Жиілік реакциясының пішіні демпингтің спектрлік бейнесінен басқа ештеңе емес синусоидалысигнал. Сонымен қатар, белгілі болғандай, бір электрлік тербелмелі контурдың амплитудалық-жиілік сипаттамасы ұқсас пішінге ие.

Белгілі бір құрылғылардың амплитудалық-жиілік сипаттамасының формасы мен сигналдың қасиеттері арасындағы байланыс теориялық электротехника және теориялық радиотехника негіздерінде зерттеледі. Қысқаша айтқанда, енді бізді қызықтыратын нәрсе мыналар.

Тербелмелі контурдың амплитудалық-жиілік сипаттамасы контурда осы тербелмелі контурдың соққы қозуы кезінде пайда болатын сигналдың жиілік спектрінің кескінімен сәйкес келеді. Бұл нүктені көрсету үшін 1-3-суреттер көрсетілген, онда тербелмелі контурға соққы бергенде пайда болатын демпферлік синусоид көрсетілген. Бұл сигнал уақытында беріледі Ом ( а) және спектрлік ( б) сурет.

Күріш. 1-3

Математиканың спектрлік-уақыттық түрлендірулер деп аталатын бөліміне сәйкес, уақыт бойынша өзгеретін бірдей процестің спектрлік және уақытша бейнелері, синонимдер сияқты, олар бір-біріне эквивалентті және бірдей. Мұны бір ұғымды бір тілден екінші тілге аударумен салыстыруға болады. Математиканың осы саласымен таныс кез келген адам 1-3-суреттер деп айтады ажәне 1-3 ббір-біріне эквивалентті. Сонымен қатар, тербелмелі жүйені (тербелмелі контур) соққылық қозу арқылы алынған бұл сигналдың спектрлік бейнесі бір мезгілде геометриялық тұрғыдан дәл осы контурдың амплитудалық-жиілік сипаттамасына ұқсас.

Графиктен ( б) 1-3-суреттегі геометриялық тұрғыдан графикке ұқсас 3 1-1-суретте. Яғни, өлшеу нәтижесінде график алынғанын көру 3 , Мен оны шатыр жыныстарындағы дыбыс әлсіреуінің амплитудалық-жиілік сипаттамасы ретінде ғана емес, сонымен қатар тау жыныстарында тербелмелі жүйенің болуының дәлелі ретінде қарастырдым.

Бір жағынан, жерасты жұмысының төбесінде жатқан тау жыныстарында тербелмелі жүйелердің болуы мен үшін ешқандай сұрақ тудырмады, өйткені синусоидальды (немесе, басқаша айтқанда, гармоникалық) сигналды басқа әдістермен алу мүмкін емес. Екінші жағынан, мен жердің қалыңдығында тербелмелі жүйелердің болуы туралы ешқашан естіген емеспін.

Алдымен тербелмелі жүйенің анықтамасын еске түсірейік. Тербелмелі жүйе деп соққы (импульс) әрекетіне сөнген гармоникалық сигналмен әрекет ететін объектіні айтады. Немесе, басқаша айтқанда, бұл импульсті (әсерді) синусоидқа айналдыру механизмі бар объект.

Демленген синусоидалы сигналдың параметрлері жиілік болып табылады f 0 және сапа факторы Q , оның мәні әлсіреу коэффициентіне кері пропорционал. 1-3-суреттен көрініп тұрғандай, бұл екі параметрді де осы сигналдың уақытша және спектрлік бейнесінен анықтауға болады.

Спектрлік-уақыттық түрлендірулер математиканың дербес бөлімі болып табылады және осы бөлім бойынша білімдерден, сондай-ақ жыныс массасының дыбыс өткізгіштігінің амплитудалық-жиілік сипаттамасының пішінінен жасалуы керек қорытындылардың бірі болып табылады. 1-1-сурет (3-қисық), акустикалық қасиеттері бойынша зерттелген тау жыныстары массасы тербелмелі жүйенің қасиетін көрсеткен.

Бұл тұжырым спектрлік-уақыттық түрлендірулермен таныс кез келген адамға анық, бірақ қатты ортаның акустикасымен, сейсмикалық барлаумен немесе жалпы геофизикамен кәсіби түрде айналысатындар үшін мүлдем қолайсыз. Осы мамандықтардың студенттерін оқыту барысында бұл материал берілмейтін болды.

Белгілі болғандай, сейсмикалық барлауда сейсмикалық сигналдың пішінін анықтайтын бірден-бір механизм геометриялық оптика заңдары бойынша серпімді тербелістер өрісінің таралуы, оның жердің қалыңдығы мен шекарасында жатқан шекаралардан шағылысу болып табылады деп қарастырылады. сигналдың жеке құрамдас бөліктері арасындағы кедергі. Сейсмикалық сигналдардың пішіні көптеген ұсақ жаңғырық сигналдарының, яғни тау сілемдерінде жатқан көптеген ұсақ шекаралардың шағылысуларының арасындағы кедергілердің сипатына байланысты деп есептеледі. Сонымен қатар, интерференцияның көмегімен кез келген пішіннің сигналын алуға болады деп саналады.

Иә, мұның бәрі дұрыс, бірақ мәселенің мәні мынада: гармоникалық (соның ішінде гармоникалық демпферлік) сигнал ерекшелік. Оны араласу арқылы алу мүмкін емес.

Синусоид - қарапайым құрамдас бөліктерге ыдырауға болмайтын қарапайым ақпараттық кірпіш, өйткені табиғатта синусоидқа қарағанда сигнал оңай болмайды. Сондықтан да, айтпақшы, Фурье қатары дәл синусоидалы терминдердің жинағы болып табылады. Қарапайым, бөлінбейтін болу ақпараттық элемент, синусоидты кез келген басқа, тіпті қарапайым компоненттерді қосу (интерференция) арқылы алуға болмайды.

Гармоникалық сигналды бір ғана жолмен алуға болады - дәлірек айтқанда, тербелмелі жүйеге әсер ету арқылы. Соққы (импульс) кезінде тербелмелі жүйеге әсер ету сөнген синусоид, ал мерзімді немесе шулы әсер ету - сөндірілмеген синусоид пайда болады. Сондықтан, объектінің амплитудалық-жиілік сипаттамасы гармоникалық өшірілген сигналдың спектрлік бейнесіне геометриялық тұрғыдан ұқсас екенін көріп, бұл объектіні тербелмелі жүйе ретінде қарастырудан басқаша қарау мүмкін емес.

Шахтада алғашқы өлшемдерді жүргізбес бұрын, мен, қатты орталардың акустикасы және сейсмикалық барлау саласында жұмыс істейтін барлық адамдар сияқты, тау массасында тербелмелі жүйелер жоқ және болуы мүмкін емес екеніне сенімді болдым. Алайда мұндай амплитуданы тауып, жиілік реакциясыМен бұл пікірде қалуға құқығым жоқ еді.

Жоғарыда сипатталғанға ұқсас өлшемдерді жүргізу өте еңбекті қажет етеді және бұл өлшемдердің нәтижелерін өңдеу ұзақ уақытты алады. Сондықтан тау-кен массасының дыбыс өткізгіштігінің табиғаты тербелмелі жүйе екенін көргенде, тербелмелі жүйелерді зерттеуде қолданылып жүрген және осы күнге дейін қолданып жүрген басқа өлшеу сызбасын қолдану керектігін түсіндім. Бұл сұлба бойынша зондтау сигналының көзі тау-кен массасына импульстік (соққы) әсер ету болып табылады, ал қабылдағыш - спектрлік сейсмикалық өлшеулер үшін арнайы жасалған сейсмикалық қабылдағыш. Сейсмикалық сигналды көрсету және өңдеу схемасы оны уақытша және спектрлік түрде де байқауға мүмкіндік береді.

