілген периодтық сигналды (2.13-суретті қараңыз) тригонометриялық қатармен (2.13) ағымдағы жуықтауда бірінші және одан жоғары гармоникалардың қосындысы тек тақ коэффициенттер арқылы жүзеге асырылады. Пуөйткені олардың жұп мәндері мен импульс ұзақтығы үшін t u = Т/2 = = tt/co, sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) мәні жойылады.

Берілген сигнал үшін Фурье қатарының (2.23) тригонометриялық түрі пішінге ие

Күріш. 2.16.

а -берілген сигнал; 6 - жинақтаудың аралық кезеңдері

Көрсетуге ыңғайлы болу үшін Фурье қатарын (2.25) жеңілдетілген түрде жазуға болады:

(2.26) формуладан меандрға жақындайтын гармоникалардың тақ, айнымалы таңбалары бар және олардың амплитудалары сандарға кері пропорционал екені анық. Тік бұрышты импульстар тізбегі Фурье қатарын көрсету үшін нашар сәйкес келетінін ескеріңіз - жуықтауда толқындар мен секірулер бар және кез келген амплитудалары бар гармоникалық компоненттердің кез келген санының қосындысы әрқашан үздіксіз функция болады. Сондықтан Фурье қатарының үзілістер маңындағы әрекеті ерекше қызығушылық тудырады. Суреттегі графиктерден. 2.16, b, жиынтық гармоника санының артуымен алынған функция бастапқы сигналдың пішініне неғұрлым дәлірек жақындайтынын түсіну оңай. u(t)оның үзілу нүктелерін қоспағанда, барлық жерде. Үзіліс нүктелерінің маңайында Фурье қатарының қосындысы көлбеу береді, ал алынған функцияның көлбеулігі қосынды гармоникалардың санына қарай артады. Үзіліс нүктесінің өзінде (біз оны деп белгілейміз т = t0)Фурье қатары u(t0)оң және сол шектердің қосындысының жартысына жиналады:

Үзіліске іргелес жатқан қисық сегменттерінде қатарлар қосындысы айтарлықтай тербелістерді береді, ал суретте. 2.16-дан бұл пульсациялардың негізгі толқынының амплитудасы жиынтық гармоникалар санының артуымен азаймайтынын көруге болады - ол тек үзіліс нүктесіне жақындай отырып, көлденең қысқарады.

Сағат П-? үзіліс нүктелерінде кернеу амплитудасы тұрақты болып қалады,

және оның ені шексіз тар болады. Пульсациялардың салыстырмалы амплитудасы да (секіру амплитудасына қатысты) да, салыстырмалы әлсіреуі де өзгермейді; тек толқындық жиілік өзгереді, ол соңғы жинақталған гармоника жиілігімен анықталады. Бұл Фурье қатарының жинақталуына байланысты. Классикалық мысалды алайық: егер сіз әр қадаммен жарты қашықтықты жүрсеңіз, қабырғаға жете аласыз ба? Бірінші қадам жолдың жартысының белгісіне, екіншісі - оның төрттен үш бөлігінің белгісіне әкеледі, ал бесінші қадамнан кейін сіз жолдың 97% дерлік жүріп өткен боласыз. Сіз мақсатқа дерлік жеттіңіз, бірақ сіз қанша қадам жасасаңыз да, қатаң математикалық мағынада оған ешқашан жете алмайсыз. Сіз тек математикалық түрде дәлелдей аласыз, соңында сіз кез келген ерікті түрде шағын қашықтыққа жақындай аласыз. Бұл дәлелдеу 1/2,1/4,1/8,1/16 және т.б. сандардың қосындысы екенін көрсетуге тең болады. бірлікке ұмтылады. 1-ші түрдегі үзілістері бар сигналдар үшін барлық Фурье қатарларына тән бұл құбылыс (мысалы, тікбұрышты импульстердің фронттарындағы сияқты секірулер) деп аталады. Гиббс эффектісі*. Бұл жағдайда жуықталған қисықтағы бірінші (ең үлкен) амплитудалық өсудің мәні секіру деңгейінің шамамен 9% құрайды (2.16-суретті қараңыз, П = 4).