Бұл өлшеу схемасын біздің бірінші өлшеуіміздегідей жер асты жұмысының дәл сол нүктесінде қолдана отырып, біз шатырдың тау жыныстары массасына әсер еткенде, бұл жағдайда пайда болатын сигнал шынымен де сөнген синусоид түрінде болатынына көз жеткіздік. 1-3-суретте көрсетілген а, ал оның спектрлік кескіні 1-3-суретте көрсетілген графикке ұқсас б.

Көбінесе сейсмикалық сигналда бір емес, бірнеше гармоникалық құрамдас бөліктер болады. Дегенмен, қанша гармоникалық компоненттер болса да, олардың барлығы тек тербелмелі жүйелердің тиісті санының болуына байланысты пайда болады.

Әртүрлі жағдайларда – жер асты жұмыстарында да, жер бетінде де, шөгінді жамылғы жағдайында да, кристалды іргетас жыныстарын зерттеуде де алынған сейсмикалық сигналдарды бірнеше рет зерттеу барлық мүмкін жағдайларда сигналдар қабылданғанын көрсетті. тербелмелі жүйелердің болуы нәтижесінде емес, интерференциялық процестердің нәтижесінде болмайды.

1. Дәлірек айтқанда, сөнген гармоникалық сигналдың спектрінің пішіні қоңырау тәрізді емес, бірақ қазір біз үшін бұл дәлсіздік маңызды емес.

үшін нұсқаулар зертханалық жұмыс

ТәртіпСигналдардың жалпы теориясының элементтері »

КЕЛІСІЛДІ ӘЗІРЛЕДІ

Еңбекті қорғау инженері EAPP кафедрасының доценті

Г.В. Мангуткина ________ А.С. Хисматуллин

2014 _____________2014

студент гр. БАТ-11-21

Е.И.Буланкин

Әдістемелік нұсқау 220700 «Автоматтандыру технологиялық процестержәне өндіріс», профилі «Мұнай химиясы мен мұнай өңдеудегі технологиялық процестер мен өндірісті автоматтандыру»

EAPP бөлімінің отырысында талқыланды

___________________2014 жылғы № ______ хаттама

ã Салаваттағы FGBOU VPO UGNTU филиалы, 2014 ж

АНЫҚТАНДЫ СИГНАЛДАРДЫҢ СИПАТТАМАСЫ

Жұмыс мақсаты: детерминирленген сигналдардың сипаттамаларын зерттеу
Mathcad тілінде.

Қысқаша теориялық ақпарат

Периодтық сигналдардың спектрлік сипаттамалары

Мерзімділік шарты - x(т)= x(t+mT), қайда Т- кезең м- натурал сан, м= 1, 2, .... Кез келген мерзімді сигнал x(т) тригонометриялық Фурье қатарымен ұсынылуы мүмкін.

x(т)= a0 + ∑(а к cos кВт 1 т + б ккүнә кВт 1 т)= a 0 + ∑ A k cos( кВт 1 т +φ к), (1.1)

мұндағы ω 1 = 2π/Т 1-ші немесе негізгі гармониканың бұрыштық жиілігі болып табылады; a 0, және k, және б дейінформулалар бойынша есептелетін кеңею коэффициенттері:

а 0 = а к = б к =

қайда Ақ- k-ші гармонияның амплитудасы; φ к k-ші гармонияның фазасы; а 0– сигналдың орташа мәні (тұрақты компонент); кω 1 = ω к– бұрыштық жиілік к- гармоникалық; т нкезеңнің басына сәйкес келетін уақыт нүктесі болып табылады.

Тәуелділіктер Ақжәне φ кω жиілігі бойынша ксәйкесінше амплитудалық және фазалық спектрлер болып табылады.

Кейбір жағдайларда Фурье қатарының күрделі түрі қолайлырақ

(1.2)

(1.2) қатарларының коэффициенттері формула бойынша есептеледі

(1.3)

(1.2) және (1.3) формулалары Фурье түрлендірулерінің жұбы. Коэффициенттер жиыны периодтық сигналдың күрделі спектрі x(t). Жиілікке байланысты нақты мәндер жиынтығы амплитудалар спектрі болып табылады. Мәндер жиыны φ кжиілік – фазалық спектрге байланысты.

(1.2) қатары пішінде ыңғайлы түрде берілген

(1.4)

(1.5)

1.1-мысал

Бастапқы деректермен V m:= 4вольт∙сек -1 ,T:= 2 сек және t 0:= 2 сек болатын аналитикалық өрнегі x(t) сигналының амплитудалары мен фазаларының спектрлерін құрыңыз. пішін

.

t:=-1,5∙T уақыт диапазонындағы сигнал графигі, 1-суретте көрсетілген.

1-сурет – Сигнал графигі

Шешім

Өйткені бұл сигнал периодтық функцияуақыт, содан кейін ол үшін спектрлік бейнелеутригонометриялық немесе күрделі Фурье қатарын пайдалану керек. Тригонометриялық Фурье қатары негізінде амплитудалар мен фазалардың спектрлерін табайық.

Негізгі гармоникалық ω 1:= бұрыштық жиілігінде t:= 0..T интервалындағы сигналдың кеңею коэффициенттерін және k:= 1..5 гармоникалардың санын анықтайық.

1) Тұрақты ток құрамдас

2) Косинус коэффициенті

V m , T және ω 1 сандық мәндерін ауыстыру

Интеграция нәтижесінде біз аламыз

Мысалы, 1 = 0 вольт; a 2 = 0 вольт; a 3 = 0 вольт; a 4 = 0 вольт.

Кеңейту коэффициенттерін анықтаудың тағы бір түрі ыңғайлы.

онда t 0 және ω 1-ді T арқылы өрнектесек, бізде болады

Бұдан k>0 үшін a k коэффициенттері нөлге тең болатыны шығады.

3) Синусоидалық коэффициент

t 0 және ω 1-ді T арқылы өрнектесек, алуға болады

Демек, жеңілдетілгеннен кейін ол келесідей болады

k-ші гармонияның амплитудасы

k>1 үшін болады

Осылайша, тұрақты компонентті ескере отырып, амплитудалық спектр

Фазалық спектр

a k =0 және b k коэффициенттері болғандықтан<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

Бұл спектрлердің штрих-графтар түріндегі графиктері 2-суретте көрсетілген.

Спектрлік сипаттамалар мерзімді емес сигналдар

Спектрлік бейнелеуді функция болған жағдайда жалпылауға болады x(т) мерзімді емес, яғни. Т→∞. Бұл жағдайда интегралды Фурье түрлендіруі қолданылады

Мұндағы Ф және Ф -1 тура және кері Фурье операторының белгіленуі.

(1.6) және (1.7) формулалары Фурьенің интегралды түрлендірулерінің жұбы болып табылады. Функция Ф(jω) спектрлік функция немесе периодты емес сигналдың күрделі спектрі деп аталады. Ол оң және теріс жиіліктерде анықталады.

Спектрлік функцияны келесідей көрсетуге болады

амплитудалық спектр қайда,

фазалық спектр болып табылады.

1.2-мысал

-τ/2 интервалында анықталған x(t) функциясының спектрін табыңыз

Функцияның аналитикалық өрнегі

3-сурет – Қайталау жиілігі

Шешім

Функция уақыттың периодты емес функциясы болғандықтан, оның спектрлік функциясын (күрделі спектрін) Фурьенің интегралды түрлендіруі (1.7) негізінде табамыз. Өлшемсіз шамалар тұрғысынан алғанда, спектрлік функция элементар күрделі гармоникалық тербелістердің амплитудалары мен фазаларының спектрлік тығыздығын сипаттайтынын есте ұстаған жөн. Ол кернеу түріндегі сигнал үшін вольт × секунд өлшеміне ие. бұрыштық жиілік ω радиан/секунд өлшемі бар.

Спектрлік сипаттамалардың көмегімен сигналдың ішкі құрамы (спектр) бағаланады. Бұл сигнал үшін x(t)Т базистік функциялар жүйесі тұрғысынан кеңейте отырып, жалпыланған Фурье қатары түрінде көрсетеді к(т)

қайда бастап - F^(?) функциясының қарастырылатын уақыт интервалында сигнал мәндерін қалыптастыруға қосқан үлесін көрсететін тұрақты коэффициенттер.

Күрделі сигналды көрсету мүмкіндігі x(t)қарапайым сигналдардың қосындысы түрінде RDO әсіресе сызықтық динамикалық жүйелер үшін маңызды болып шығады.Мұндай жүйелерде, суперпозиция принципі, яғни. олардың әсерлердің (сигналдардың) қосындысына реакциясы әсерлердің әрқайсысына жеке реакциялардың қосындысына тең. Сондықтан сызықтық жүйенің қарапайым сигналға реакциясын біле отырып, нәтижелерді қорытындылай отырып, оның кез келген басқа күрделі сигналға реакциясын анықтауға болады.

Функция таңдау к(т)сигналдың максималды жуықтау дәлдігі талаптарын ескере отырып x(t)сериясы (7.21) осы қатардың мүшелерінің ең аз санымен және мүмкіндігінше қатардың коэффициенттерін анықтау кезінде туындайтын есептеу қиындықтарын азайтатын к.

Негізгі функциялар ретінде ең көп қолданылатыны нақты тригонометриялық функциялар болып табылады

және күрделі көрсеткіштік функциялар

Олар классиканы құрастырады спектрлік талдаусигналдар. Бұл ретте басқа да негізгі функциялар жүйелерін (Тейлор, Уолш, Лагер, Эрмит, Леджендр, Чебышев, Котельников және т.б. функциялары121) пайдалануға болады, бұл бірқатар жағдайларда мүмкін етеді, жуықтап алынған функцияның ерекшеліктерін ескеру x(t),берілген жуықтау қатесін сақтай отырып (7.21) қатардағы мүшелер санын азайту.

Соңғы жылдары базистік функциялардың жаңа, өте перспективалы жүйесі пайда болды, деп аталады толқындар.Гармоникалық функциялардан айырмашылығы олардың пішіні мен қасиеттерін өзгерту арқылы жақындап келе жатқан сигналдың жергілікті ерекшеліктеріне бейімделуге қабілетті. Нәтижесінде күрделі сигналдарды (соның ішінде жергілікті секірулері мен үзілістерімен) бір немесе басқа типтегі толқындар жиынтықтары арқылы жай ғана көрсету мүмкін болады.

Тригонометриялық базистік функцияларды (7.22) пайдаланған кезде (7.21) қатар классикалық тригонометриялық Фурье қатарының түрін алады.

мұнда Q \u003d 2n / T - қатардың негізгі гармоникасының жиілігі (G - сигналдың периоды); k \u003d 1, 2, 3, ... - бүтін сан; ak, bk – формулалар бойынша есептелетін нақты сандар (Фурье коэффициенттері).

Бұл формулаларда бұрынғыдай (7.20) қараңыз), t 0 -интегралдарды есептеуде ыңғайлы болу үшін таңдауға болатын ерікті сан (7.25), өйткені бұл интегралдардың мәндері шамаға тәуелді t0тәуелді емес; x T (t) -негізгі сигнал импульсі (7.3-суретті қараңыз, v).

Коэффицент а 0сигналдың екі еселенген орташа (кезең бойынша) мәнін, қалған коэффициенттерді анықтайды a k > b k (k= 1, 2, 3, ...) - үлес КімгеЛездік сигнал мәндерін қалыптастырудағы Фурье қатарының (7.24) гармониясы X(?).

Фурье тригонометриялық қатарын (7.24) басқа екі түрде жазуға болады: синустың кеңеюі түрінде

және косинустың кеңеюі түрінде

қайда L 0 /2 \u003d a 0 /2 -сигналдың тұрақты компоненті; Ақ-амплитудасы к-жәнеформула бойынша есептелетін қатар гармоникасы

Бұл гармоникалардың бастапқы фазалары қатынастардан есептеледі

Периодтық сигналдың гармоникалық компоненттерінің амплитудаларының жиыны (A - )°? =(шақырды амплитудалық спектрбұл сигнал. Бұл компоненттердің бастапқы фазаларының жиынтығы (φ/^)^ =1 - фазалық спектрсигнал.

Dirac 5-функциясы 8(?) көмегімен екі спектрді де көрсетуге болады тор функцияларыжиіліктер

т.с. Периодтық сигналдың амплитудасы мен фазалық спектрлері дискреттіспектрлер. Бұл периодты сигналды үздіксіз спектрлері бар басқа сигналдардан ажыратады.

Осылайша, периодтық сигнал гармоника қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін (7.24). Бұл жағдайда Фурье қатарының әрбір гармоникалық құрамдас бөлігінің жиілігі сигнал периодына тәуелді негізгі гармоника?2 жиілігінің еселігі болады. Т.

Мұндай гармоника неғұрлым көп болса, функцияның жуықтау қателігі соғұрлым аз болады x(t)Фурье қатарының ақырлы қосындысы (7.24). Ерекшелік - функцияның үзіліс нүктелері x(i).Осындай нүктелердің маңында деп аталатындар Гиббс феномені|2|. Бұл құбылысқа сәйкес, үзіліс нүктелеріне жақын жерде Фурье қатарының ақырлы қосындылары

тербелмелі «құйрықтарды» құрайды, олардың биіктігі ескерілген Фурье қатарының гармоникаларының санының ұлғаюымен төмендемейді. N-бұл функциядағы секірудің шамамен 9% құрайды x(t)сыну нүктесінде.

Периодтық сигналдың &-ші гармоникасының амплитудасы мен бастапқы фазасын есептеу үшін (7.28) және (7.29) формулаларының орнына формулаларды қолдануға болады.

қайда X t \u003d X t (p) \u003d L (x T (t))индекс Тайнымалы X -Формула бойынша анықталатын негізгі сигнал импульсінің Лаплас кескіні (2-қосымшаны қараңыз)

мен-ойша бірлік; & = 0,1,2,... натурал сан. Бұл формулаларды қолдану интегралдарды (7.25) есептеу қажеттілігін жояды, бұл есептеулерді айтарлықтай жеңілдетеді. Мұндай есептеудің мысалын көрсетейік.

7.1-мысал

Периодтық сигналдың амплитудалық спектрін анықтаңыз Шешім

Суретте. 7.3, а, мұндай сигналдың графигі көрсетілген. Сигналдың периоды бар екенін көруге болады Т= i. Демек, сәйкес Фурье қатарының негізгі гармоникасының жиілігі (7.24) тең. Q \u003d 2p / T \u003d 2 с -1 . Қабылдау t0 = 0, x T (t) =күнә? (0 т. үшін

Күріш. 73.

а -толқын пішіні; б -сигнал амплитудасының спектрі

Демек, A 0 /2 = 2/p, A k= 4/i(4& 2 - 1), SCH= l, қайда к= 1,2, 3, яғни. |sin(?)| функциясының кеңеюі тригонометриялық Фурье қатарының пішіні бар

Ескерту:мұнда f/, = l (және ns.) қабылданады y k = 0) қатар гармоникаларының қосындысының алдында минус таңбасының қолданылуына байланысты.

Суретте. 7.3, бқарастырылатын сигналдың амплитудалық спектрі көрсетілген. Қатар амплитудасының мәні?-ші гармония А дейінсәйкес ұзындықтағы тік сегментпен ұсынылған, оның негізінде гармоникалық сан орналасқан.

Айта кету керек, амплитудасы А дейінФурье қатарының кейбір гармоникалары нөлге тең болуы мүмкін. Сонымен қатар, гармоникалық санның ұлғаюымен осы гармоникалардың амплитудаларының монотонды төмендеуі, суреттегідей, міндетті емес. 7.3, б.