Гиббс эффектісі 1-ші түрдегі үзілістермен периодтық импульстік сигналдарды жақындатуда сөзсіз қателікке әкеледі. Функциялардың монотондылығы күрт бұзылған кезде әсер пайда болады. Секіру кезінде әсер максималды болады, қалған барлық жағдайларда пульсация амплитудасы монотондылықтың бұзылу сипатына байланысты. Бірқатар практикалық қолданбалар үшін Гиббс әсері белгілі бір мәселелерді тудырады. Мысалы, дыбысты қайта шығаратын жүйелерде бұл құбылыс «қоңырау» немесе «шақыру» деп аталады. Оның үстіне әрбір өткір дауыссыз немесе басқа кенет дыбыс қысқа, жағымсыз дыбыспен бірге жүруі мүмкін.

Фурье қатарын периодтық сигналдарға ғана емес, сонымен қатар ұзақтығы шектеулі сигналдарға да қолдануға болады. Бұл ретте уақыт белгіленеді

Фурье қатары құрылатын интервал, ал басқа уақытта сигнал нөлге тең деп есептеледі. Қатарлардың коэффициенттерін есептеу үшін бұл тәсіл білдіреді мерзімді жалғасықарастырылған интервалдан тыс сигнал.

Табиғат (мысалы, адамның есту қабілеті) сигналдарды гармоникалық талдау принципін де қолданатынын ескеріңіз. Адам дыбысты естіген сайын виртуалды Фурье түрлендіруін орындайды: құлақ мұны дыбысты әр түрлі тондар үшін дәйекті қаттылық мәндерінің спектрі ретінде көрсету арқылы автоматты түрде жасайды. Адам миы бұл ақпаратты қабылданған дыбысқа айналдырады.

гармоникалық синтез. Сигнал теориясында сигналдардың гармоникалық талдауымен қатар олар кеңінен қолданылады гармоникалық синтез- спектрдің бірқатар гармоникалық компоненттерін қосу арқылы күрделі пішінді берілген тербелістерді алу. Негізінде жоғарыда гармоника қатарының қосындысы бойынша тікбұрышты импульстердің мерзімді тізбегін синтездеу жүргізілді. Іс жүзінде бұл операциялар суретте көрсетілгендей компьютерде орындалады. 2.16 б.

Жан Батист Джозеф Фурье (1768-1830) — француз математигі және физигі.
Джозия Гиббс (Дж. Гиббс, 1839-1903) – американдық физик және математик, химиялық термодинамика мен статистикалық физиканың негізін салушылардың бірі.

Кез келген фигураның T периоды бар периодтық сигналды қосынды түрінде көрсетуге болады

жиіліктері негізгі жиілікке еселік болатын амплитудалары мен бастапқы фазалары әртүрлі гармоникалық тербелістер. Бұл жиіліктің гармониясы іргелі немесе бірінші, қалғаны – жоғары гармоника деп аталады.

Фурье қатарының тригонометриялық түрі:

қайда
- тұрақты компонент;

- косинус компоненттерінің амплитудалары;

- синусоидалы компоненттердің амплитудалары.

жұп сигнал (
) тек косинусы бар және тақ (
- тек синусоидалы мүшелер.

Фурье қатарының эквивалентті тригонометриялық түрі ыңғайлырақ:

қайда
- тұрақты компонент;

- сигналдың n-ші гармониясының амплитудасы. Гармоникалық компоненттердің амплитудаларының жиыны амплитудалар спектрі деп аталады;

- сигналдың n-ші гармониясының бастапқы фазасы. Гармоникалық компоненттердің фазаларының жиынтығы фазалық спектр деп аталады.

Тік бұрышты импульстардың периодтық тізбегінің спектрі. Спектрдің импульстің қайталану кезеңіне және олардың ұзақтығына тәуелділігі. Спектр ені. Фурье сериясының кеңеюі pppi

Амплитудасы бар PPTR амплитудасы мен фазалық спектрлерін есептейік
, ұзақтығы , кезең және бастапқы нүктеге қатысты симметриялы орналасқан (сигнал жұп функция).

5.1-сурет - FPFI уақыттық диаграммасы.

Бір период интервалындағы сигналды жазуға болады:

Есептер:

PPPI үшін Фурье сериясы келесі пішінге ие:.

5.2-сурет - APPI амплитудалық спектрлік диаграммасы.

5.3-сурет - APP фазалық спектрлік диаграммасы.

PPPR спектрі сызықтық (дискретті) (жеке спектрлік сызықтардың жиынтығымен көрсетілген), гармоникалық (спектрлік сызықтар бір-бірінен бірдей қашықтықта ω 1), кемулі (гармоникалық амплитудалар санның өсуімен азаяды), гүл жапырақшасы бар. құрылымы (әр гүл жапырақшасының ені 2π/ τ), шексіз (спектрлік сызықтар орналасқан жиілік аралығы шексіз);

Бүтін жұмыс циклдері үшін спектрдегі жұмыс цикліне еселік болатын жиіліктері бар жиілік құрамдастары жоқ (олардың жиіліктері амплитудалық спектр конвертінің нөлдеріне сәйкес келеді);

Жұмыс циклі ұлғайған сайын барлық гармоникалық компоненттердің амплитудалары азаяды. Оның үстіне, егер ол қайталану кезеңінің T ұлғаюымен байланысты болса, онда спектр тығызырақ болады (ω 1 азаяды), импульс ұзақтығы τ азайған кезде әрбір гүл жапырақшасының ені үлкенірек болады;

Сигнал энергиясының 95% құрайтын жиілік интервалы FPTR спектрінің ені ретінде қабылданады (конверттің алғашқы екі лобының еніне тең):

немесе
;

Бір конвертте орналасқан барлық гармоникалардың фазалары бірдей, 0 немесе π тең.

Периодты емес сигналдар спектрін талдау үшін Фурье түрлендіруін қолдану. Бір тік бұрышты импульстің спектрі. Интегралды Фурье түрлендірулері

Байланыс сигналдары әрқашан уақыт бойынша шектелген, сондықтан мерзімді емес. Периодты емес сигналдардың ішінде бір импульстар (СП) үлкен қызығушылық тудырады. RP ұзақтығы бар мерзімді импульстік пойыздың (ППС) шекті жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін олардың қайталануының шексіз ұзақ кезеңімен
.

6.1-сурет - PPI және OI.

Периодты емес сигналды амплитудалары жойылатын, жиіліктегі шексіз жақын тербелістердің шексіз көп санының қосындысымен көрсетуге болады. RI спектрі үздіксіз және Фурье интегралдарымен енгізілген:

-
(1) – тура Фурье түрлендіруі. Берілген сигнал пішіні үшін спектрлік функцияны аналитикалық табуға мүмкіндік береді;

-
(2) - кері түрлендіруФурье. Сигналдың берілген спектрлік функциясы үшін пішінді аналитикалық жолмен табуға мүмкіндік береді.

Интегралды Фурье түрлендіруінің күрделі түрі(2) периодты емес сигналдың екі жақты спектрлік көрінісін береді (теріс жиіліктері бар)
гармоникалық тербелістердің қосындысы ретінде
шексіз шағын күрделі амплитудалары бар
, оның жиіліктері бүкіл жиілік осін үздіксіз толтырады.

Күрделі спектрлік сигнал тығыздығы – күрделі функцияэлементар гармоникалардың амплитудасы мен фазасы туралы ақпаратты бір уақытта тасымалдайтын жиілік.

Спектрлік тығыздықтың модулі амплитудалардың спектрлік тығыздығы деп аталады. Оны периодты емес сигналдың үздіксіз спектрінің жиілік реакциясы ретінде қарастыруға болады.

Спектрлік тығыздық аргументі
фазалардың спектрлік тығыздығы деп аталады. Оны периодты емес сигналдың үздіксіз спектрінің PFC ретінде қарастыруға болады.