Дегенмен, барлық жағдайда лим А дейін= 0, ол мынадан шығады

Фурье қатарының жинақтылығы.

(7.32) формулаларды пайдаланып есепті шығарайық. Ол үшін алдымен сигналдың негізгі импульсінің Лаплас бейнесін табамыз x Т (т)

Мұнда ауыстыру p = ikQ = 2ik(қайда мен- елестету бірлік, к= 1, 2, 3,...), біз алдыңғы нәтижелермен сәйкес келетінін аламыз.

Техникалық қосымшаларда Фурье қатарының күрделі түрі жиі қолданылады

Бұл жағдайда базистік функциялар ретінде күрделі көрсеткіштік функциялар (7.23) пайдаланылады. Демек, коэффициенттер C б(7.36) қатары болады жан-жақты. Олар формула бойынша есептеледі

мұндағы (7.6) формуладағыдай индекстік айнымалы Поң немесе теріс бүтін сан болуы мүмкін.

Фурье қатарының күрделі түрін қолданғанда (7.36) амплитудалық спектрмерзімді сигнал x(t)комплекс Фурье коэффициенттерінің абсолютті мәндерінің жиыны деп аталады C б

а фазалық спектр- осы коэффициенттердің негізгі аргументтерінің жиынтығы

Көптеген мөлшерлер (WITH%)^ > = _ деп аталады қуат спектріпериодтық сигнал және күрделі сандар жиыны (б - спектрлік реттілікмерзімді сигнал. Бұл үш сипаттама (амплитудалық спектр, фазалық спектр және қуат спектрі) периодтық сигналдың негізгі спектрлік сипаттамаларына жатады.

Фурьенің тригонометриялық қатары (7.24) түрінде берілген периодтық сигналдың амплитудасы мен фазалық спектрлерінен айырмашылығы, Фурье комплекстік коэффициенттері (7.37) арқылы құрастырылған сол сигналдың спектрлері келесідей болып шығады. екіжақты.Бұл (7.36) «теріс жиіліктердің» болуының салдары. қосулы.(теріс мәндер үшін P).Соңғылары, әрине, шындықта жоқ. Олар күрделі Фурье қатарын құруда қолданылатын көрсеткіштік гармониялық функцияның көрінісін ғана көрсетеді e~tω бұрыштық жылдамдықпен сағат тілімен айналатын бірлік вектор түрінде.

Периодтық сигналдың негізгі импульсінің Лаплас кескіні болса X T (p) = L (x T (t)),онда периодтық сигналдың амплитудалар спектрін және фазалар спектрін формулалар арқылы есептеуге болады

Алгоритмдері деп аталатындар Жылдам Фурье түрлендіруі, соның арқасында Фурье коэффициенттерін есептеу уақытын қысқартуға болатыны сонша, оларды өңдеу кезінде сигналдардың спектрлері нақты уақытта дерлік алынады.

Қорытындылай келе, периодтық сигналдың спектрлік сипаттамаларының ең маңызды үш қасиетін атап өтеміз.

• 1. Егер x(t) -жұп функция болса, онда барлық күрделі Фурье коэффициенттерінің жорамал компоненттері Im(C w ) нөлге тең және керісінше, егер бұл функция тақ болса, онда барлық күрделі Фурье коэффициенттерінің Re(Cn) нақты құрамдастары нөлге тең болады. .
• 2. Бірінші текті үзіліс нүктесінде t = trфункциялары x(t)Фурье қатарларының қосындысы S(t)аргумент үзіліс нүктесіне жақындаған кезде функцияның шекті мәндерінің қосындысының жартысына тең т = rсол және оң, яғни.

Ескерту: функция мәндері болса x(€)ұштарында + D) базалық импульс x T (t)бір-біріне тең емес, онда импульстің мерзімді жалғасуымен бұл нүктелер бірінші текті үзіліс нүктелеріне айналады.

3. Уақыт пен жиілік облыстарындағы периодтық сигналдың қуаттары бір-біріне тең, яғни.

Бұл қатынасты білдіреді Парсевал теоремасы.

(7.36) формуласында «теріс жиіліктердің» болуы nQ.(жылдар бойы

1.2 Сигналдардың спектрлік сипаттамалары

Радиотехникада қолданылатын сигналдар біршама күрделі құрылымға ие. Мұндай сигналдардың математикалық сипаттамасы күрделі мәселе болып табылады. Сондықтан сигналдарды талдау және оларды радио тізбектер арқылы өткізу процедурасын жеңілдету үшін күрделі сигналдарды элементар функциялармен сипатталған идеалдандырылған математикалық модельдер жиынтығына ыдыратуды көздейтін әдістеме қолданылады.

Периодтық сигналдардың гармоникалық спектрлік талдауы тригонометриялық функциялар – синустар мен косинустар тұрғысынан Фурье қатарына кеңеюді қамтиды. Бұл функциялар сызықтық құрылғылармен түрлендіру кезінде пішінін сақтайтын гармоникалық тербелістерді сипаттайды (тек амплитудасы мен фазалары өзгереді), бұл тербелмелі жүйелер теориясын радиотізбектердің қасиеттерін талдау үшін пайдалануға мүмкіндік береді.

Фурье қатарын былай көрсетуге болады

Практикалық қолдануда Фурье қатарын жазудың басқа формасы бар

амплитудалық спектр қайда;

фазалық спектр болып табылады.

Фурье қатарының күрделі түрі

Жоғарыда келтірілген формулалар периодтық сигналдың спектрлік жауабын алу үшін қолданылады. Периодты емес сигналдың спектрін алу үшін Фурье түрлендірулері қолданылады.

Тура Фурье түрлендіруі

Кері Фурье түрлендіруі

(1.5), (1.6) өрнектері спектрлік сипаттамаларды алудың негізгі қатынастары болып табылады.

1.3 Фурье түрлендіруінің қасиеттері

Тура және кері Фурье түрлендіру формулалары s(t) сигналынан оның спектрлік тығыздығын S(jω) анықтауға және қажет болған жағдайда S(jω) белгілі спектрлік тығыздықтан s(t) сигналын анықтауға мүмкіндік береді. Сигнал мен оның спектрі арасындағы осы сәйкестікті белгілеу үшін s(t)↔ S(jω) символы қолданылады.

Фурье түрлендірулерінің қасиеттерін пайдалана отырып, бастапқы сигналдың спектрін түрлендіру арқылы модификацияланған сигналдың спектрін анықтауға болады.

Негізгі қасиеттері:

1. Сызықтық

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s n (t)↔ S n (jω)

_____________________

Тура Фурье түрлендіруін қолданайық

соңғы нәтиже

Қорытынды: Фурьенің тура түрлендіруі сызықтық операция, біртектілік және аддитивтік қасиеттерге ие. Демек, сигналдар қосындысының спектрі спектрлердің қосындысына тең.

2. Уақыт бойынша ығысқан сигнал спектрі

s(t±t 0)↔ S c (jω)

соңғы нәтиже

Қорытынды: сигналдың уақыт бойынша ±t 0 ығысуы спектрдің фазалық сипаттамасының ±ωt 0 өзгеруіне әкеледі. Амплитудалық спектр өзгермейді.

3. Уақыт бойынша масштабтың өзгеруі

s(αt)↔ S m (jω)

соңғы нәтиже

Қорытынды: сигнал уақыт бойынша белгілі бір санға сығылған (кеңейтілген) кезде оның спектрі оның құрамдас бөліктерінің амплитудаларының пропорционалды төмендеуімен (ұлғаюымен) жиілік осі бойымен бірдей санға кеңейеді (қысылады).

4. Туындының спектрі

ds(t)/dt↔ S p (jω).

Сигнал туындысының спектрін анықтау үшін кері Фурье түрлендіруінің оң және сол бөліктерінің уақыттық туындысын аламыз:

соңғы нәтиже

Қорытынды: сигнал туындысының спектрі бастапқы сигналдың спектріне jω көбейтіндісіне тең. Бұл жағдайда амплитудалық спектр жиіліктің өзгеруіне пропорционалды өзгереді және бастапқы сигналдың фазалық сипаттамасына ω>0 үшін π/2-ге тең және ω үшін -π/2-ге тең тұрақты компонент қосылады.

5. Интегралдың спектрі

Кері Фурье түрлендіруінің оң және сол жақтарының интегралын алайық

Нәтижені кері Фурье түрлендіруімен салыстыра отырып, аламыз

соңғы нәтиже

Қорытынды: бастапқы сигналдың интегралына тең сигнал спектрі бастапқы сигналдың jω-ке бөлінген спектріне тең. Бұл жағдайда амплитудалық спектр жиіліктің өзгеруіне кері пропорционалды түрде өзгереді және бастапқы сигналдың фазалық сипаттамасына ω 0 кезінде π/2 тең тұрақты компонент қосылады.

6. Екі сигнал туындысының спектрі

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s 2 (t) ↔ S 2 (jω)

s 1 (t) s 2 (t)↔ S pr (jω).

Кері Фурье түрлендіруінің көмегімен екі сигнал көбейтіндісінің спектрін табыңыз

соңғы нәтиже

Қорытынды: Екі сигналдың көбейтіндісінің спектрі олардың спектрлерінің конволюциясына тең, 1/(2π) коэффициентіне көбейтілген.

Сигнал спектрлерін есептеу барысында сызықтық және сигнал интегралының қасиеттері қолданылады.

1.4 Радиотізбектердің классификациясы және қасиеттері

Радиотехниканың теориялық негіздерінде әртүрлі радиотехникалық тізбектерді талдау және синтездеу әдістері үлкен орын алады. Бұл ретте радиосұлба деп сигналдардың өтуін және функционалды түрленуін қамтамасыз ететін белгілі бір жолмен қосылған пассивті және белсенді элементтердің жиынтығы түсініледі. Пассивті элементтерге резисторлар, сыйымдылықтар, индукторлар және оларды қосу құралдары жатады. Белсенді элементтер - бұл транзисторлар, вакуумдық түтіктер, қуат көздері және энергияны генерациялай алатын, сигнал қуатын арттыратын басқа элементтер. Егер схеманың функционалдық мақсатын атап өту қажет болса, онда схема терминінің орнына құрылғы термині қолданылады. Сигналдарды түрлендіру үшін қолданылатын радиосұлбалар құрамы, құрылымы және сипаттамалары бойынша өте әртүрлі. Оларды әзірлеу және аналитикалық зерттеу процесінде адекваттылық пен қарапайымдылық талаптарына жауап беретін әртүрлі математикалық модельдер қолданылады. Жалпы жағдайда кез келген радиосұлбаны х(t) кіріс сигналының y(t) шығыс сигналына түрлендіруін анықтайтын формалды қатынас арқылы сипаттауға болады, оны символдық түрде көрсетуге болады.

мұндағы T – кіріс сигналы түрлендірілетін ережені көрсететін оператор.

Сонымен, T операторының және тізбектің кірісі мен шығысындағы сигналдардың X = (), Y = () екі жиынының комбинациясы радио тізбектің математикалық моделі ретінде қызмет ете алады.

Кіріс сигналдарын шығысқа түрлендіру түрі бойынша, яғни. Т операторының түріне қарай олар радио тізбектерін жіктейді.

1. Радио схемасы сызықты болады, егер T операторы тізбек аддитивтік және біртектілік шарттарын қанағаттандыратындай болса.

Кез келген пішіндегі сигналдың сызықтық түрленуі шығыс сигнал спектрінде жаңа жиіліктері бар гармоникалық құрамдастардың пайда болуымен қатар жүрмейтіні тән, яғни. сызықтық түрлендіру сигнал спектрін байытпайды.

2. Т операторы аддитивтілік пен біртектілік шарттарын орындауды қамтамасыз етпесе, радиотізбек сызықты емес болып табылады. Мұндай тізбектердің жұмысы сызықты емес дифференциалдық теңдеулермен сипатталады, яғни. кем дегенде бір коэффициенті кіріс сигналының немесе оның туындыларының функциясы болып табылатын теңдеулер. Сызықты емес тізбектер суперпозиция принципін қанағаттандырмайды. Сызықты емес тізбек арқылы сигналдардың өтуін талдау кезінде нәтиже сигналға жауап ретінде анықталады. Оны қарапайым сигналдарға бөлуге болмайды. Сонымен қатар сызықты емес тізбектердің өте маңызды қасиеті бар – сигнал спектрін байыту. Бұл сызықты емес түрлендірулер кезінде кіріс сигналының спектрінде болмаған шығыс сигналының спектрінде жиіліктері бар гармоникалық компоненттер пайда болатынын білдіреді. Кіріс сигналының спектрінің гармоникалық құраушыларының жиіліктерінің қосындысына тең жиіліктері бар компоненттердің пайда болуы да мүмкін. Сызықты емес тізбектердің бұл қасиеті оларды сигналдарды генерациялауға және түрлендіруге байланысты есептердің кең класын шешу үшін қолдануға әкелді. Құрылымдық сызықтық схемалар тек сызықтық элементтерді қамтиды, олар сызықтық режимде жұмыс істейтін сызықты емес элементтерді қамтиды (олардың сипаттамаларының сызықтық бөлімдерінде). Сызықтық схемалар - сызықтық режимде жұмыс істейтін күшейткіштер, сүзгілер, ұзын сызықтар, кешіктіру желілері және т.б. Сызықты емес схемалар бір немесе бірнеше сызықты емес элементтерді қамтиды. Сызықты емес тізбектерге генераторлар, детекторлар, модуляторлар, көбейткіштер және жиілікті түрлендіргіштер, шектегіштер және т.б.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

ФИЗИКА ФАКУЛЬТЕТІ

БАҒЫТ

«Қолданбалы математика және физика»

Анықтау әдістері

спектрлік сипаттамалар

электрлік сигналдар

Санкт-Петербург

Кіріспе ................................................. . ................................................ .. ................................ 3

Фурье қатарының нақты түрі................................................. ......... ................................................... ........ 3

Фурье қатарының күрделі түрі ...................................... ................................................................ .............. .. 4

Периодтық функцияның спектрі................................................. .. ................................................. 5

Фурье түрлендіруі.................................................. ................................................................ ................. ................. 6

Фурье түрлендіруінің қасиеттері ................................................ ................. ................................. ................ 7

Дискретті сигнал спектрі................................................. ................................................................ .............. ...... 9

Дискретті Фурье түрлендіруі ............................................. ................................................................ ......... 12

Спектрдің таралуы.................................................. .... ................................................. ... ................... 14

Зертханалық қондырғылар және өлшемдер................................................. ................................... ................... 15

Тапсырмалар................................................. ................................................ . ................................ 17

Қосымша 1. Синусоид сегменті ................................................. ... ................................................ он сегіз

Әдебиет.................................................. ................................................ . ......................... он тоғыз

Бұл жұмыс Санкт-Петербург мемлекеттік университетінің физика факультетінің «Ақпаратты өңдеу және беру әдістері» (МОПИ) оқу зертханасындағы зертханалық жұмыс цикліндегі бірінші жұмыс болып табылады. Зертхана екінші курста жүргізіледі және «Ақпаратты өңдеу және беру әдістерінің физикалық негіздері» дәрістер курсын қолдайды. Осы уақытқа дейін курсты студенттер алды, зертхана осы саладағы білімді бекітуге және кеңейтуге арналған.

Сигнал спектрінің түсінігі ақпаратты тасымалдау құрылғыларын жасау үшін қажет, ол басқа физикалық шамаларды жанама өлшеу үшін және жай электр тізбегін есептеу үшін қолданылады. Сигналдың спектрін білу оның табиғатын жақсырақ түсінуге мүмкіндік береді және зертханалық жұмыстың циклі осы жұмыстан басталуы кездейсоқ емес.

Жұмыс есептеу және эксперименттік сипатта болады. Жұмыстың тәжірибелік бөлігінде маңызды инновациялық элемент бар - деректерді жинау жүйесі арқылы цифрланған цифрлық сигналды өңдеуді пайдалану. Сонымен қатар, жұмыстың бүкіл есептеу бөлігі, сонымен қатар эксперименттік нәтижелерді өңдеу қазіргі заманғы MATLAB математикалық пакеті және оның қосымша кітапханасы – Signal Processing Toolbox негізінде орындалады. Әртүрлі типтегі сигналдарды математикалық модельдеу және деректерді өңдеу үшін оларға тән мүмкіндіктер пайдаланылады.

Оқырман бұл пакеттің негізгі жұмысымен таныс деп болжанады. Есептеу бағдарламалары мен әртүрлі толықтырулар Жұмысқа арналған өтінімдерге жіберіледі.

Фурье қатарының нақты түрі

Периоды мынаған тең периодтық функцияны қарастырайық: , мұндағы кез келген бүтін сан. Белгілі бір жағдайларда бұл функция форманың гармоникалық функцияларының қосындысы, ақырлы немесе шексіз ретінде ұсынылуы мүмкін. , оның периоды бастапқы функцияның периодымен сәйкес келеді , мұнда https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> тұрақты шама ..gif" ені="15" биіктігі="17 src=">. Осылайша, периодтық функцияны тригонометриялық қатарға кеңейту мәселесін шешеміз:

(1)

Бұл қосындының жеке термині https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Біздің міндетіміз осындай коэффициенттерді таңдау және , қай қатар үшін (1) берілген функцияға жақындайды https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)

мұндағы жаңа коэффициенттер https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height= ретінде көрсетіледі. "117"> (3)

Тригонометриялық қатардың https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif функциясына біркелкі жақындайтынын дәлелдеуге болады. " width= "28" height="23 src="> тригонометриялық ретті көпмүшелік арқылы белгілі бір дәлдікпен жуықтауға болады. Н, яғни терминдердің шектеулі саны.

Фурье қатарының күрделі түрі

Тригонометриялық қатардың тағы бір күрделі түрі (2) тармағында синустар мен косинустарды күрделі дәрежелер арқылы жазу арқылы алынады:

(4)

Нақты және күрделі формалардың коэффициенттері өзара мына қатынастармен байланысты:

(5)

(5) формулаларды пайдаланып, (3) тригонометриялық қатардың күрделі түрінің коэффициенттері үшін өрнектерді аламыз. Бұл коэффициенттерді кез келген санға жазуға болады ккелесідей

(6)

Күрделі түрдегі тригонометриялық қатар, егер қатар және жинақталса, функцияға біркелкі жинақталады. Бұл бастапқы функция Дирихле шарттарын қанағаттандыратын болса, дұрыс болады.

Периодтық функцияның спектрі

Периодтық функцияның спектрі түсінігін енгізейік. Ол сигналды нақты Фурье қатары (1) немесе күрделі қатар (4) ретінде көрсету мүмкіндігіне негізделген. Бұл нақты коэффициенттер және , немесе күрделі коэффициенттер тасымалдайтынын білдіреді толық ақпаратбелгілі кезеңі бар мерзімді туралы https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> және нақты сигнал спектрі деп аталады..gif" ені= "69" биіктігі="41 src=">). Сондықтан жиын амплитудалық спектр деп аталады..gif" width="20" height="24">. Нақты спектрден айырмашылығы, кешенді спектр оң және теріс жиіліктер үшін де анықталады. Төменде біз модульдерді көрсетеміз. бұл коэффициенттер амплитудалық гармоникаларды анықтайды және сондықтан амплитудалық спектр деп атауға болады, ал аргументтер (фазалық спектр) гармоникалардың бастапқы фазаларын анықтайды..gif" width="61 height=29" height="29">. Бұл қатынас амплитудалық комплекс спектрі үшін паритеттік және фазалық спектр үшін тақтық қасиетін білдіреді.

Нақты және күрделі спектрлердің қалай байланысты екенін көрейік. (4) қатарын былай жазамыз

Теріс сандары бар мүшелерді оң сандары бар терминдер арқылы көрсетуге болады, өйткені және . Сонда оң сандары бар қосынды ғана қалады

Бірдей сандары бар дәрежелерді қосқаннан кейін https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)

(1) және (9) қатарларын салыстыра отырып, нақты және күрделі спектрлер арасындағы қажетті қатынасты аламыз: және .

Периодтық сигналдың спектрі жеке гармоникалардан тұратындықтан, оны дискретті немесе сызық деп атайды. Гармоникалық жиіліктер периодқа кері пропорционал https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> - бүкіл ось бойынша үздіксіз дифференциалданатын абсолютті интегралданатын функция : .Периодты емес сигналды периодты, бірақ шексіз үлкен периодты деп санауға болады.(6) және (4) формулалардағы ақырлыдан шексіз үлкен сигналдық периодқа шекті ауысуды орындап, тікелей үшін формулаларды аламыз. Фурье түрлендіруі:

(10)

және керісінше:

(11)

Функция https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Осылайша, периодты емес сигналдың спектрі үздіксіз (жылы периодтық сигналдың сызықтық спектрінен айырмашылығы), ол бүкіл жиілік осінде анықталады.

Фурье түрлендіруінің қасиеттері

Фурье түрлендіруінің негізгі қасиеттерін қарастырайық.

Сызықтық. Функцияларды қарастырайық және спектрлері бар және:

Сонда олардың сызықтық комбинациясының спектрі:

Уақыт кідірісі..gif" ені="28" биіктігі="23 src=">

(14)

Уақыт бойынша ауысқан сигнал спектрін есептейік: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, содан кейін

Біз сигналдың кешігуі https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25"> уақыт үшін екенін білдік.

Масштабты өзгерту.Спектр белгілі https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height= "23">. Біз жаңа айнымалы енгіземіз , интеграциялық айнымалының орнын ауыстырамыз https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23">сигнал арқылы көбейту.Осы сигналдың көбейтіндісінің спектрін табыңыз. .

Осылайша, сигналды көбейту https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.

Туынды спектр.Бұл жағдайда негізгі нүктефункцияның абсолютті интегралдылығы болып табылады. Функция модулінің интегралы шектелген болуы керек дегеннен, шексіздікте функция нөлге ұмтылу керек екендігі шығады. Функцияның туындысының интегралы бөліктерде қабылданады, алынған интегралдық емес мүшелер нөлге тең, өйткені функция шексіздікте нөлге ұмтылады.

(18)

Интегралдың спектрі.Сигналдың спектрін табайық https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, яғни сигналда тұрақты компонент жоқ. Бұл талап интегралды бөліктермен қабылдағанда интегралдық емес мүшелер нөлге тең болуы үшін қажет.

(19)

Конволюция теоремасы. https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> спектрлері мен https://pandia.ru/text/ мүмкіндігі бар екені белгілі. 78 /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> және арқылы. Ол үшін функциялардың бірінің конволюциясының Фурье интегралында айнымалыны ауыстырамыз, содан кейін көрсеткіште 181"> (20) ауыстыруды жасауға болады.

Екі сигналдың конволюциясының Фурье түрлендіруі осы сигналдардың спектрлерінің көбейтіндісін береді.

Сигналдарды өндіру. https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> мүмкіндіктері спектрлері және https://pandia.ru/text екені белгілі. / 78/330/images/image073_1.gif" ені="53" биіктік="23"> спектрлер және ..gif" ені="409" биіктігі="123"> (21)

Сигналдардың туындысының спектрі бұл сигналдардың спектрлерінің конвульсиясы болып табылады.

Дискретті сигнал спектрі

Дискретті сигналдарға ерекше назар аудару керек, өйткені мұндай сигналдар қолданылады цифрлық өңдеу. дискретті сигналүздіксізден айырмашылығы, бұл белгілі бір уақыт нүктелеріндегі үздіксіз сигналдың мәндеріне сәйкес келетін сандар тізбегі. Шартты түрде дискретті сигналды белгілі бір уақытта кейбір мәндерді қабылдайтын, ал басқа уақытта нөлге тең болатын үздіксіз сигнал ретінде қарастыруға болады (1-сурет).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" ені="87" биіктігі="24"> (22)

Тік бұрышты импульстардың ұзақтығы https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:

(23)

Импульс амплитудасы импульстің периодтағы интегралы болатындай етіп таңдалады. Бұл жағдайда сағат импульстері өлшемсіз болады. Біз осындай импульстардың тізбегін тригонометриялық қатарға кеңейтеміз:

(24)

Лездік сигнал көрсеткіштерін алу үшін https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. барлығы 1-ге тең болады.

(25)

Дәл сол пішінде функцияның Фурье қатарындағы кеңеюі бар:

(26)

Сағат сигналының тригонометриялық қатарының кеңею коэффициенттері:

(27)

Сонда дискретті сигнал келесідей болады:

Дискретті сигналдың Фурье түрлендіруін есептеген кезде біз қосындылау және интегралдау амалдарын ауыстырамыз, содан кейін қасиетін пайдаланамыз. δ - Функциялар:

Дискретті сигналдың спектрі периодты функция болып табылады. Жеке терминдегі экспоненциалды жиіліктің функциясы ретінде қарастырайық..gif" width="45" height="19">, және бұл, сәйкесінше, бүкіл спектрдің қайталану кезеңі болады. дискретті сигналдың спектрінде кванттау жиілігіне тең қайталау периоды болады .

Басқа идеяны алайық. Функциялардың туындысы болғандықтан және дискретті сигнал спектрі үздіксіз сигнал спектрлерінің конволюциясы ретінде есептеледі https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif " ені="37" биіктігі="23"> .

(30)

(25) көмегімен есептейік. Бұл периодтық функция болғандықтан, оның спектрі дискретті.

Сондықтан конвульсия (30)

https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" ені="39" биіктігі="23 src=">.

Таңдау нәтижесінде сигнал спектрінде сапалық өзгерістер орын алуының өзі бастапқы сигналдың бұрмалануы мүмкін екендігін көрсетеді, өйткені ол толығымен оның спектрімен анықталады. Алайда, екінші жағынан, бір спектрдің мерзімді қайталануы өздігінен спектрге жаңа ештеңе енгізбейді, сондықтан белгілі бір жағдайларда белгілі бір уақыт нүктелеріндегі сигнал мәндерін біле отырып, сіз бұл сигналдың қандай мәнін таба аласыз. уақыттың кез келген басқа нүктесінде қабылданады, яғни бастапқы үздіксіз сигналды алады. Сигнал спектріндегі максималды жиілікке сәйкес кванттау жиілігін таңдау шартын қоятын Котельников теоремасының мәні осында.

Егер бұл шарт бұзылса, онда сигналды цифрлаудан кейін мезгіл-мезгіл қайталанатын спектр қабаттасады (2-сурет). Қабаттасу нәтижесінде пайда болатын спектр басқа сигналға сәйкес болады.

Күріш. 2. Спектрлердің қабаттасуы.

Дискретті Фурье түрлендіруі

Алдыңғы бөлімде Котельников теоремасының шарты орындалған кезде дискретті сигнал үлгілері бастапқы үздіксіз сигнал туралы, демек оның спектрі туралы барлық ақпаратты сақтайтыны айтылды. Сондықтан сигнал спектрін оның дискретті көрсеткіштерінен де табуға болады, бұл цифрлық өңдеуде сигналды талдауға кең мүмкіндіктер береді. Бұрын периодтық сигналдың спектрі дискретті, яғни сигнал белгілі гармоникаларға ыдырауы мүмкін екендігі көрсетілген. Дискретті сигналдың периодты спектрі болады. Дискретті периодты сигналдың дискретті периодты спектрі болады. Дискретті сигнал белгіленген уақытта сигнал мәндерінің тізбегі ретінде ұсынылады ..gif" width="19" height="19 src=">, яғни ол кез келген үшін орындалады. Әдетте, дискретті Фурье түрлендіруі формуламен есептелетін элементтер векторы ретінде үлгілермен көрсетілген сигнал:

(33)

Формула бойынша кері Фурье түрлендіруі:

(34)

(33) мен (4) салыстырсақ, https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> саны бар гармониканың күрделі амплитудасы және жиілігіне сәйкес келетінін немесе, ол бірдей , мұнда кванттау жиілігі герцте: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> - кванттау кезеңі, период - жазылған үзінді сигналының ұзақтығына тең деп есептеледі.

MATLAB жүйесінде дискретті Фурье түрлендіруі арнайы жылдам түрлендіру алгоритмі арқылы есептеулерді орындайтын fft (Fast Furier Transform) командасы арқылы орындалады. Пәрмен синтаксисі:

y = fft(x, n, күңгірт)

x - сигнал үлгілері бар вектор;

у – түрлендіру нәтижесі бар вектор ;

n — түрлендіруді орындау үшін пайдаланылатын сигнал үлгілерінің санын көрсететін қосымша параметр. Бұл жағдайда y векторы n элементтен тұрады;

күңгірт — түрлендіру орындалатын өлшемнің санын көрсететін қосымша параметр. x әрқайсысы күңгіртпен көрсетілгендей бағанда немесе жолда бірнеше сигналдарды қамтыған кезде пайдаланылады.

Ұқсас интерфейсте кері түрлендіруді орындайтын пәрмен бар:

x = ift(n, n, күңгірт)

Fft пәрмені https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src="" диапазонындағы гармоникалық амплитудалары гармоникалық жиіліктерге сәйкес келетін массивді қайтарады. >, көбірек таныс Жалпы, егер х векторының барлық мәндері кез келген өлшенетін физикалық шамаға тән нақты болса, онда жоғарыда көрсетілгендей (9), жиілік диапазонындағы гармоника ғана https:// мәніне ие болады. pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> - дәл бір сигнал кезеңі. Яғни, бұл жағдайда периодтық сигналдың жазылған сегменті кезеңді түрде жалғасуы керек, ал қайталау кезеңі барлық сигналды жазудың ұзақтығы болуы керек. Жазу ұзақтығы жазылған сигналдың кезеңінен өзгеше болса, сигнал мезгіл-мезгіл қайталанса, сәйкесінше сигнал пішіні және оның спектрі бұзылады.

Мысалы, периодты синусоидалы сигнал жазылды, ал жазбаның ұзақтығы , және , мұндағы бүтін сан. Содан кейін сигналды жазудың мерзімді қайталануымен (3-сурет) бірінші түрдегі үзілістер пайда болады, өйткені жазбаның басы мен соңындағы сигнал мәндері әртүрлі.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Жазылған сигнал сегментін тіктөртбұрышпен бұралған бастапқы сигнал ретінде де түсіндіруге болады. уақыт сегментін анықтайтын импульс Содан кейін Фурье түрлендіруінің қасиеттеріне сәйкес жазылған сигналдың спектрі тікбұрышты импульс спектрімен бастапқы спектрдің туындысы болады (4-сурет).

https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" ені="562" биіктігі="229 src=">

Күріш. 5. Зертханалық қондырғы.

Осы схеманың әрбір блогын толығырақ қарастырыңыз.

1. Аналогтық үлгі сигналдарының көзі модель сигналының генераторы болып табылады. Ол ретінде келесі құрылғыларды пайдалануға болады (мұғалімнің таңдауы бойынша):

· Әртүрлі пішіндегі стандартты зертханалық сигнал генераторы (синусоидалы және тікбұрышты импульстар);

L-Card құрылғысының цифрлық-аналогтық түрлендіргішінде (DAC) жиналған сандық генератор ;

· MATLAB көмегімен сигналдарды компьютердің дыбыстық картасында ойнатуға болады.

MATLAB көмегімен спектрі дыбыс диапазонында болатын кез келген пішіндегі сигналдарды ойнату мүмкін болды, мүмкіндіктер тек дыбыстық картаның сипаттамаларымен, атап айтқанда кванттау жиілігімен, жиілік реакциясымен және кернеудің максималды мүмкін мәнімен шектеледі. . Негізінен дыбыс шығаруға арналған дыбыс карталарында сигналды шамамен 100 Гц пен 20 кГц жиілік диапазонында ойнатуға мүмкіндік беретін жиілік реакциясы болады. Бұл шекаралар анықталған ішкі құрылғыдыбыс картасы, әдетте осы диапазондағы сигнал спектрін шектейтін сүзгілер пайдаланылады. Дыбыстық картаның тағы бір ерекшелігі - олардың көпшілігі тек белгілі бір таңдау жиіліктерімен жұмыс істей алады: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц және 44100Гц. Шығу кернеуіәртүрлі үшін дыбыс карталарыәртүрлі болуы мүмкін, бірақ әдетте максималды мүмкін мән шамамен 1 В болады. Дыбыс картасының артықшылығы:

Олар кез келген дерлік компьютерде;

Көптеген бағдарламалар, соның ішінде MATLAB және Simulink арқылы қолдау көрсетіледі.

Кемшіліктері:

Әртүрлі тақталар үшін сипаттамалар айтарлықтай өзгеруі мүмкін;

Қалай өлшеу құралыоларда дәлдік класы жоқ;

Болмауы ішкі тізбектерқорғау (гальваникалық немесе оптикалық оқшаулау), бұл істен шығуға әкелуі мүмкін.

2. Жоғарыда аталған генераторлардың кез келгенінің шығысынан алынған аналогтық сигналдар катодты-сәулелік осциллографтың экранында визуалды түрде басқарылады. Мұндай басқару генерацияланған сигналдардың пішінін байқау және олардың параметрлерін орнату үшін қажет - амплитудасы, ұзақтығы, қайталану кезеңі және т.б.

3. Тәжірибелік қондырғының келесі элементі төмен жиілікті сүзгі (LPF) болып табылады. Бұл осындай тізбектерде жиі қолданылатын аналогтық құрылғы. Оның мақсаты – Котельников теоремасының шарттарын қанағаттандыру үшін жоғарыдан зерттелетін сигналдардың спектрін шектеу. L-картасының максималды кванттау жиілігі 125 кГц, содан кейін Котельников теоремасы бойынша сигналды бұрмалаусыз қалпына келтіру үшін сигнал спектрі аспауы керек. fгр:

Мұғалімнің нұсқауы бойынша сіз ең қарапайым төмен өткізгіш сүзгіні дәнекерлеуіңіз керек. Оның схемасы суретте көрсетілген. 6.

https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" ені="85" биіктігі="41"> (36)

4. Аналогты-цифрлық түрлендіргіш (ADC) – аналогтық сигналдарды компьютерде өңдеуге болатын цифрлық іске асыруға түрлендіруге арналған құрылғы. Біздің зертханамызда тікелей орналасқан L-Card типті L-761 және L-783 ADC қолданылады. жүйелік блоккомпьютер.

Тапсырмалар

1. Оқытушы белгілеген қарапайым түрдегі периодтық сигналдардың спектрлік функцияларын аналитикалық түрде есептеңіз (тікбұрышты бейне импульс, үшбұрышты импульс, экспоненциалды импульс және т.б.). Осы сигналдардың амплитудалық және фазалық спектрінің графиктерін тұрғызыңыз.

2. Fast Furier Transform (FFT) көмегімен MATLAB жүйесінде тізімделген сигналдардың Фурье талдауын орындаңыз. Оң және теріс жиіліктер аймағындағы амплитудалық және фазалық спектрлердің сәйкес графиктерін тұрғызыңыз (fft, fftshift, step функцияларын құжаттамада қарап шыққаннан кейін пайдалана отырып). Графиктердегі гармоникалардың амплитудалары және олардың жиіліктері берілген сигналдағы олардың мәндеріне сәйкес келуі керек. Импульс ұзақтығы мен сигналды жазу уақытының арақатынасының сигнал спектріне әсеріне ерекше назар аударыңыз, нәтижені түсіндіріңіз. Бірдей координаттардағы сигналдың әрбір түрі үшін аналитикалық жолмен табылған (1-тапсырма) және сандық түрде есептелген амплитудалық спектрлерді сызыңыз.

3. FFT командасының көмегімен периодтардың бүтін және бүтін емес санынан тұратын синусоид сегменттерінің спектрлерін тауып, салыстырыңыз.

4. Синусоидтың бірнеше периодтан тұратын сегментіне спектрлік талдау жүргізу. Кезеңдер санына байланысты спектрдің қалай өзгеретінін қараңыз.

5. L-Graph цифрлық осциллографын пайдаланып, Котельников теоремасын бұзу нәтижесінде сигналдың бұрмалануын бақылаңыз. Ол үшін L-картасына аналогтық гармоникалық сигнал генераторын қосыңыз, кванттау жиілігін орнатыңыз, мысалы, 20 кГц және генератор жиілігін 1 кГц-тен 20 кГц диапазонында біркелкі өзгерте отырып, цифрланған сигналдың жиілігін қадағалаңыз. сигнал, байқалған әсерлерді түсіндіріңіз.

6. Кванттау жиілігін 100 кГц, гармоникалық сигнал генераторының жиілігін 10 кГц, амплитудасын 1 В орнатыңыз. Ұзақтығы 0,01 с гармоникалық сигналдың сегментін жазып, MATLAB жүйесінде оның амплитудалық спектрін салыңыз. Сонымен қатар, графиктегі жиіліктер мен амплитудалар нақты барларға сәйкес болуы керек.

7. Бірінші тапсырмада алынған нәтижелерді пайдалана отырып, тригонометриялық қатардың мүшелерінің шектеулі саны бар тікбұрышты импульсті жуықтап алыңыз. Сол графикте бастапқы импульс пен жуықталған екі бірінші гармониканы, алғашқы он гармониканы салыстырыңыз.

Қосымша 1. Синусоидтың сегменті

Тапсырмалардың бірін орындау үшін синусоидтың спектрін есептеу бағдарламасын жазу керек, төменде мұндай бағдарламаның мысалы келтірілген. Бағдарламаның басында сигналдың периодтардағы ұзақтығын және периодтардың санын көрсететін параметрлер анықталады. Осы параметрлерді өзгерту арқылы сіз алуға болады әртүрлі опцияларсинусоидтың сегменті.

тазалау, clc, барлығын жабу

f0 = 1000; % синус жиілігі

N1 = 20; кезеңдегі бүкіл жолдың % ұзақтығы

N2 = 10; Кезеңдегі көрсеткіштердің % саны

N3 = 2; кезеңдердің % саны

N = N1*N2; бүкіл жазбадағы үлгілердің % саны

fs = f0*N2; % таңдау жылдамдығы

% сигнал жасайды

t = (0:(N-1))/fs; % уақыт

x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);

% диапазонды есептеу

X = fftshift(abs(fft(x))/N);

f = (төбе(N/2)-N:төбе(N/2)-1)*fs/N;

ішкі сызба(2,1,1), сюжет(t, x,"k"), xlabel("t, c"), ylabel("x(t)")

ішкі сызба(2,1,2), дің(f, X,"k."), xlabel("f, Гц"), ylabel("|X|")

1. Будилин және Фурье интегралдары. Санкт-Петербург мемлекеттік университеті. 2002.

2., MATLAB-та Романов түрлендірулері. SPb. 2007

3. Смирнов жоғары математика (т.